Лекция на тему "Результат измерений – приближённое число. Математические действия с приближёнными числами. Нормализованный вид приближённого числа. Значащие и сомнительные цифры."

1.2.   Результат измерений – приближённое число. Математические действия с приближёнными числами. Нормализованный вид приближённого числа. Значащие и сомнительные цифры.

Прямое измерение. Два подхода к прямому измерению. Нормальное (тауссовское) распределение. Доверительная вероятность.

         Результат любого измерения – приближённое число, представляющее измеряемое свойство объекта с некоторой неопределённостью, связанной как со свойством прибора, так и со свойством объекта измерений.

         Например, расстояние между пластинами плоского конденсатора, или – между стенами квартиры.

         Для измерения расстояния между стенами используется лазерный дальномер, погрешность измерения которого составляет ∆= 0,001 ммк. Результаты измерения будут отличаться друг от друга на единицы милиметров по причине непаралельности стенок. Поэтому результат измерения – некоторый интервал, внутри которого находится искомая величина: ( 7,342 – 7,354)м = 0,012       0,012: 2 = 0,006

число (7,348 + 0,006) м

0,006 – погрешность числа. Нанометр (10^-9) милимикрон (ммк).

         Итак: результат эксперимента – приближённое число, т.е. число, содержащее сомнительные цифры. В приведённом примере цифры милиметрового разряда.

Подробнее о приближённых числах:

1.     Число в десятичной системе представляет собой совокупность цифр разных разрядов – 1.единицы, десятки, сотни, тысячи;

2.десятичные, тысячные, сотые, десятые доли.

2.     Число содержит верные и сомнительные цифры.

         Число сомнительных цифр не должно превышать двух: в примере с измерением расстояния между стенами – верных цифр две: 7,3, сомнительных две: 0,042 – 0,054.

         Нельзя изменять число верных и сомнительных цифр математическим преобразованием или переходом к должным и кратным единицам.

         Например: 1,32А=>0,02 – сомнительная цифра.

В милиамперах это число = 1,32 10³ мА, но не 1,320мА, т.к. здесь 0 - сомнительная цифра, а 2 перешла в разряд верных.

3.     Нормализованный вид приближённого числа – наиболее удобная форма представления приближённого числа в таблицах:

производная форма нормализования

342	3,42 102
0,0576	5,76 10-2
0,0100	1,10 10-2

4.     Значащие цифры в приближённом числе – верные цифры и одна сомнительная. Нули впереди числа не являются значащими, а после числа они значащие (в нормализованном виде нулей впереди числа нет, а сзади значащие).

5.     Точность приближённого числа оценивается количеством значащих цифр: отношение последней значащей цифры к числу, выраженное в процентах:

342 => Ɛ =  =  % ~ 1%

34 => Ɛ =  =  % ~ 10%

342,4 => Ɛ =  =  % ~ 0,1%

В учебных лабораториях результаты измерений не могут выражаться

4-х значными числами.

Прямое измерение.

Нормальное распределение результата измерения.

         Прямое измерение – измерение, результаты которого определяются используемым прибором.

         Существует два подхода к измерению, которые, по существу по математической природе являются единым подходом.

Рассмотрим подробнее оба подхода:

1.     Один объект измерения (например, параметр R, L, C конкретной цепи, длина конкретного стержня и т.п.) и много различных, но выполненных по требованиям ГОСТа приборов. Каждое измерение будет выполнено однократно одним прибором.

Вопрос – будут ли показания приборов одинаковы?

Ответ – да, U= 2,1 В, т.е. с точностью до двух значащих цифр показания вольтметров одинаковы;

нет, U= 2,12 – 2,18 В, т.е. с точностью до трёх значащих цифр показания вольтметров разные (третья цифра принимает различные значения).

Особенно наглядно это представлено на цифровом приборе: на одной шкале будет высвечена цифра 2,1 В, на другой – 2,1…., третья цифра будет неустойчиво разная, её значения будут от 2 до 8.

2.     Один прибор, с помощью которого производится измерение некоторого свойства различных объектов, выполненных с едиными требованиями в соответствии с ГОСТом. Например, частота в цепи переменного тока промышленной частоты, напряжение на разных участках городской линии электропередачи, длина карандаша в коробке и т.п.

Будут ли результаты измерений одинаковы?

Ответ такой же, как и в первом случае п.1.

         Проблема не в подходе, а в понятии «одинаковость».

Свойство «одинаковых объектов»: они подчиняются закону нормального распределения, для которого справедливы следующие утверждения.

1.     Число объектов № достаточно велико (математически: N→∞), при малом N свойства распределения нарушаются.

2.     Свойство объекта Х характеризуется его средним арифметическим значением ˂Х>, определяемым по формуле:

˂Х> = _N

при N→∞ ˂Х>- математическое ожидание, при N достаточно большом ˂Х> = Х_{Н.В. ;}  Х_Н.В – наиболее вероятное значение.

3.     Малые и большие отклонения в разные стороны от среднего равновероятны.

4.     Малых отклонений много, чем больше величина отклонения, тем реже оно встречается.