Выбранный для просмотра документ Занятие 1 (Треугольники).doc
Справочные материалы
Часть справочных материалов взята с сайта Д.Гущина РЕШУ ЕГЭ http://mathnet.spb.ru/texts/ege16/06.html
Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов и каждое из этих отношений равно удвоенному радиусу описанной около треугольника окружности (теорема синусов).
Отношение площадей треугольников, имеющих равные углы равно отношению произведений сторон, заключающих эти углы.
Отношение площадей треугольников, имеющих равные высоты равно отношению оснований, к которым проведены равные высоты.
Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведенную к этой стороне или к ее продолжению.
Площадь треугольника равна половине произведения двух сторон на синус угла между ними.
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.
Пусть а, b, с – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной около треугольника окружности, r – радиус вписанной в треугольник окружности.
- формула Герона
Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна ее половине и является радиусом описанной около треугольника окружности.
Решение задач из открытого банка заданий ЕГЭ по теме «Треугольники»
При разборе решений некоторых задач мы специально представили подробные вычисления, так как многие из них выполнены, на наш взгляд, рациональными способами, позволяющим упростить вычисления, и тем самым избежать вычислительных ошибок.
|
1 |
Решение: Пусть ВН – высота, проведенная к
основанию АС, АК – высота, проведенная к ВС. Ответ: ВН=10
|
|
2 |
Решение: Пусть ВН – высота, проведенная к
основанию АС => В прямоугольном треугольнике АВН Ответ: ВН=20
|
|
3 |
Решение: Пусть ВН – высота, проведенная к основанию АС. В прямоугольном треугольнике АВН Ответ: ВН=20
|
|
4 |
Решение: В треугольнике АВК Ответ: АВ=22
|
|
5 |
Решение: В треугольнике ВМС Ответ: ВС=38
|
|
6 |
Решение: Из прямоугольного треугольника АВМ по теореме Пифагора
Ответ: АВ=85
|
|
7 |
Решение: MN –средняя линия треугольника АВС
=> Из прямоугольного треугольника АВК по теореме Пифагора
Ответ: АВ=26
|
|
8 |
Решение: КР –средняя линия треугольника АВС
=> АК=КС= Из прямоугольного треугольника АВК по теореме Пифагора
Ответ: КР=2,5
|
|
9 |
Решение: Так как ВM –медиана, проведенная к основанию равнобедренного треугольника АВС, то ВМ - высота этого треугольника.
Из прямоугольного треугольника АВМ по теореме Пифагора
Ответ: ВМ=24
|
|
10 |
Решение: Треугольник МВС равнобедренный с основанием МС. В треугольнике МВС ВН – высота, проведенная
к основанию => ВН - медиана этого треугольника => 1 способ
2 способ
Ответ: АН=9,75
|
|
11 |
Решение: Из треугольника ABL
Из треугольника ACL Ответ:
|
|
12 |
Решение: Пусть а и b– катеты прямоугольного
треугольника, с – гипотенуза. По теореме Пифагора b Ответ: 3
|
|
13 |
Решение: Так как ВM –медиана, проведенная к основанию равнобедренного треугольника АВС, то ВМ - высота этого треугольника.
Из прямоугольного треугольника АВМ по теореме Пифагора.
Ответ: АВ=8
|
|
14 |
Решение: Пусть ВН – высота, проведенная к
основанию АС => В треугольнике АВН
Из прямоугольного треугольника АВН по теореме Пифагора
Ответ: АВ=6
|
|
15 |
Решение: Угол В – общий для треугольников
АВС и МВК => Ответ: 2,5
|
|
16 |
Решение: гипотенуза этого треугольника равна 10. Наибольшая средняя линия будет параллельна гипотенузе и равна ее половине => 10: 2 =5 Ответ: 5
|
|
17 |
Решение:
Ответ: 1,6
|
|
18 |
Решение: В прямоугольном треугольнике АВС По теореме Пифагора
Ответ: 4
|
|
19 |
Решение: В треугольнике ВКС Ответ: ВК=12
|
|
20 |
Решение: Пусть ВН – высота, проведенная к основанию АС. АН=НС= В прямоугольном треугольнике АВН АН= 12; АВ= 20 . Из прямоугольного треугольника АВН по
теореме Пифагора Ответ: 0,8
|
|
21 |
Решение: По теореме косинусов Ответ: АВ=7
|
|
22 |
Решение: Пусть Пусть
Ответ: 30
|
|
23 |
Решение: По теореме синусов
Ответ: АВ=9
|
|
24 |
Решение: Пусть По теореме Пифагора 1 способ По теореме о пропорциональных отрезках в
прямоугольном треугольнике Из прямоугольного треугольника АНС по
теореме Пифагора Треугольники АСН и АВС подобны по двум углам
=> Ответ: СН=4,8
|
|
25 |
Решение: В треугольнике АВС Треугольники АВС и СНВ подобны по двум углам
=> Ответ: ВН=1
|
|
26 |
Решение: Проведем высоту, считая основанием правую боковую сторону. Длину этой высоты легко посчитать по клеткам, она
равна 15. Известно, что центр правильного треугольника – это точка
пересечения медиан, биссектрис и высот. Значит высота правильного
треугольника делится этой точкой в отношении 2 : 1 , считая от вершины. Это
значит, что на радиус описанной около правильного треугольника окружности
приходится две из трех равных частей высоты, а на радиус вписанной - одна
часть. Таким образом, искомый радиус равен
|
|
27 |
Решение: Известно, что радиус описанной около прямоугольного треугольника окружности, равен половине гипотенузы. Найдем длину гипотенузы по рисунку, она равна 13. Значит, искомый радиус равен 6,5. Ответ: 6,5
|
|
28 |
Решение: В равнобедренном треугольнике АВС равны углы при основании АВ, значит равны и синусы этих углов. В треугольнике АВН Ответ: АН=4,8
|
|
29 |
Решение: В равнобедренном треугольнике АВС равны углы при основании АВ, значит равны и косинусы этих углов. В треугольнике АСН В прямоугольном треугольнике АСН АС=5, АН=4, значит СН=3. Ответ: СН=3
|
|
30 |
Решение: Опустим высоту к горизонтальной к
углу нашего зрения стороне (будем считать ее основанием). Длина высоты равна
3, а основания 6. Значит, площадь треугольника равна Ответ: 9
|
|
31 |
Ответ: 10,5
|
|
32 |
Решение: Средняя линия треугольника равна половине
ВС, следовательно, Из треугольника АВС по теореме Пифагора Ответ: АВ=13
|
|
33 |
Решение: Так как равны внешние углы треугольника при вершинах А и С, то равны и внутренние углы => треугольник АВС равнобедренный с основанием АС=> ВК будет и высотой треугольника АВС.
В треугольнике АВК Ответ: ВК=27 |
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ Тест 1 Треугольники.doc
Тест
1. В треугольнике ABC AC = BC, AD - высота, угол BAD равен 24°. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.
54
44
*48
2. В треугольнике АВС угол С прямой, АС=4,8;
. Найдите АВ.
3
6
*5
3. В тупоугольном треугольнике АВС
АС = ВС = 
,
высота АН равна 4. Найдите tg ACB.
0,5
0,6
* -0,5
4. В треугольнике ABC АС =ВС = 
, 
.
Найдите высоту АН.
7
6
*7,5
5. Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 30°. Боковая сторона треугольника равна 10. Найдите площадь этого треугольника.
35
20
*25
6. В треугольнике ABC АС=ВС=84, высота AH равна 42. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.
35
40
*30
7. В треугольнике ABC угол A равен 30°, CH — высота, угол BCH равен 22°. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.
34
30
*38
8. Боковая сторона равнобедренного треугольника
равна 5,
а основание равно 6. Найдите площадь этого треугольника.
10
24
*12
9. На клетчатой бумаге с клетками размером 1
см 
1 см изображен треугольник (см. рисунок). Найдите
его площадь в квадратных сантиметрах.
15
10
*7,5
10. В треугольнике АВС CD – медиана, угол С равен 90°, угол В равен 580. Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.
64
38
*32
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ Занятие 2. четырёхугольники.docx
Занятие №2
Тема: Выпуклые четырёхугольники
часть 1
|
Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков. При этом никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться.
|
|
|
ü Вершины четырехугольника называются соседними, если они являются концами одной из его сторон.
ü Вершины, не являющиеся соседними, называются противоположными.
ü Отрезки, соединяющие противолежащие вершины четырехугольника, называются диагоналями.
ü Стороны четырехугольника, исходящие из одной вершины, называются соседними сторонами.
ü Стороны, не имеющие общего конца, называются противолежащими сторонами.
Основные типы выпуклых четырехугольников
|
Рисунок |
Определение |
|
|
Параллелограмм |
|
Параллелограмм – это четырёхугольник, у которого противолежащие стороны параллельны |
|
|
Прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы прямые. |
|
|
|
Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны. |
|
|
Квадрат |
|
Квадрат – это параллелограмм, у которого все углы прямые и все стороны равны. |
|
Трапеция |
|
Трапеция – это четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны. |
|
Равнобедренная (равнобочная) трапеция |
|
Равнобедренной называют трапецию, у которой боковые стороны равны. |
|
Прямоугольная трапеция |
|
Прямоугольной называют трапецию, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям. |
Свойства выпуклых четырёхугольников
Свойства |
Чертёж |
|
|
Параллелограмм |
||
|
1. В параллелограмме противоположные стороны и углы попарно равны. АВ=CD, BC=AD; ∠А=∠С, ∠В=∠D (рис.3) 2. Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольник ∆ABD=∆BCD. 3. Диагонали точкой пересечения делятся пополам: BO=OD, AO=OC (рис.3) 4. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон. BD2+AC2=2(AB2+AD2) 5. Биссектриса угла в параллелограмме отсекает от него равнобедренный треугольник. ∆АВК - равнобедренный. (рис.4) 6. В параллелограмме биссектрисы углов, прилежащих к одной стороне (соседних углов), пересекаются под углом в 90°. 7. Сумма углов, прилежащих к любой стороне параллелограмма равна 180° |
|
|
|
Прямоугольник |
||
|
1. Все свойства параллелограмма (Так как прямоугольник – это тот же параллелограмм, только особенный, поэтому у него присутствуют все свойства параллелограмма). 2. Диагонали прямоугольника равны. BD=AC (рис. 5) |
|
|
|
Ромб |
||
|
1. Ромб является параллелограммом, поэтому у него присутствуют все свойства параллелограмма 2. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом (AC ⊥ BD) и в точке пересечения делятся пополам. Тем самым диагонали делят ромб на четыре прямоугольных треугольника. 3. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов (∠DCA = ∠BCA, ∠ABD = ∠CBD ит.д.). 4.Сумма квадратов диагоналей равна квадрату стороны, умноженному на 4. BD2+AC2=4DC (рис 6) 5. Середины четырех сторон ромба являются вершинами прямоугольника. (рис 7) 6. Диагонали ромба являются перпендикулярными осями его симметрии. 7. В любой ромб можно вписать окружность, центр которой лежит на пересечении его диагоналей.
|
|
|
|
Квадрат |
||
|
1. Все свойства параллелограмма, прямоугольника и ромба.
|
|
|
|
Трапеция |
||
|
1. Сумма углов при каждой боковой стороне трапеции равна 180о. ∠1+∠2=180о ∠3+∠4=180о(рис 9) 2. Треугольники BOC и AOD подобны по двум углам. (рис.10) 3. Средняя линия параллельна основаниям трапеции и равна полусумме оснований. MN=(ВC+AD)/2 (рис 11). (Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется средней линией трапеции.) 4. Диагональ делит среднюю линию на две части, каждая из которых является средней линией получившихся треугольников. MK=AD/2, KN=BC/2(рис 12). 5. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой (рис 13) 6. Биссектрисы углов при боковой стороне трапеции перпендикулярны(рис 14).
|
|
|
|
Равнобедренная трапеция |
||
|
1. Углы при основаниях равны. ∠А=∠D; ∠B=∠C. (рис 15) 2. Диагонали в равнобедренной трапеции равны. BD=AC. (рис 15) 3. Если трапеция является равнобедренной, то около неё можно описать окружность. 4. Если в равнобедренной трапеции диагонали пересекаются под прямым углом, то высота рана длине средней линии данной трапеции. 5. Основание высоты равнобедренной трапеции, опущенной из меньшего основания, делит другое основание на отрезки, больший из которых равен полусумме оснований (рис 16) AC1=(BC+AD)/2 6. Основания высот равнобедренной трапеции, опущенных из меньшего основания, делят большее основание на отрезки, один из которых равен меньшему основанию, а два других – полуразности оснований. (рис 17)
|
|
|
Решение задач
Часть 2
На данном этапе занятия мы с вами рассмотрим решения задач на приведённую в первой части теорию о четырёхугольниках.
|
№1. Найдите периметр параллелограмма RLQS
|
|
|
|
Решение: 1) RL=QS=4 (так как в параллелограмме противолежащие стороны равны) 2) ΔROL=ΔSOQ (по трём сторонам, так как диагонали точкой пересечения делятся попалим) => их медианы опущенные из вершины O равны. 3) LQ=RS=2OB=2·3=6 4) P RLQS =2·(4+6)=20 Ответ: 20
|
|
№2. Найдите периметр параллелограмма ABCD
|
|
|
|
Решение: 1)AD=BC=3 (т.е ΔADK- равнобедренный) 2) <A=<B 3)AB=AK+KB=3+2=5=DC 4)PABCD=2·(5+3)=16 Ответ:16
|
|
№3. Найдите периметр параллелограмма ABCD |
|
|
|
Решение:1)ΔЕDС - равнобедренный (так как CE-биссектриса) 2) DC=AB=6=>ED=6 3) AD=2+6=8 4) PABCD=2·(8+6)=28 Ответ: 28 |
|
№4. Найдите периметр параллелограмма ABCD, если MC=18 |
|
|
|
Решение: 1)<D+<C=180=> <DCE=90-60=30 2) <D=<C=<B=<DAC=90 (так как в параллелограмме противолежащие углы равны) => ABCD-прямоугольник. 3) DC=CB(по условию) => ABCD- квадрат 4) Рассмотрим прямоугольный ΔMCB <M=90-60=30о (так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90О) => BС 5) PABCD=4·9=36 Ответ: 36 |
|
№5. Найдите все углы параллелограмма FEKM |
|
|
|
Решение: 1) FEKM – ромб (так как у данного параллелограмма все стороны раны) 2) <K=<F=2·30=60 (так как диагонали ромба являются биссектрисами его углов) 3)<E=<M= Ответ: <K=<F=60о, <E=<M=120о |
|
№6. Найдите все углы параллелограмма FEKN |
|
|
|
Решение: 1) ΔKFO-равносторонний => все его углы по 60о 2)<EKN=<FEK=30о (как накрест лежащие при секущей KE и параллельных FE, KN) 3)<K==<E=60+30=90 и <F=<N=180-90=90 => FEKN-прямоугольник. Можно построить другое рассуждение, опираясь на признак прямоугольника (диагонали равны) 1) FO=ON=OE=KO (так как в параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам) => FO=KE, значит FEKN-прямоугольник, т. е. все углы по 90о Ответ: <K=<F=<E=<N=90о |
|
№7. Найдите все углы параллелограмма MSFT, если <1- <2=10о |
|
|
|
Решение: 1)SF=MT=FT=SM=> MSFT-ромб 2) Рассмотрим прямоугольный ΔSOF (<SOF=90о так как диагонали ромба пересекаются под прямым углом) 3)<1=10+<2 и <1+<2=90о (как сумма
острых углов прямоугольного треугольника) =>10+<2+<2=90о =>
<2 4) <S=<T=40·2=80о 5) <F=<M=2·<1 =50·2=100о Ответ: <F=<M=100о, <S=<T=80о |
|
№8. В трапеции ABCD найдите <A, <B,<C |
|
|
|
Решение: 1)<ACB=180-(90+60)=30о (так как сумма углов при каждой боковой стороне трапеции равна 180) 2)<C=30+90=120о 3) ΔABC- равнобедренный => <ACB=<BAC=30о <B=180-2·30=120о 4)<A=180-<B=180-120=60о Ответ: <А=<D=60о,<B=<C=120о (можно сделать вывод, что данная трапеция является равнобедренной) |
|
№9. В трапеции MSRK найдите <R, <M,<K |
|
|
|
Решение: 1)Трапеция MSRK- прямоугольная (так как <S=90о) => <M=90о 2)
<K= 3) < R=180-65=115о (так сумма углов при боковой стороне равна 180о ) Ответ: <R=115о, <M=90о, <K=65о |
|
№10. В трапеции TEFR найдите <T, <E,<F, <R |
|
|
|
Решение: 1) Пусть x=<REF => <FRE=x (как углы при основании равнобедренного треугольника) 2) <REF= <ERT=x (как накрест лежащие углы при секущей ER и параллельных EF, TR) 3) <T=<R=2x (так как у равнобедренной трапеции углы при основаниях раны) 4) <E+<T=180 (так сумма углов при боковой стороне равна 180о) => 2x+75+x=180 x=35о 5) <E=<F=35+75=110о 6) <T+<R=180-110=70o Ответ<T=<R=70о, <F=<E=110о |
|
№11. Найдите пириметр трапеции ABCD. |
|
|
|
Решение:1) Опустим две высоты из вершины В и С. 2) BK=CF= 3) AB=CD=2FK=17·2=34 (так как <ABK=30o, а напротив угла в 30о лежит катет равный половине гипотенузы) 4) PABCD=49+15+2·34=132 Ответ: 132 |
|
№12.Найдите нижнее основание AD трапеции ABCD |
|
|
|
Решение: 1) <ECD=90-45=45 =>ΔDEC-равнобедренный. 2) ED=EC=12 3) Провидите высоту из вершины В, она будет равна СЕ=BK=12. => КЕ=4 3) tg 60o (напомним, что tgα это отношение противолежащего катета к прилежащему) 4) FD= Ответ: |
|
№13. Основания трапеции равны 4 и 10. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из ее диагоналей. |
|
|
|
Найти: KF Решение: 1) Можно начать расматривать средею линию TF трапеции, но рациональний увидеть, что TK и KF это средние линии ΔАВС и ΔACD соответственно. 2) KF= Ответ: 5 |
.
Площади выпуклых четырёхугольников
Часть 3
В данной таблице приведены основные формулы нахождения площадей четырёхугольников.
|
Вид четырёхугольника |
Чертёж |
Формула площади |
|
Произвольный выпуклый четырёхугольник |
|
d1 и d2 –диагонали, φ – любой из четырёх углов между ними |
|
|
|
a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника, p –полупериметр |
|
|
|
S = a ha a – сторона, ha – высота, опущенная на эту сторону |
|
|
S = ab sin φ a и b – смежные стороны, φ – угол между ними |
|
|
|
d1 и d2 – диагонали, |
|
|
Прямоугольник |
|
S = ab a и b – смежные стороны |
|
|
d – диагональ, φ – любой из четырёх углов между диагоналями |
|
|
|
S = 2R2 sin φ R–
радиус описанной окружности, |
|
|
|
|
S = a2 a – сторона квадрата |
|
|
S = 4r2 r – радиус вписанной окружности |
|
|
|
d – диагональ квадрата |
|
|
|
S = 2R2 Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R R – радиус описанной окружности |
|
|
|
|
S = a ha a – сторона, ha –высота, опущенная на эту сторону |
|
|
S = a2 sin φ a –
сторона, |
|
|
|
d1 и d2 – диагонали |
|
|
|
S = 2ar a –
сторона, |
|
|
|
r –
радиус вписанной окружности, |
|
|
|
a и b – основания, h – высота |
|
|
|
S = m h m – средняя линия, h –высота |
|
|
|
d1 и d2 – диагонали, φ – любой из четырёх углов между ними |
|
|
|
a и b – основания, c и d – боковые стороны |
|
|
Универсальная формула для нахождения площади фигуры изображённой на клетки: Формула Пи́ка |
|
В — количество целочисленных точек внутри многоугольника; Г — количество целочисленных точек на границе многоугольника. |
Рассмотри несколько задач на применения данных формул
|
№ 1 Найдите площади четырёхугольника ABCD. |
|
|
|
Решение: 1) Используем формулу Пика, В=17, Г-14 2) Ответ: 23 |
|
№2. Найдите площадь трапеции ABCD, если АВ=25 |
|
|
|
Решение:
Ответ: 174 |
|
№3. Найдите площадь прямоугольника ABCD. |
|
|
|
Решение: 1) AB=AK=5 (так как биссектриса BK отсекает от прямоугольника равнобедренный ΔABK) 2) BC=AD=5+3=8 (так как противолежащие стороны у прямоугольника равны.) 3) SABCD=8·5=40 Ответ: 40 |
|
№4. Найдите площадь параллелограмма ABCD. |
|
|
|
Решение. 1) Опустим высоту АК на прямую ВС. 2) АК= 3) S=9·12,5=112,5 Ответ: 112,5 |
|
№4. Найдите площадь параллелограмма ABCD, если АС=48, BD=36/ |
|
|
|
Решение: 1) ABCD – ромб (так как AB=AD=BC=DC) 2) Ответ: 864 |
|
№5. Найдите площадь трапеции ABCD, если АМ=10. |
|
|
|
Решение: 1) <MAD=90-45=45o => ΔMDA равнобедренный. 2) MD=MA=10 и СD=BM=14 3) AВ=10+14=24 4) Ответ:190 |
|
|
|
|
|
Решение: 1) SABCD=AB·AD·sin<A => SABCD =
Ответ: 15 |
Решение задач с самопроверкой
часть 4
Предлагаем вам самостоятельно выполнить данные задания по теме четырёхугольники и произвести проверку, ответы представлены в конце данного занятия.
|
|
|
|
|
№9 Периметр ромба равен 80, а один из углов равен 30о. Найдите площадь ромба. №10 Площадь ромба равен 42, а периметр равен 28. Найдите высоту ромба. |
|
Ответы: 1) 108; 2) 16; 3) 104; 4) 69; 5)135,75; 6) 2; 7) 156; 8) 23; 9) 200; 10) 6. |
Далее Вам предстоит пройти тестирования по теме «Четырехугольники», в котором 15 заданий, для получения отметки «зачтено» необходимо выполнить правильно 13 заданий (≈85 %).
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ Занятие 2.1 четырёхугольники (теоретическая часть).docx
Занятие №2
Тема: Выпуклые четырёхугольники
часть 1
|
Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков. При этом никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться.
|
|
|
ü Вершины четырехугольника называются соседними, если они являются концами одной из его сторон.
ü Вершины, не являющиеся соседними, называются противоположными.
ü Отрезки, соединяющие противолежащие вершины четырехугольника, называются диагоналями.
ü Стороны четырехугольника, исходящие из одной вершины, называются соседними сторонами.
ü Стороны, не имеющие общего конца, называются противолежащими сторонами.
Основные типы выпуклых четырехугольников
|
Рисунок |
Определение |
|
|
Параллелограмм |
|
Параллелограмм – это четырёхугольник, у которого противолежащие стороны параллельны |
|
|
Прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы прямые. |
|
|
|
Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны. |
|
|
Квадрат |
|
Квадрат – это параллелограмм, у которого все углы прямые и все стороны равны. |
|
Трапеция |
|
Трапеция – это четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны. |
|
Равнобедренная (равнобочная) трапеция |
|
Равнобедренной называют трапецию, у которой боковые стороны равны. |
|
Прямоугольная трапеция |
|
Прямоугольной называют трапецию, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям. |
Свойства выпуклых четырёхугольников
Свойства |
Чертёж |
|
|
Параллелограмм |
||
|
1. В параллелограмме противоположные стороны и углы попарно равны. АВ=CD, BC=AD; ∠А=∠С, ∠В=∠D (рис.3) 2. Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольник ∆ABD=∆BCD. 3. Диагонали точкой пересечения делятся пополам: BO=OD, AO=OC (рис.3) 4. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон. BD2+AC2=2(AB2+AD2) 5. Биссектриса угла в параллелограмме отсекает от него равнобедренный треугольник. ∆АВК - равнобедренный. (рис.4) 6. В параллелограмме биссектрисы углов, прилежащих к одной стороне (соседних углов), пересекаются под углом в 90°. 7. Сумма углов, прилежащих к любой стороне параллелограмма равна 180° |
|
|
|
Прямоугольник |
||
|
1. Все свойства параллелограмма (Так как прямоугольник – это тот же параллелограмм, только особенный, поэтому у него присутствуют все свойства параллелограмма). 2. Диагонали прямоугольника равны. BD=AC (рис. 5) |
|
|
|
Ромб |
||
|
1. Ромб является параллелограммом, поэтому у него присутствуют все свойства параллелограмма 2. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом (AC ⊥ BD) и в точке пересечения делятся пополам. Тем самым диагонали делят ромб на четыре прямоугольных треугольника. 3. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов (∠DCA = ∠BCA, ∠ABD = ∠CBD ит.д.). 4.Сумма квадратов диагоналей равна квадрату стороны, умноженному на 4. BD2+AC2=4DC (рис 6) 5. Середины четырех сторон ромба являются вершинами прямоугольника. (рис 7) 6. Диагонали ромба являются перпендикулярными осями его симметрии. 7. В любой ромб можно вписать окружность, центр которой лежит на пересечении его диагоналей.
|
|
|
|
Квадрат |
||
|
1. Все свойства параллелограмма, прямоугольника и ромба.
|
|
|
|
Трапеция |
||
|
1. Сумма углов при каждой боковой стороне трапеции равна 180о. ∠1+∠2=180о ∠3+∠4=180о(рис 9) 2. Треугольники BOC и AOD подобны по двум углам. (рис.10) 3. Средняя линия параллельна основаниям трапеции и равна полусумме оснований. MN=(ВC+AD)/2 (рис 11). (Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется средней линией трапеции.) 4. Диагональ делит среднюю линию на две части, каждая из которых является средней линией получившихся треугольников. MK=AD/2, KN=BC/2(рис 12). 5. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой (рис 13) 6. Биссектрисы углов при боковой стороне трапеции перпендикулярны(рис 14).
|
|
|
|
Равнобедренная трапеция |
||
|
1. Углы при основаниях равны. ∠А=∠D; ∠B=∠C. (рис 15) 2. Диагонали в равнобедренной трапеции равны. BD=AC. (рис 15) 3. Если трапеция является равнобедренной, то около неё можно описать окружность. 4. Если в равнобедренной трапеции диагонали пересекаются под прямым углом, то высота рана длине средней линии данной трапеции. 5. Основание высоты равнобедренной трапеции, опущенной из меньшего основания, делит другое основание на отрезки, больший из которых равен полусумме оснований (рис 16) AC1=(BC+AD)/2 6. Основания высот равнобедренной трапеции, опущенных из меньшего основания, делят большее основание на отрезки, один из которых равен меньшему основанию, а два других – полуразности оснований. (рис 17)
|
|
|
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ Занятие 2.2 четырёхугольники (Решение задач.).docx
Решение задач
Часть 2
На данном этапе занятия мы с вами рассмотрим решения задач на приведённую в первой части теорию о четырёхугольниках.
|
№1. Найдите периметр параллелограмма RLQS
|
|
|
|
Решение: 1) RL=QS=4 (так как в параллелограмме противолежащие стороны равны) 2) ΔROL=ΔSOQ (по трём сторонам, так как диагонали точкой пересечения делятся попалим) => их медианы опущенные из вершины O равны. 3) LQ=RS=2OB=2·3=6 4) P RLQS =2·(4+6)=20 Ответ: 20
|
|
№2. Найдите периметр параллелограмма ABCD
|
|
|
|
Решение: 1)AD=BC=3 (т.е ΔADK- равнобедренный) 2) <A=<B 3)AB=AK+KB=3+2=5=DC 4)PABCD=2·(5+3)=16 Ответ:16
|
|
№3. Найдите периметр параллелограмма ABCD |
|
|
|
Решение:1)ΔЕDС - равнобедренный (так как CE-биссектриса) 2) DC=AB=6=>ED=6 3) AD=2+6=8 4) PABCD=2·(8+6)=28 Ответ: 28 |
|
№4. Найдите периметр параллелограмма ABCD, если MC=18 |
|
|
|
Решение: 1)<D+<C=180=> <DCE=90-60=30 2) <D=<C=<B=<DAC=90 (так как в параллелограмме противолежащие углы равны) => ABCD-прямоугольник. 3) DC=CB(по условию) => ABCD- квадрат 4) Рассмотрим прямоугольный ΔMCB <M=90-60=30о (так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90О) => BС 5) PABCD=4·9=36 Ответ: 36 |
|
№5. Найдите все углы параллелограмма FEKM |
|
|
|
Решение: 1) FEKM – ромб (так как у данного параллелограмма все стороны раны) 2) <K=<F=2·30=60 (так как диагонали ромба являются биссектрисами его углов) 3)<E=<M= Ответ: <K=<F=60о, <E=<M=120о |
|
№6. Найдите все углы параллелограмма FEKN |
|
|
|
Решение: 1) ΔKFO-равносторонний => все его углы по 60о 2)<EKN=<FEK=30о (как накрест лежащие при секущей KE и параллельных FE, KN) 3)<K==<E=60+30=90 и <F=<N=180-90=90 => FEKN-прямоугольник. Можно построить другое рассуждение, опираясь на признак прямоугольника (диагонали равны) 1) FO=ON=OE=KO (так как в параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам) => FO=KE, значит FEKN-прямоугольник, т. е. все углы по 90о Ответ: <K=<F=<E=<N=90о |
|
№7. Найдите все углы параллелограмма MSFT, если <1- <2=10о |
|
|
|
Решение: 1)SF=MT=FT=SM=> MSFT-ромб 2) Рассмотрим прямоугольный ΔSOF (<SOF=90о так как диагонали ромба пересекаются под прямым углом) 3)<1=10+<2 и <1+<2=90о (как сумма
острых углов прямоугольного треугольника) =>10+<2+<2=90о =>
<2 4) <S=<T=40·2=80о 5) <F=<M=2·<1 =50·2=100о Ответ: <F=<M=100о, <S=<T=80о |
|
№8. В трапеции ABCD найдите <A, <B,<C |
|
|
|
Решение: 1)<ACB=180-(90+60)=30о (так как сумма углов при каждой боковой стороне трапеции равна 180) 2)<C=30+90=120о 3) ΔABC- равнобедренный => <ACB=<BAC=30о <B=180-2·30=120о 4)<A=180-<B=180-120=60о Ответ: <А=<D=60о,<B=<C=120о (можно сделать вывод, что данная трапеция является равнобедренной) |
|
№9. В трапеции MSRK найдите <R, <M,<K |
|
|
|
Решение: 1)Трапеция MSRK- прямоугольная (так как <S=90о) => <M=90о 2)
<K= 3) < R=180-65=115о (так сумма углов при боковой стороне равна 180о ) Ответ: <R=115о, <M=90о, <K=65о |
|
№10. В трапеции TEFR найдите <T, <E,<F, <R |
|
|
|
Решение: 1) Пусть x=<REF => <FRE=x (как углы при основании равнобедренного треугольника) 2) <REF= <ERT=x (как накрест лежащие углы при секущей ER и параллельных EF, TR) 3) <T=<R=2x (так как у равнобедренной трапеции углы при основаниях раны) 4) <E+<T=180 (так сумма углов при боковой стороне равна 180о) => 2x+75+x=180 x=35о 5) <E=<F=35+75=110о 6) <T+<R=180-110=70o Ответ<T=<R=70о, <F=<E=110о |
|
№11. Найдите пириметр трапеции ABCD. |
|
|
|
Решение:1) Опустим две высоты из вершины В и С. 2) BK=CF= 3) AB=CD=2FK=17·2=34 (так как <ABK=30o, а напротив угла в 30о лежит катет равный половине гипотенузы) 4) PABCD=49+15+2·34=132 Ответ: 132 |
|
№12.Найдите нижнее основание AD трапеции ABCD |
|
|
|
Решение: 1) <ECD=90-45=45 =>ΔDEC-равнобедренный. 2) ED=EC=12 3) Провидите высоту из вершины В, она будет равна СЕ=BK=12. => КЕ=4 3) tg 60o (напомним, что tgα это отношение противолежащего катета к прилежащему) 4) FD= Ответ: |
|
№13. Основания трапеции равны 4 и 10. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из ее диагоналей. |
|
|
|
Найти: KF Решение: 1) Можно начать расматривать средею линию TF трапеции, но рациональний увидеть, что TK и KF это средние линии ΔАВС и ΔACD соответственно. 2) KF= Ответ: 5 |
.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ Занятие 2.3 четырёхугольники (теоретическая часть).docx
Площади выпуклых четырёхугольников
Часть 3
В данной таблице приведены основные формулы нахождения площадей четырёхугольников.
|
Вид четырёхугольника |
Чертёж |
Формула площади |
|
Произвольный выпуклый четырёхугольник |
|
d1 и d2 –диагонали, φ – любой из четырёх углов между ними |
|
|
|
a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника, p –полупериметр |
|
|
|
S = a ha a – сторона, ha – высота, опущенная на эту сторону |
|
|
S = ab sin φ a и b – смежные стороны, φ – угол между ними |
|
|
|
d1 и d2 – диагонали, |
|
|
Прямоугольник |
|
S = ab a и b – смежные стороны |
|
|
d – диагональ, φ – любой из четырёх углов между диагоналями |
|
|
|
S = 2R2 sin φ R–
радиус описанной окружности, |
|
|
|
|
S = a2 a – сторона квадрата |
|
|
S = 4r2 r – радиус вписанной окружности |
|
|
|
d – диагональ квадрата |
|
|
|
S = 2R2 Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R R – радиус описанной окружности |
|
|
|
|
S = a ha a – сторона, ha –высота, опущенная на эту сторону |
|
|
S = a2 sin φ a –
сторона, |
|
|
|
d1 и d2 – диагонали |
|
|
|
S = 2ar a –
сторона, |
|
|
|
r –
радиус вписанной окружности, |
|
|
|
a и b – основания, h – высота |
|
|
|
S = m h m – средняя линия, h –высота |
|
|
|
d1 и d2 – диагонали, φ – любой из четырёх углов между ними |
|
|
|
a и b – основания, c и d – боковые стороны |
|
|
Универсальная формула для нахождения площади фигуры изображённой на клетки: Формула Пи́ка |
|
В — количество целочисленных точек внутри многоугольника; Г — количество целочисленных точек на границе многоугольника. |
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ Занятие 2.4 четырёхугольники (Решение задач.).docx
Рассмотри несколько задач на применения формул площадей четырёхугольников
|
№ 1 Найдите площади четырёхугольника ABCD. |
|
|
|
Решение: 1) Используем формулу Пика, В=17, Г=14 2) Ответ: 23 |
|
№2. Найдите площадь трапеции ABCD, если АВ=25 |
|
|
|
Решение:
Ответ: 174 |
|
№3. Найдите площадь прямоугольника ABCD. |
|
|
|
Решение: 1) AB=AK=5 (так как биссектриса BK отсекает от прямоугольника равнобедренный ΔABK) 2) BC=AD=5+3=8 (так как противолежащие стороны у прямоугольника равны.) 3) SABCD=8·5=40 Ответ: 40 |
|
№4. Найдите площадь параллелограмма ABCD. |
|
|
|
Решение. 1) Опустим высоту АК на прямую ВС. 2) АК= 3) S=9·12,5=112,5 Ответ: 112,5 |
|
№4. Найдите площадь параллелограмма ABCD, если АС=48, BD=36/ |
|
|
|
Решение: 1) ABCD – ромб (так как AB=AD=BC=DC) 2) Ответ: 864 |
|
№5. Найдите площадь трапеции ABCD, если АМ=10. |
|
|
|
Решение: 1) <MAD=90-45=45o => ΔMDA равнобедренный. 2) MD=MA=10 и СD=BM=14 3) AВ=10+14=24 4) Ответ:190 |
|
|
|
|
|
Решение: 1) SABCD=AB·AD·sin<A => SABCD =
Ответ: 15 |
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ Занятие 2.5 четырёхугольники (Решение задач с самопроверкой.).docx
Решение задач с самопроверкой
часть 4
Предлагаем вам самостоятельно выполнить данные задания по теме четырёхугольники и произвести проверку, ответы представлены в конце данного занятия.
|
|
|
|
|
№9 Периметр ромба равен 80, а один из углов равен 30о. Найдите площадь ромба. №10 Площадь ромба равен 42, а периметр равен 28. Найдите высоту ромба. |
|
Ответы: 1) 108; 2) 16; 3) 104; 4) 58; 5)135,75; 6) 2; 7) 156; 8) 23; 9) 200; 10) 6. |
Далее Вам предстоит пройти тестирования по теме «Четырехугольники», в котором 15 заданий, для получения отметки «зачтено» необходимо выполнить правильно 13 заданий (≈85 %).
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ Занятие 2.1 четырёхугольники (теоретическая часть).pdf
Занятие №2
Тема: Выпуклые четырёхугольники
часть 1
Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков. При этом никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться.
Четырёхугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от любой прямой, проходящей через любые две его смежные вершины (рис.1 и рис. 2)
ü Вершины четырехугольника называются соседними, если они являются концами одной из его сторон.
ü Вершины, не являющиеся соседними, называются противоположными.
ü Отрезки, соединяющие противолежащие вершины четырехугольника, называются диагоналями.
ü Стороны четырехугольника, исходящие из одной вершины, называются соседними сторонами.
ü Стороны, не имеющие общего конца, называются противолежащими сторонами.
Основные типы выпуклых четырехугольников
|
Фигура |
Рисунок |
Определение |
|
Параллелограмм |
|
Параллелограмм – это четырёхугольник, у которого противолежащие стороны параллельны |
|
Прямоугольник |
|
Прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы прямые. |
|
Ромб |
|
Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны. |
|
Квадрат |
|
Квадрат – это параллелограмм, у которого все углы прямые и все стороны равны. |
|
Трапеция |
|
Трапеция – это четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны. |
|
Равнобедренная (равнобочная) трапеция |
|
Равнобедренной называют трапецию, у которой боковые стороны равны. |
|
Прямоугольная трапеция |
|
Прямоугольной называют трапецию, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям. |
Свойства выпуклых четырёхугольников
|
Свойства |
Чертёж |
|
|
Параллелограмм |
||
|
1. В параллелограмме противоположные стороны и углы попарно равны. АВ=CD, BC=AD; 2. Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольник ∆ABD=∆BCD. 3. Диагонали точкой пересечения делятся пополам: BO=OD, AO=OC (рис.3) 4. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон. BD2+AC2=2(AB2+AD2) 5. Биссектриса угла в параллелограмме отсекает от него равнобедренный треугольник. ∆АВК - равнобедренный. (рис.4) 6. В параллелограмме биссектрисы углов, прилежащих к одной стороне (соседних углов), пересекаются под углом в 90°. 7. Сумма углов, прилежащих к любой стороне параллелограмма равна 180° |
|
|
|
Прямоугольник |
||
|
1. Все свойства параллелограмма (Так как прямоугольник – это тот же параллелограмм, только особенный, поэтому у него присутствуют все свойства параллелограмма). 2. Диагонали прямоугольника равны. BD=AC (рис. 5) |
|
|
|
Ромб |
||
|
1. Ромб является параллелограммом, поэтому у него присутствуют все свойства параллелограмма 2. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом (AC ⊥ BD) и в точке пересечения делятся пополам. Тем самым диагонали делят ромб на четыре прямоугольных треугольника. 3. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов (∠DCA = ∠BCA, ∠ABD = ∠CBD ит.д.). 4.Сумма квадратов диагоналей равна квадрату стороны, умноженному на 4. BD2+AC2=4DC (рис 6) 5. Середины четырех сторон ромба являются вершинами прямоугольника. (рис 7) 6. Диагонали ромба являются перпендикулярными осями его симметрии. 7. В любой ромб можно вписать окружность, центр которой лежит на пересечении его диагоналей.
|
|
|
Квадрат |
|
|
1. Все свойства параллелограмма, прямоугольника и ромба.
|
|
|
Трапеция |
|
|
1. Сумма углов при каждой боковой стороне трапеции равна 180о. ∠1+∠2=180о ∠3+∠4=180о(рис 9) 2. Треугольники BOC и AOD подобны по двум углам. (рис.10) 3. Средняя линия параллельна основаниям трапеции и равна полусумме оснований. MN=(ВC+AD)/2 (рис 11). (Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется средней линией трапеции.) 4. Диагональ делит среднюю линию на две части, каждая из которых является средней линией получившихся треугольников. MK=AD/2, KN=BC/2(рис 12). 5.
|
|
|
6. Биссектрисы углов при боковой стороне трапеции перпендикулярны(рис 14).
|
|
|
Равнобедренная трапеция |
|
|
1.
Углы при основаниях равны.
2. Диагонали в равнобедренной трапеции равны. BD=AC. (рис 15) 3. Если трапеция является равнобедренной, то около неё можно описать окружность. 4. Если в равнобедренной трапеции диагонали пересекаются под прямым углом, то высота рана длине средней линии данной трапеции. 5. Основание высоты равнобедренной трапеции, опущенной из меньшего основания, делит другое основание на отрезки, больший из которых равен полусумме оснований (рис 16) AC1=(BC+AD)/2 |
|
|
6. Основания высот равнобедренной трапеции, опущенных из меньшего основания, делят большее основание на отрезки, один из которых равен меньшему основанию, а два других – полуразности оснований. (рис 17)
|
|
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ Занятие 2.2 четырёхугольники (Решение задач.).pdf
Решение задач
Часть 2
На данном этапе занятия мы с вами рассмотрим решения задач на приведённую в первой части теорию о четырёхугольниках.
|
№1. Найдите периметр параллелограмма RLQS
|
|
|
|
Решение: 1) RL=QS=4 (так как в параллелограмме противолежащие стороны равны) 2) ΔROL=ΔSOQ (по трём сторонам, так как диагонали точкой пересечения делятся попалим) => их медианы опущенные из вершины O равны. 3) LQ=RS=2OB=2·3=6 4) P RLQS =2·(4+6)=20 Ответ: 20
|
|
№2. Найдите периметр параллелограмма AB
|
CD |
|
|
Решение: 1)AD=BC=3 (т.е ΔADK- равнобедренный) 2)
<A=<B равносторонний 3)AB=AK+KB=3+2=5=DC 4)PABCD=2·(5+3)=16 Ответ:16
|
|
№3. Найдите периметр параллелограмма AB |
CD |
|
|
Решение:1)ΔЕDС - равнобедренный (так как CE-биссектриса) 2) DC=AB=6=>ED=6 3) AD=2+6=8 4) PABCD=2·(8+6)=28 Ответ: 28 |
|
№4. Найдите периметр параллелограмма AB |
CD, если MC=18 |
|
|
Решение: 1)<D+<C=180=> <DCE=90- 60=30 2) <D=<C=<B=<DAC=90 (так как в параллелограмме противолежащие углы равны) => ABCDпрямоугольник. 3) DC=CB(по условию) => ABCD- квадрат 4) Рассмотрим прямоугольный ΔMCB <M=90-60=30о (так как сумма острых |
|
|
углов прямоугольного треугольника равна 90О) => MC 18
2 2 прямоугольном треугольнике против угла в 30о лежит катет равный половине гипотенузы) 5) PABCD=4·9=36 Ответ: 36 |
|
№5. Найдите все углы параллелограмма FEKM |
|
|
|
Решение: 1) FEKM – ромб (так как у данного параллелограмма все стороны раны) 2) <K=<F=2·30=60 (так как диагонали ромба являются биссектрисами его углов) 3)<E=<M= Ответ: <K=<F=60о, <E=<M=120о |
|
№6. Найдите все углы параллелограмма FEKN |
|
|
|
Решение: 1) ΔKFO-равносторонний => все его углы по 60о 2)<EKN=<FEK=30о (как накрест лежащие при секущей KE и параллельных FE, KN) 3)<K==<E=60+30=90 и <F=<N=18090=90 => FEKN-прямоугольник. Можно построить другое рассуждение, опираясь на признак прямоугольника (диагонали равны) 1) FO=ON=OE=KO (так как в параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам) => FO=KE, значит FEKNпрямоугольник, т. е. все углы по 90о Ответ: <K=<F=<E=<N=90о |
|
№7. Найдите все углы параллелограмма MSFT, если <1- <2=10о |
|
|
|
Решение: 1)SF=MT=FT=SM=> MSFTромб 2) Рассмотрим прямоугольный ΔSOF (<SOF=90о так как диагонали ромба пересекаются под прямым углом) 3)<1=10+<2 и <1+<2=90о (как сумма острых углов прямоугольного треугольника) =>10+<2+<2=90о => <2 4) <S=<T=40·2=80о 5) <F=<M=2·<1 =50·2=100о |
|
|
Ответ: <F=<M=100о, <S=<T=80о |
|
№8. В трапеции ABCD найдите <A, <B,<C |
|
|
|
Решение: 1)<ACB=180-(90+60)=30о (так как сумма углов при каждой боковой стороне трапеции равна 180) 2)<C=30+90=120о 3) ΔABC- равнобедренный => <ACB=<BAC=30о <B=180-2·30=120о 4)<A=180-<B=180-120=60о Ответ: <А=<D=60о,<B=<C=120о (можно сделать вывод, что данная трапеция является равнобедренной) |
|
№9. В трапеции MSRK найдите <R, <M,<K |
|
|
|
Решение: 1)Трапеция MSRK- прямоугольная (так как <S=90о) => <M=90о 2)
<K= ΔMRK равнобедренный) 3) < R=180-65=115о (так сумма углов при боковой стороне равна 180о ) Ответ: <R=115о, <M=90о, <K=65о |
|
№10. В трапеции TEFR найдите <T, <E,<F, <R |
|
|
|
Решение: 1) Пусть x=<REF => <FRE=x (как углы при основании равнобедренного треугольника) 2) <REF= <ERT=x (как накрест лежащие углы при секущей ER и параллельных EF, TR) 3) <T=<R=2x (так как у равнобедренной трапеции углы при основаниях раны) 4) <E+<T=180 (так сумма углов при боковой стороне равна 180о) => 2x+75+x=180 x=35о 5) <E=<F=35+75=110о 6) <T+<R=180-110=70o Ответ<T=<R=70о, <F=<E=110о |
|
№11. Найдите пириметр трапеции ABCD. |
|
|
|
Решение:1) Опустим две высоты из вершины В и С. 2)
BK=CF= 3) AB=CD=2FK=17·2=34 (так как <ABK=30o, а напротив угла в 30о лежит катет равный половине |
|
|
гипотенузы) 4) PABCD=49+15+2·34=132 Ответ: 132 |
|
№12.Найдите нижнее основание AD трапеции |
ABCD |
|
|
Решение: 1) <ECD=90-45=45 =>ΔDEC-равнобедренный. 2) ED=EC=12 3) Провидите высоту из вершины В, она будет равна СЕ=BK=12. => КЕ=4 3)
(напомним, что tgα это отношение противолежащего катета к прилежащему) 4)
FD= 12 3 164 316 3
|
|
№13. Основания трапеции равны 4 и 10. Най |
дите больший из отрезков, на которые |
|
делит среднюю линию этой трапеции одна из ее ди |
агоналей. |
|
|
Найти: KF Решение: 1) Можно начать расматривать средею линию
TF трапеции, но рациональний увидеть, что TK и KF это средние линии ΔАВС и
ΔACD соответственно. 2) KF= треугольника равна половине основания, которому она параллельна) Ответ: 5 |
.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ Занятие 2.3 четырёхугольники (теоретическая часть).pdf
Площади выпуклых четырёхугольников
Часть 3
В данной таблице приведены основные формулы нахождения площадей четырёхугольников.
|
Вид четырёхугольника |
Чертёж |
Формула площади |
|
|
φ – любой из четырёх углов между ними |
|
|
|
|
a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника, p –полупериметр |
|
|
|
S = a ha a – сторона, ha – высота, опущенная на эту сторону |
|
|
S = ab sin φ a и b – смежные стороны, φ – угол между ними |
|
|
|
φ – любой из четырёх углов между диагоналями. |
|
Прямоугольник |
|
S = ab a и b – смежные стороны |
|
|
d – диагональ, φ – любой из четырёх углов между диагоналями |
|
|
|
S = 2R2 sin φ R– радиус описанной окружности, φ – любой из четырёх углов между диагоналями |
|
|
|
|
S = a2 a – сторона квадрата |
|
|
S = 4r2 r – радиус вписанной окружности |
|
|
|
d – диагональ квадрата |
|
|
|
S = 2R2 Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R R – радиус описанной окружности |
|
|
|
S = a ha |
|
|
S = a2 sin φ a – сторона, φ – любой из четырёх углов ромба |
|
|
|
d1 и d2 – диагонали |
|
|
|
S = 2ar a – сторона, r – радиус вписанной окружности |
|
|
|
r – радиус вписанной окружности, φ – любой из четырёх углов ромба |
|
|
|
a и b – основания, h – высота |
|
|
|
|
S = m h m – средняя линия, h –высота |
|
|
φ – любой из четырёх углов между ними |
|
|
|
a и b – основания, c и d – боковые стороны |
|
|
ниверсальная формула для нахождения площади фигуры изображённой на клетки ормула Пи ка |
|
SВ
2 В — количество целочисленных точек внутри многоугольника; Г — количество целочисленных точек на границе многоугольника. |
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ Занятие 2.4 четырёхугольники (Решение задач.).pdf
Рассмотри несколько задач на применения формул площадей четырёхугольников
|
№ 1 Найдите площади четырёхугольника ABCD. |
|
|
|
Решение: 1) Используем формулу Пика, В=17, Г=14 2) S В
2 2 Ответ: 23 |
|
№2. Найдите площадь трапеции ABCD, если АВ=25 |
|
|
|
Решение: DC S 2 2
Ответ: 174 |
|
№3. Найдите площадь прямоугольника ABCD. |
|
|
|
Решение: 1) AB=AK=5 (так как биссектриса BK отсекает от прямоугольника равнобедренный ΔABK) 2) BC=AD=5+3=8 (так как противолежащие стороны у прямоугольника равны.) 3) SABCD=8·5=40 Ответ: 40 |
|
№4. Найдите площадь параллелограмма ABCD. |
|
|
|
Решение. 1) Опустим высоту АК на прямую ВС. АС 18 2)
2 2 катет равный половине гипотенузы) 3) S=9·12,5=112,5 Ответ: 112,5 |
|
№4. Найдите площадь параллелограмма ABCD, если АС=48, BD=36/ |
|
|
|
Решение: 1) ABCD – ромб (так как AB=AD=BC=DC) AC
2 2 Ответ: 864 |
|
№5. Найдите площадь трапеции ABCD, ес |
ли АМ=10. |
|
|
Решение: 1) <MAD=90-45=45o => ΔMDA равнобедренный. 2) MD=MA=10 и СD=BM=14 3) AВ=10+14=24 4) S Ответ:190 |
|
|
|
|
|
Решение: 1) SABCD=AB·AD·sin<A =>
2
Ответ: 15 |
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ Занятие 2.5 четырёхугольники (Решение задач с самопроверкой.).pdf
Решение задач с самопроверкой часть 4
Предлагаем вам самостоятельно выполнить данные задания по теме четырёхугольники и произвести проверку, ответы представлены в конце данного занятия.
№9 Периметр ромба равен 80, а один из углов равен 30 . Найдите площадь ромба. №10 Площадь ромба равен 42, а периметр равен 28. Найдите высоту ромба.
Ответы: 1) 108; 2) 16; 3) 104; 4) 58; 5)135,75; 6) 2; 7) 156; 8) 23; 9) 200; 10) 6.
Далее Вам предстоит пройти тестирования по теме «Четырехугольники», в котором 15 заданий, для получения отметки «зачтено» необходимо выполнить правильно 13 заданий (≈85 %).
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ тест 2.6 четырёхугольники.pdf
№1. Найдите периметр
параллелограмма MPKN.
1) 10
2) 24
3) 20*
4) 5
№2. Найдите периметр
параллелограмма QPNK.
1) 36
2) 24
3) 72
4) 24*
№3. В параллелограмме MNPK найдите
<M, <P, <K, <N.
1) 70; 70; 110;110*
2) 135; 135; 45; 45
3) 135; 135; 65; 65 4) 45; 65; 110; 110
№4. В трапеции ABCD найдите <B и
<C.
1) 70; 50
2) 110; 130*
3) 120; 60
4) 20; 40
№5. Найдите длины смежных
сторон параллелограмма SLOM, если LOLS=1 и его периметр равен 36 см.
1) 8,5; 9,5*
2) 18; 18
3) 17; 18
4) 8,5; 7,5
№6. В трапеции EFMN найдите
<F, <M.
1) 65; 90
2) 90; 115*
3) 155; 90
4) 90; 25
№7. В трапеции FRMK найдите
<F, <K <M, <R.
1) 35; 35; 55; 55
2) 35; 55; 125; 90
3) 55; 55; 125; 125*
4) 90; 90; 35; 35
№8. Запишите, чему равен
периметр трапеции ADCB.
Ответ:______(84)
№9. Запишите, чему равна длина
средней линии трапеции, если ее основания
равны 30 и 16.
Ответ:_______ (23)
№10. В параллелограмме MKNR найдите
МК, если KR=10 и MN=12.
1)
2)
3)
4) 
*
№11. Найдите площади данного
четырёхугольника.
1) 10*
2) 12
3) 14
4) 10,5
№12. Найдите площадь прямоугольника
АВСD, если
PABCD=28.
1) 196
2) 784
3) 49*
4) 14
№13. Найдите площадь данной
трапеции, если размер клеток 1х1 см.
1) 24
2) 20
3) 10
4) 12*
№14. Площадь ромба равен 24,
а периметр равен 32. Найдите высоту ромба.
1) 6
2) 8
3) 1,5
4) 3*
№15. Найдите площадь параллелограмма.
1) 24
2) 28
3) 60 4) 36*
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ тест 2.6 четырёхугольники.docx
|
№1. Найдите периметр параллелограмма MPKN. 1) 10 2) 24 3) 20* 4) 5 |
|
|
№2. Найдите периметр параллелограмма QPNK. 1) 36 2) 24 3) 72 4) 24* |
|
|
№3. В параллелограмме MNPK найдите <M, <P, <K, <N. 1) 70; 70; 110;110* 2) 135; 135; 45; 45 3) 135; 135; 65; 65 4) 45; 65; 110; 110 |
|
|
№4. В трапеции ABCD найдите <B и <C. 1) 70; 50 2) 110; 130* 3) 120; 60 4) 20; 40 |
|
|
№5. Найдите длины смежных сторон параллелограмма SLOM, если LO-LS=1 и его периметр равен 36 см. 1) 8,5; 9,5* 2) 18; 18 3) 17; 18 4) 8,5; 7,5 |
|
|
№6. В трапеции EFMN найдите <F, <M. 1) 65; 90 2) 90; 115* 3) 155; 90 4) 90; 25 |
|
|
№7. В трапеции FRMK найдите <F, <K <M, <R. 1) 35; 35; 55; 55 2) 35; 55; 125; 90 3) 55; 55; 125; 125* 4) 90; 90; 35; 35 |
|
|
№8. Запишите, чему равен периметр трапеции ADCB. Ответ:______(84) |
|
|
№9. Запишите, чему равна длина средней линии трапеции, если ее основания равны 30 и 16. Ответ:_______ (23) |
|
|
№10. В параллелограмме MKNR найдите МК, если KR=10 и MN=12. 1) 61 2) 3) 244 4) |
|
|
№11. Найдите площади данного четырёхугольника. 1) 10* 2) 12 3) 14 4) 10,5 |
|
|
№12. Найдите площадь прямоугольника АВСD, если PABCD=28. 1) 196 2) 784 3) 49* 4) 14 |
|
|
№13. Найдите площадь данной трапеции, если размер клеток 1х1 см. 1) 24 2) 20 3) 10 4) 12* |
|
|
№14. Площадь ромба равен 24, а периметр равен 32. Найдите высоту ромба. 1) 6 2) 8 3) 1,5 4) 3*
|
|
|
№15. Найдите площадь параллелограмма. 1) 24 2) 28 3) 60 4) 36* |
|
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ тест 2. четырёхугольники.docx
|
№1. Найдите периметр параллелограмма MPKN. 1) 10 2) 24 3) 20* 4) 5 |
|
|
№2. Найдите периметр параллелограмма QPNK. 1) 36 2) 24 3) 72 4) 24* |
|
|
№3. В параллелограмме MNPK найдите <M, <P, <K, <N. 1) 70; 70; 110;110* 2) 135; 135; 45; 45 3) 135; 135; 65; 65 4) 45; 65; 110; 110 |
|
|
№4. В трапеции ABCD найдите <B и <C. 1) 70; 50 2) 110; 130* 3) 120; 60 4) 20; 40 |
|
|
№5. Найдите длины смежных сторон параллелограмма SLOM, если LO-LS=1 и его периметр равен 36 см. 1) 8,5; 9,5* 2) 18; 18 3) 17; 18 4) 8,5; 7,5 |
|
|
№6. В трапеции EFMN найдите <F, <M. 1) 65; 90 2) 90; 115* 3) 155; 90 4) 90; 25 |
|
|
№7. В трапеции FRMK найдите <F, <K <M, <R. 1) 35; 35; 55; 55 2) 35; 55; 125; 90 3) 55; 55; 125; 125* 4) 90; 90; 35; 35 |
|
|
№8. Запишите, чему равен периметр трапеции ADCB. Ответ:______(84) |
|
|
№9. Запишите, чему равна длина средней линии трапеции, если ее основания равны 30 и 16. Ответ:_______ (23) |
|
|
№10. В параллелограмме MKNR найдите МК, если KR=10 и MN=12. 1) 61 2) 3) 244 4) |
|
|
№11. Найдите площади данного четырёхугольника. 1) 10* 2) 12 3) 14 4) 10,5 |
|
|
№12. Найдите площадь прямоугольника АВСD, если PABCD=28. 1) 196 2) 784 3) 49* 4) 14 |
|
|
№13. Найдите площадь данной трапеции, если размер клеток 1х1 см. 1) 24 2) 20 3) 10 4) 12* |
|
|
№14. Площадь ромба равен 24, а периметр равен 32. Найдите высоту ромба. 1) 6 2) 8 3) 1,5 4) 3*
|
|
|
№15. Найдите площадь параллелограмма. 1) 24 2) 28 3) 60 4) 36* |
|
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ Занятие 3 «Центральные и вписанные углы. Касательная, хорда, секущая»..docx
Занятие №3
Тема: «Центральные и вписанные углы. Касательная, хорда, секущая»
часть 1
Рассмотрим основные теоретические факты, связанные с данной темой.
|
Центральным углом называют угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны являются радиусами (рис. 1). Градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается. |
|
|
|
Вписанным углом называют угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами (рис. 2). |
|
|
|
Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности (d < r), то прямая и окружность имеют две общие точки, а данная прямая называется секущей (рис.3, p – это секущая) |
|
|
|
Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания (рис .4). |
|
|
|
|
|
|
Далее рассмотрим свойства данных геометрических фигур
Рассмотрим решение задач на применения данной теории.
|
№1. Найдите длину отрезка MN, если ON=15. |
|
|
|
Решение: 1) ∆ОMN-прямоугольный (так как радиус, проведённый в точку касания образует прямой угол) 2)
Ответ: 9 |
|
№2. Найдите <NMK, если ОМ=18. |
|
|
|
Решение: 1) ∆ONM – прямоугольный (<N=90o) и OM=2∙ON (18=2∙9) 2) <OMN=30o (так как, если катет в два раза меньше гипотенузы, то он лежит напротив угла равного 30о). 4) ОМ – биссектриса <NMK => <NMK=30·2=60о
Ответ: 60о |
|
№3. Найдите длины отрезков MA и NA. |
|
|
|
Решение: 1) Проведём отрезок ON 2. <M=<A=<O=<N=90o (так как радиус проведённый в точку касания образует прямой угол) => MAON- прямоугольник 3) ON=OM=20 (как радиусы) => MAON- квадрат => MA=AN=20
Ответ: 20; 20 |
|
№4. Найдите градусную меру <OKN. |
|
|
|
Решение:1)<KON=180-78=102o 2) ∆KON- равнобедренный (так как OK=ON, как радиусы) 3)
<OKN= Ответ: 39о
|
|
№5. Найдите длину хорды LM. |
|
|
|
Решение: 1) LO=OM=32 (так как ∆LOM- равнобедренный, боковые стороны-радиусы) 2)
Ответ:
32 |
|
№6.
Найдите градусную меру дуги |
|
|
|
Решение:
1) 2)
Ответ: 110о
|
|
№7. Найдите градусную меру <EAF. |
|
|
|
Решение:
1) <EAF=
Ответ: 44о |
|
№8. Найдите длину отрезка DM. |
|
|
|
Решение: 1)AM·MB=DM·MC (свойство пересекающихся хорд). => DM= Ответ: 13,5 |
|
№9. Найдите градусную меру <AMO |
|
|
|
Решение:1) Продлим отрезок OM до пересечения с окружности, получившаяся дуга равна 180-72=108о 2)
Ответ:18о |
|
№10. Найдите длину хорды MN, если отрезок KE=12 |
|
|
|
Решение: 1) Проведём отрезки ОМ=ОN (как радиусы) => ΔNOM- равнобедренный 2) МЕ=TN (так как ОЕ – медиана по свойству равнобедренного треугольника). 3) Пусть
х=МЕ=TN =>
12·4=х·х, 4) MN
Ответ: |
|
№11. Найдите периметр треугольника NKM |
|
|
|
Решение:1) <K=90o (так он вписанный и опирается на диаметр) => ΔKNM прямоугольный 3) MO=ON=13 (как радиусы)=>MN=13+13=26 3) 4) PNKM=10+24+13=60 Ответ: 60 |
Решение задач с самопроверкой
Часть 2
Предлагаем вам самостоятельно выполнить данные задания по теме «Центральные и вписанные углы. Касательная, хорда, секущая и произвести проверку, ответы представлены в конце данной части.
|
|
|
|
|
Ответы: 1) 40; 2) 8,5; 3) 94; 4) 13; 5) 70; 6) 41 |
Далее Вам предстоит пройти тестирования по теме «Центральные и вписанные углы. Касательная, хорда, секущая», в котором 10 заданий, для получения отметки «зачтено» необходимо выполнить правильно 8 заданий (80%).
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ Занятие 3.1 теория «Центральные и вписанные углы. Касательная, хорда, секущая»..docx
Занятие №3
Тема: «Центральные и вписанные углы. Касательная, хорда, секущая»
часть 1
Рассмотрим основные теоретические факты, связанные с данной темой.
|
Центральным углом называют угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны являются радиусами (рис. 1). Градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается. |
|
|
|
Вписанным углом называют угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами (рис. 2). |
|
|
|
Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности (d < r), то прямая и окружность имеют две общие точки, а данная прямая называется секущей (рис.3, p – это секущая) |
|
|
|
Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания (рис .4). |
|
|
|
|
|
|
Далее рассмотрим свойства данных геометрических фигур
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ Занятие 3.2 решение задач. «Центральные и вписанные углы. Касательная, хорда, секущая»..docx
Рассмотрим решение задач на применения теории «Центральные и вписанные углы. Касательная, хорда, секущая»
|
№1. Найдите длину отрезка MN, если ON=15. |
|
|
|
Решение: 1) ∆ОMN-прямоугольный (так как радиус, проведённый в точку касания образует прямой угол) 2)
Ответ: 9 |
|
№2. Найдите <NMK, если ОМ=18. |
|
|
|
Решение: 1) ∆ONM – прямоугольный (<N=90o) и OM=2∙ON (18=2∙9) 2) <OMN=30o (так как, если катет в два раза меньше гипотенузы, то он лежит напротив угла равного 30о). 4) ОМ – биссектриса <NMK => <NMK=30·2=60о
Ответ: 60о |
|
№3. Найдите длины отрезков MA и NA. |
|
|
|
Решение: 1) Проведём отрезок ON 2. <M=<A=<O=<N=90o (так как радиус проведённый в точку касания образует прямой угол) => MAON- прямоугольник 3) ON=OM=20 (как радиусы) => MAON- квадрат => MA=AN=20
Ответ: 20; 20 |
|
№4. Найдите градусную меру <OKN. |
|
|
|
Решение:1)<KON=180-78=102o 2) ∆KON- равнобедренный (так как OK=ON, как радиусы) 3)
<OKN= Ответ: 39о
|
|
№5. Найдите длину хорды LM. |
|
|
|
Решение: 1) LO=OM=32 (так как ∆LOM- равнобедренный, боковые стороны-радиусы) 2)
Ответ:
32 |
|
№6.
Найдите градусную меру дуги |
|
|
|
Решение:
1) 2)
Ответ: 110о
|
|
№7. Найдите градусную меру <EAF. |
|
|
|
Решение:
1) <EAF=
Ответ: 44о |
|
№8. Найдите длину отрезка DM. |
|
|
|
Решение: 1)AM·MB=DM·MC (свойство пересекающихся хорд). => DM= Ответ: 13,5 |
|
№9. Найдите градусную меру <AMO |
|
|
|
Решение:1) Продлим отрезок OM до пересечения с окружности, получившаяся дуга равна 180-72=108о 2)
Ответ:18о Второй способ: Решение: 1) <O=72о (как центральный угол). 2) <A=90o (так как радиус проведён в точку касания)=>ΔАОМ прямоугольный. 3) 90о-72о=18о=<AMO Ответ:18о |
|
№10. Найдите длину хорды MN, если отрезок KE=12 |
|
|
|
Решение: 1) Проведём отрезки ОМ=ОN (как радиусы) => ΔNOM- равнобедренный 2) МЕ=TN (так как ОЕ – медиана по свойству равнобедренного треугольника). 3) Пусть
х=МЕ=TN =>
12·4=х·х, 4) MN
Ответ: |
|
№11. Найдите периметр треугольника NKM |
|
|
|
Решение:1) <K=90o (так он вписанный и опирается на диаметр) => ΔKNM прямоугольный 3) MO=ON=13 (как радиусы)=>MN=13+13=26 3) 4) PNKM=10+24+13=60 Ответ: 60 |
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ Занятие 3.3 (Решение задач с самопроверкой.) «Центральные и вписанные углы. Касательная, хорда, секущая».docx
Решение задач с самопроверкой
Часть 2
Предлагаем вам самостоятельно выполнить данные задания по теме «Центральные и вписанные углы. Касательная, хорда, секущая и произвести проверку, ответы представлены в конце данной части.
|
|
|
|
|
Ответы: 1) 40; 2) 8,5; 3) 94; 4) 13; 5) 70; 6) 41 |
Далее Вам предстоит пройти тестирования по теме «Центральные и вписанные углы. Касательная, хорда, секущая», в котором 10 заданий, для получения отметки «зачтено» необходимо выполнить правильно 8 заданий (80%).
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ Занятие 3.1 теория «Центральные и вписанные углы. Касательная, хорда, секущая»..pdf
Занятие №3
Тема: «Центральные и вписанные углы. Касательная, хорда, секущая» часть 1
Рассмотрим основные теоретические факты, связанные с данной темой.
Центральным углом называют угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны являются радиусами (рис. 1). Градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается.
Вписанным углом называют угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами (рис. 2).
Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности (d < r), то прямая и окружность имеют две общие точки, а данная прямая называется секущей
(рис.3, p – это секущая)
Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания (рис .4).
Хорда - отрезок, соединяющий две точки данной окружности (рис. 5). Часть окружности, находящаяся между двумя крайними точками хорды называется дугой. Хорда образует пару дуг с одними и теми же крайними точками по разные стороны хорды. Хорда, проходящая через центр окружности, является её диаметром. Диаметр- самая длинная хорда в окружности.
Далее рассмотрим свойства данных геометрических фигур
|
Фигура |
Чертёж |
Свойство |
|
Вписанный угол
|
|
Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
|
|
|
|
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны |
|
|
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды |
|
|
|
Два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180о, если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды |
|
|
|
|
Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр
|
|
Угол, образованный пересекающим ися хордами |
|
Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.
|
|
Угол, образованный секущими, которые пересекаются вне окружности |
|
Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами
|
|
Угол, образованный касательной и хордой, проходящей через точку касания |
|
Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами |
|
Угол, образованный касательной и секущей |
|
Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами
|
|
Угол, образованный двумя касательными к окружности |
|
Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна
половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами |
|
|
Диаметр, перпендикуляр ный к хорде |
|
Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам. |
|
|
Диаметр, проходящий через середину хорды |
Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам. |
||
|
Равные хорды |
|
Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности. |
|
|
Хорды, равноудалённы е от центра окружности |
Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны. |
||
|
Две хорды разной длины |
|
Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности. |
|
|
Равные дуги |
|
У равных дуг равны и хорды. |
|
Параллельные хорды |
|
Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны. |
|
Пересекающие ся хорды |
|
Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны: AE·EВ=CE·DE
|
|
Касательные, проведённые к окружности из одной точки |
|
Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны. Отрезок, соединяющий точку пересечения касательных и центр окружности является биссектрисой угла образованного этими касательными. AB = AC, AO-биссектриса <CAB. |
|
|
|
|
|
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки |
|
Справедливо равенство AB2=AD·AC
|
|
Секущие, проведённые из одной точки вне круга |
|
Справедливо равенство: AD·AC=AF·AE
|
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ Занятие 3.2 решение задач. «Центральные и вписанные углы. Касательная, хорда, секущая»..pdf
Рассмотрим решение задач на применения теории «Центральные и вписанные углы. Касательная, хорда, секущая»
|
№1. Найдите длину отрезка MN, если ON=15. |
|
|
|
Решение: 1) ∆ОMN-прямоугольный (так как радиус, проведённый в точку касания образует прямой угол) 2)MN2 ON2 OM2 152 122 81 MN9
Ответ: 9 |
|
№2. Найдите <NMK, если ОМ=18. |
|
|
|
2) <OMN=30o (так как, если катет в два раза меньше гипотенузы, то он лежит напротив угла равного 30о). 4) ОМ – биссектриса <NMK => <NMK=30·2=60о
Ответ: 60о |
|
№3. Найдите длины отрезков MA и NA. |
|
|
|
Решение: 1) Проведём отрезок ON 2. <M=<A=<O=<N=90o (так как радиус проведённый в точку касания образует прямой угол) => MAON- прямоугольник 3) ON=OM=20 (как радиусы) => MAON- квадрат => MA=AN=20
Ответ: 20; 20 |
|
№4. Найдите градусную меру <OKN. |
|
|
|
Решение:1)<KON=180-78=102o 2) ∆KON- равнобедренный (так как OK=ON, как радиусы) 3)
<OKN= Ответ: 39о
|
|
№5. Найдите длину хорды LM. |
|
|
|
равнобедренный, боковые стороны-радиусы) 2)
Ответ: 32 |
|
№6. Найдите градусную меру дуги NM |
|
|
|
Решение: 1) MQ 252 50o (так как вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается) 2) NM = 360о-200о-50о=110о (так как градусная мера всей окружности равна 360о)
Ответ: 110о
|
|
№7. Найдите градусную меру <EAF. |
|
|
Решение: 1) <EAF= 2 - формулу 2
Ответ: 44о |
|
|
№8. Найдите длину отрезка DM. |
|
|
|
Решение: 1)AM·MB=DM·MC (свойство пересекающихся хорд). => AM
MC 2 Ответ: 13,5 |
|
№9. Найдите градусную меру <AMO |
|
|
|
Решение:1) Продлим отрезок OM до пересечения с окружности, получившаяся дуга равна 180- 72=108о 2)
AMO
образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами) Ответ:18о Второй способ: Решение: 1) <O=72о (как центральный угол). 2) <A=90o (так как радиус проведён в точку касания)=>ΔАОМ прямоугольный. 3) 90о-72о=18о=<AMO Ответ:18о |
|
№10. Найдите длину хорды MN, если отрезок KE=12 |
|
|
|
Решение: 1) Проведём отрезки ОМ=ОN (как радиусы) => ΔNOM- равнобедренный 2) МЕ=TN (так как ОЕ – медиана по свойству равнобедренного треугольника). 3) Пусть х=МЕ=TN => 12·4=х·х, |
|
№11. Найдите периметр треугольника NKM |
|
|
|
Решение:1) <K=90o (так он вписанный и опирается на диаметр) => ΔKNM прямоугольный 3) MO=ON=13 (как радиусы)=>MN=13+13=26 3) KN2 262 242 676576 100, KN 10 4) PNKM=10+24+13=60 Ответ: 60 |
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ Занятие 3.3 (Решение задач с самопроверкой.) «Центральные и вписанные углы. Касательная, хорда, секущая».pdf
Решение задач с самопроверкой
Часть 2
Предлагаем вам самостоятельно выполнить данные задания по теме «Центральные и вписанные углы. Касательная, хорда, секущая и произвести проверку, ответы представлены в конце данной части.
Ответы: 1) 40; 2) 8,5; 3) 94; 4) 13; 5) 70; 6) 41
Далее Вам предстоит пройти тестирования по теме «Центральные и вписанные углы. Касательная, хорда, секущая», в котором 10 заданий, для получения отметки «зачтено» необходимо выполнить правильно 8 заданий (80%).
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ тест 3 «Центральные и вписанные углы. Касательная, хорда, секущая». .pdf
№1. Найдите длину отрезка KL лежащего на касательной к окружности r=6.
1) 1082) 3
3) 4
4) 6
№2. Найдите длину хорды AB.
1) 4
2) 16
№3. Найдите градусную меру <KML .
1) 140о
2) 35о
3) 220о
4) 70о*
№4. Найдите градусную меру дуги AB
1) 88о
2) 38о
3) 44о
4) 50о*
№5. Найдите градусную меру <MKB.
1) 80о
2) 4о
3) 42о
4) 40о*
№6. Найдите градусную меру дуги AB
 |
1) 132о
2) 228о 3) 66о
4) 114о*
№7. Найдите радиус окружности, если АВ=12 и ОВ=13
1)
2)
3)
4)
№8. Найдите < BOC, если ОВ=2, АО=4
1) 30о
2)
 |
60о
3) 90о
4) 120*
№9. Какой из углов, изображенных на рисунке, является вписанным.
1) <ОСВ
2) <ОВС
3) <AOB
4) <МРЕ*
№10. Найдите длину отрезка ВЕ.
 |
1) 20
2) 4
3) 15
4) 2*
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ тест 3 «Центральные и вписанные углы. Касательная, хорда, секущая». .docx
|
№1. Найдите длину отрезка KL лежащего на касательной к окружности r=6.
|
|
|
№2. Найдите длину хорды AB.
1
|
|
|
№3. Найдите градусную меру <KML
|
|
|
№4.
Найдите градусную меру дуги
|
|
|
№5. Найдите градусную меру <MKB.
|
|
|
№6. Найдите градусную меру дуги AB
1) 132о 2) 228о 3) 66о 4) 114о* |
|
|
№7. Найдите радиус окружности, если
АВ=12 и ОВ=13
|
|
|
№8. Найдите < BOC, если ОВ=2, АО=4
|
|
|
№9. Какой из углов, изображенных на рисунке, является вписанным.
1
|
|
|
№10. Найдите длину отрезка ВЕ.
1) 20 2) 4 3) 15 4) 2* |
|
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ Занятие 4. Задания для самоподготовки.doc
Скачать материал "Курс планиметрических задач встречающихся на ГИА как в 9 классах, так и 11 классах"
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ итоговый тест (планиметрия).docx
|
№1. Чему рана длина отрезка АО, если АВ – касательная к окружности с r = 6 и АО=ОВ? 1) 100 2) 14 3) 8 4) 10*
|
|
|
№2. Найдите градусную меру угла <ABC. 1) 90о 2) 10о 3) 50о 4) 45о*
|
|
|
№3. Чему рана градусная мера дуги SN ? 1) 40о 2) 140о 3) 80о 4) 100о*
|
|
|
№4. Найдите площадь ромба, если его высота равна 2,а острый угол равен 30о 1) 4 2) 16 3) 5 4) 8*
|
|
|
№5. В трапеции ABCD известно, сто АВ=СD, <BDA=40o и <BDС=30o. Найдите угол ABD. 1) 40о 2) 110о 3) 30о 4) 70о*
|
|
|
№6. На окружности по разные стороны от диаметра АВ взяты точки C и D. Известно, что <DBA=36o. Найдите угол DCB. 1) 108о 2) 144о 3) 72о 4) 54о*
|
|
|
№7. Вычислите площадь фигуры, используя формулу Пика. 1) 27 2) 23 3) 18 4) 22*
|
|
|
№8. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны соответственно 6 и 10. 1) 30 2) 15 3) 48 4) 24* |
|
|
№9. В треугольнике АВС угол С равен 90°, СН - высота, АВ =13, tg A=5. Найдите ВН. 1) 30 2) 25 3) 0,5 4) 12,5*
|
|
|
№10. В равнобедренном треугольнике АВС высота ВМ, проведённая к основанию, равна 3, а tgА=0,75. Найдите площадь треугольника АВС. 1) 24 2) 6 3) 22 4) 12*
|
|
|
№11. В треугольнике ABC угол A равен 440, CH — высота, угол BCH равен 260 . Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах. 1) 70о 2) 116о 3) 40о 4) 20о*
|
|
|
№12. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АВ боковая сторона АС равна 10, а высота, проведённая к
основанию, равна 1) 0,5 2) 1 3) 0,4 4) 0,2*
|
|
|
№13. У треугольника со сторонами 5 и 10 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведенная к первой стороне, равна 2. Чему равна высота, проведенная ко второй стороне? 1) 2 2) 1 3) 12 4) 6*
|
|
|
№14. В тупоугольном треугольнике АВС АС=ВС=8 , высота равна АН= 4. Найдите градусную меру угла ACB . 1) 120о 2) 30о 3) 90о 4) 150о*
|
|
|
№15. В треугольнике ABC AD - биссектриса, угол C равен 420 , угол CAD равен 230 . Найдите угол B. Ответ дайте в градусах. 1) 75о 2) 88о 3) 90о 4) 92о*
|
|
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Выбранный для просмотра документ итоговый тест (планиметрия).pdf
№1. Чему рана длина отрезка АО, если АВ
– касательная к окружности с r = 6 и
АО=ОВ?
1) 100
2) 14
3) 8
4) 10*
№2. Найдите градусную меру
угла <ABC.
1) 90о
2) 10о
3) 50о
4) 45о*
№3. Чему рана градусная мера дуги SN ?
1) 40о
2) 140о
3) 80о
4) 100о*
№4. Найдите площадь ромба, если его
высота равна 2,а острый угол равен 30о
1) 4
2) 16
3) 5
4) 8*
№5. В трапеции ABCD
известно, сто АВ=СD, <BDA=40o и <BDС=30o.
Найдите угол ABD.
1) 40о
2) 110о
3) 30о
4) 70о*
№6. На окружности по разные
стороны от диаметра АВ взяты точки C и D. Известно, что <DBA=36o.
Найдите угол DCB.
1) 108о
2) 144о
3) 72о
4) 54о*
№7. Вычислите площадь
фигуры, используя формулу Пика.
1) 27
2) 23
3) 18
4) 22*
№8. Найдите площадь прямоугольного тре- угольника, если его катет и гипотенуза равны соответственно 6 и 10.
1) 30
2) 15
3) 48
4) 24*
№9. В треугольнике АВС
угол С равен 90°, СН - высота, АВ =13, tg A=5. Найди-
те ВН.
1) 30
2) 25
3) 0,5
4) 12,5*
№10. В равнобедренном
треугольнике АВС высота ВМ, проведённая к основанию, равна 3, а tgА=0,75.
Найдите площадь треугольника АВС.
1) 24
2) 6
3) 22
4) 12*
№11. В треугольнике ABC
угол A равен 440, CH — высота, угол BCH равен
260 . Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.
1) 70о
2) 116о
3) 40о
4) 20о*
№12. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АВ
боковая сторона АС равна 10, а высота,
проведённая к основанию, равна 4 6 . Найдите cosA.
1) 0,5
2) 1
3) 0,4
4) 0,2*
№13. У треугольника со сторонами 5 и 10 проведены высоты к этим сторонам. Высо- та, проведенная к первой стороне, равна 2. Чему равна высота, проведенная ко второй стороне?
1) 2
2) 1
3) 12
4) 6*
№14. В тупоугольном
треугольнике АВС АС=ВС=8 , высота равна АН= 4. Найдите градусную
меру угла ACB .
1) 120о
2) 30о
3) 90о
4) 150о*
№15. В треугольнике ABC AD - биссектри- са, угол C равен 420 , угол CAD равен 230 . Найдите угол B. Ответ дайте в градусах.
1) 75о
2) 88о
3) 90о
4) 92о*
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Уважаемые коллеги! Данный учебный курс «Планиметрия» рассчитан на 16 ч и включает в себя следующие темы «Треугольники», «Четырехугольники», «Центральные и вписанные углы. Касательная, хорда, секущая». Выбор разделов курса обусловлен тем, что они будут полезны к изучению учителями, преподающих математику, как в 9-ых, так и в 11-ых классах. Так как задачи данного типа наиболее часто встречаются и на ОГЭ в 9 классе, и на ЕГЭ (базовый, профильный уровень) в 11 классе. Надеемся, что вы найдете здесь полезную информацию. Задачи и теоретический материал этого курса также можно частично или полностью использовать на уроках, консультациях с вашими учащимися.
Планируемые результаты: Структурирование и систематизация методов и средств, применяемых для решения базовых планиметрических задач встречающихся на ГИА как в 9 классах, так и 11 классах.
6 670 687 материалов в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Великий Дмитрий Сергеевич. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Курс повышения квалификации
72 ч. — 180 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Мини-курс
4 ч.
Мини-курс
6 ч.
А=
А=
D; 
B=
C. (рис 15) 
15 2
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.