Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / МАТЕМАТИКА справочное пособие для студентов 2 курса специальности 21.02.05 «Земельно-имущественные отношения»

МАТЕМАТИКА справочное пособие для студентов 2 курса специальности 21.02.05 «Земельно-имущественные отношения»


  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

ГБУ КО ПОО « ОЗЁРСКИЙ ТЕХНИКУМ ПРИРОДООБУСТРОЙСТВА»




















МАТЕМАТИКА


справочное пособие для студентов 2 курса

специальности 21.02.05 «Земельно-имущественные отношения»





















Озерск

2015г.

Методическое пособие одобрено цикловой комиссией математических и естественнонаучных дисциплин Озерского техникума природообустройства.













Составила Белякова Л.И., преподаватель математики Озерского техникума природообустройства.

















Рассмотрено на заседании ПЦК

Протокол №___ от «___»_______ 20___г.

Председатель ПЦК _____________ М.С. Леончук





Введение.

Справочное пособие составлено на основе программы учебной дисциплины «Математика». Справочник формул окажет помощь студентам второго курса в организации работы по овладению системой знаний, умений и навыков в объеме действующей программы по математике.

При пользовании справочным пособием, студентам необходимо обратить внимание на то, что основные понятия и определения, формулы расположены в порядке изучения дисциплины «Математика» на втором курсе.

Данное справочное пособие не заменяет учебника, но помогает в освоении теоретических знаний и практических навыков при изучении дисциплины «Математика».

Предел функции

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/66/Limit-at-infinity-graph.png/250px-Limit-at-infinity-graph.png

http://bits.wikimedia.org/skins-1.5/common/images/magnify-clip.pngГрафик функции, предел которой при аргументе, стремящемся к бесконечности, равен L.

Предел функции (предельное значение функции) — одно из основных понятий математического анализа, значение, к которому функция в определённом смысле приближается при приближении аргумента к определённой точке.

Функция ~f(x) имеет предел ~A в точке ~x_0, если для всех значений ~x, достаточно близких к ~x_0, значение ~f(x) близко к ~A.

Определения

Рассмотрим функцию f \left( x \right), определённую на некотором множестве ~X, которое имеет предельную точку ~x_0 (которая, в свою очередь, не обязана ему принадлежать).



Предел функции по Гейне

Значение ~A называется пределом (предельным значением) функции f \left( x \right) в точке ~x_0, если для любойg последовательности точек \left\{ x_n \right\}_{n=1}^{\infty}, сходящейся к ~x_0, но не содержащей ~x_0 в качестве одного из своих элементов, последовательность значений функции \left\{ f \left( x_n \right) \right\}_{n=1}^{\infty} сходится к ~A.


\lim_{x \to x_0} f \left( x \right) = A \Leftrightarrow \forall \left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty} \left( \forall n \in \N \colon x_n \neq x_0 \right) \land \lim_{n \to \infty} x_n = x_0 \Rightarrow \lim_{n \to \infty} f \left( x_n \right) = A

Предел функции по Коши.

Значение ~A называется пределом (предельным значением) функции f \left( x \right) в точке ~x_0, если для любого наперёд взятого положительного числа \varepsilon найдётся отвечающее ему положительное число \delta = \delta \left( \varepsilon \right) такое, что для всех аргументов ~x, удовлетворяющих условию 0 < \left| x - x_0 \right| < \delta, выполняется неравенство \left| f \left( x \right) - A \right| < \varepsilon.

\lim_{x \to x_0} f \left( x \right) = A \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0 ~ \exists \delta = \delta \left( \varepsilon \right) ~ \forall x \colon 0 < \left| x - x_0 \right| < \delta \Rightarrow \left| f \left( x \right) - A \right| < \varepsilon

Свойства пределов числовых функций


Пусть даны функции f,g:M\subset \R \to \R, и a \in M'..

  • Одна и та же функция в одной и той же точке может иметь только один предел.

\left( \lim_{x \to x_0} f \left( x \right) = A_1 \right) \land \left( \lim_{x \to x_0} f \left( x \right) = A_2 \right) \Rightarrow (A_1 = A_2)


  • Предел суммы равен сумме пределов:

\left( \lim\limits_{x \to a} f(x) = A \right) \wedge \left( \lim\limits_{x \to a} g(x) = B \right) \Rightarrow \left( \lim\limits_{x \to a} \bigl[f(x)+g(x)\bigr] = A+B \right);


  • Предел разности равен разности пределов:

\left( \lim\limits_{x \to a} f(x) = A \right) \wedge \left( \lim\limits_{x \to a} g(x) = B \right) \Rightarrow \left( \lim\limits_{x \to a} \bigl[f(x)-g(x)\bigr] = A-B \right);


  • Предел произведения равен произведению пределов:

\left( \lim\limits_{x \to a} f(x) = A \right) \wedge \left( \lim\limits_{x \to a} g(x) = B \right) \Rightarrow \left( \lim\limits_{x \to a} \bigl[f(x)\cdot g(x)\bigr] = A\cdot B \right);


  • Предел частного равен частному пределов.

\left( \lim\limits_{x \to a} f(x) = A \right) \wedge \left( \lim\limits_{x \to a} g(x) = B \neq 0 \right) \Rightarrow \left( \lim\limits_{x \to a} \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{A}{B}\right).


Некоторые замечательные пределы. 

                                http://www.bymath.net/studyguide/ana/sec/ana2h.gif


Непрерывность функции.

функция f непрерывна в точке x0, предельной для множества E, если f имеет предел в точке x0, и этот предел совпадает со значением функции f(x0).



Производная функции.


Производной функции  f ( ) в точке  x0  называется предел:

http://www.bymath.net/studyguide/ana/sec/ana3c.gif


Если этот предел существует, то функция f(x) называется дифференцируемой в точке x0. Производная функции f(x) обозначается так:


http://www.bymath.net/studyguide/ana/sec/ana3a.gif


Основные свойства производных и дифференциалов


 

Если  u ( x ) ≡ const , то

u’ ( x ) ≡ 0 ,    du ≡ 0.

Если  u ( x )  и  v ( x ) - дифференцируемые функции в точке  x0 , то:


c u ) = c u’  ,      d ( c u ) = c du ,      ( c – const );

u  ±  v )’  =  u’ ±  v’  ,      u  ±  v ) = du  ±  dv  ;

u v )’ = u’ v +  u v’  ,      d ( u v ) = v du  +  u dv  ;

http://www.bymath.net/studyguide/ana/sec/ana5a.gif



Производная сложной функции. 

Рассмотрим  сложную функцию, аргумент которой также является функцией: 

) = g ( ) ).

Если функция   f  имеет производную в точке  x0, а функция   имеет производную в точке  x0 ), то сложная функция  h  также имеет производную в точке  x0 , вычисляемую по формуле:

h’ x0 ) = g’ (  x0 ) ) ·  f’ x0 ) .


Исследование функции с помощью производной.


План исследования функции. 


Для построения графика функции нужно:

     1)  найти область определения и область значений функции,

    2)  установить, является ли функция чётной или нечётной,

    3)  определить, является ли функция периодической или нет,

    4)  найти нули функции, и её значения при  x = 0,

    5)  найти интервалы знакопостоянства,

    6)  найти интервалы монотонности,

    7)  найти точки экстремума и значения функции в этих точках,

    8)  проанализировать поведение функции вблизи  “особых” точек и при больших значениях модуля  x .





Производные основных элементарных функций 


http://www.pm298.ru/Math/f1808.JPG




Неопределенный интеграл.

Неопределенный интеграл  для функции hello_html_mb93dfec.gif - это совокупность всех первообразных данной функции.

Если функция hello_html_mb93dfec.gif определена и непрерывна на промежутке hello_html_m3b63f539.gif и hello_html_1111931.gif — ее первообразная, то есть F'(x) = f(x)\, при a<x<b\,, то

\int f(x) dx = F(x) + C, \, , a<x<b\,

где С — произвольная постоянная.

Свойства неопределённого интеграла

d\left (\int f(x)dx \right ) = f(x) dx

\int d(F(x)) = F(x)+C

\int a \cdot f(x) dx = a \cdot \int f(x)dx

\int (f(x) \pm g(x))dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx

Если \int f(x) dx = F(x) + C, то и \int f(u) du = F(u)+C, где u = \varphi (x) - произвольная функция, имеющая непрерывную производную

Таблица основных неопределенных интегралов


\int 0 \cdot dx = C ; \,

\int 1 \cdot dx = x + C ; \,

\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \, (n+1 \ne 0); \,

\int \frac{1}{x} dx = \ln \mid x \mid + C ; \,

\int e^x dx = e^x + C ; \,

\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C, \, (a>0, a \ne 1); \,

\int \cos x dx = \sin x + C ; \,

\int \sin x dx = - \cos x + C ; \,

\int \sin^2 x dx = \mathrm{tg} x + C ; \,

\int \mathrm{cosec}^2 x dx = - \mathrm{ctg} x + C ; \,



\int \frac {dx}{1+x^2} = \mathrm{arctg} x + C; \,

\int \frac {dx}{\sqrt{1-x^2}} = \arcsin x + C = - \arcsin x + C' , (C' = \frac {\pi}{2} + C); \,

Методы интегрирования


1. Метод введения нового аргумента. Если

\int g(x) dx = G(x) + C, \,

то

\int g(u) du = G(u) + C, \,

где u = \varphi (x) \, — непрерывно дифференцируемая функция.


2. Метод разложения. Если

g(x)= g_1(x) + g_2(x), \,

то

\int g(x) dx = \int g_1(x) dx + \int g_2(x)dx. \,


3. Метод подстановки. Если g(x)\, — непрерывна, то, полагая

x = \varphi (t), \,

где \varphi (t) \, непрерывна вместе со своей производной \varphi' (t) \,, получим

\int g(x) dx = \int g(\varphi (t))\varphi' (t) dt. \,


4. Метод интегрирования по частям. Если u\, и v\, — некоторые дифференцируемые функции от x\,, то

\int u dv = uv - \int v du. \,


Определённый интеграл 

Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница.


hello_html_71af9d92.gifhello_html_14b74f35.gif

Площадь криволинейной трапеции


x=a

y

x

y=f(x)

x=b

y=0






x1

y

x

y=g(x)

y=f(x)

x2














Приближенные методы вычисления определенного интеграла.

Метод прямоугольников

Пусть требуется определить значение интеграла функции на отрезке \left[ {a},{b} \right]. Этот отрезок делится точками x_0, x_1, \ldots, x_{n-1}, x_nна n\,\! равных отрезков длиной \Delta {x} = \frac{b-a}{n}. Обозначим через y_0, y_1, \ldots, y_{n-1}, y_n значение функции f\left(x\right) в точках x_0, x_1, \ldots, x_{n-1}, x_n. Далее составляем суммы y_0 \,\Delta {x} + y_1 \,\Delta {x} + \ldots + y_{n-1} \,\Delta {x} + y_n \,\Delta {x}. Каждая из сумм — интегральная сумма для f\left(x\right) на \left[ {a},{b} \right] и поэтому приближённо выражает интеграл

\int\limits_a^b f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{n} (y_0 + y_1 + \ldots + y_{n-1}).

Если заданная функция — положительная и возрастающая, то эта формула выражает площадь ступенчатой фигуры, составленной из «входящих» прямоугольников, также называемая формулой левых прямоугольников, а формула

\int\limits_a^b f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{n} (y_1 + y_2 + \ldots + y_n)

выражает площадь ступенчатой фигуры, состоящей из «выходящих» прямоугольников, также называемая формулой правых прямоугольников. Чем меньше длина отрезков, на которые делится отрезок \left[ {a},{b} \right], тем точнее значение, вычисляемое по этой формуле, искомого интеграла.

Очевидно, стоит рассчитывать на большую точность если брать в качестве опорной точки для нахождения высоты точку посередине промежутка. В результате получаем формулу средних прямоугольников: \int\limits_a^b f(x)\,dx \approx h \sum_{i=1}^{n}f(x_{i-1} + \frac{h}{2}) = h \sum_{i=1}^{n}f(x_i - \frac{h}{2})

Где h = \frac{b-a}{n}

Учитывая априорно большую точность последней формулы при том же объеме и характере вычислений её называют формулой прямоугольников

Метод трапеций


Если функцию на каждом из частичных отрезков аппроксимировать прямой, проходящей через конечные значения, то получим метод трапеций.

Площадь трапеции на каждом отрезке:

~I_i \approx \frac{f(x_{i-1})+f(x_{i})}{2} (x_{i}-x_{i-1})

Погрешность аппроксимации на каждом отрезке:

~\left| R_{i} \right| \leqslant \frac{\left( b-a \right)^3}{12n^2} M_{2,i}\,, где M_{2,i}=\max_{x\mathcal{2}[x_{i-1},x_i]} \left| f''(x) \right|

Полная формула трапеций в случае деления всего промежутка интегрирования на отрезки одинаковой длины h:

~I \approx h\left( \frac{f(x_{0})+f(x_{n})}{2} + \sum_{i=1}^{n-1}f(x_{i})\right), где h=\frac{b-a}{n}

Погрешность формулы трапеций:

~\left| R \right| \leqslant \frac{\left( b-a \right)^3}{12n^2} M_{2} \,, где M_{2}=\max_{x\mathcal{2}[a,b]}^{\color{White}[} \left| f''(x) \right|

Метод парабол (метод Симпсона).

Используя три точки отрезка интегрирования, можно заменить подынтегральную функцию параболой. Обычно в качестве таких точек используют концы отрезка и его среднюю точку. В этом случае формула имеет очень простой вид

I \approx \frac{b-a}{6}\left(f(a)+4f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right).


















МАТЕМАТИКА


справочное пособие для студентов 2 курса

специальности 21.02.05 «Земельно-имущественные отношения»









Составитель Л.И. Белякова














Озерский техникум природообустройства

238120, Калининградская область, г. Озерск, ул. Пограничная 23




Краткое описание документа:

Справочное пособие составлено на основе программы учебной дисциплины «Математика». Справочник формул окажет помощь студентам второго курса в организации работы по овладению системой знаний, умений и навыков в объеме действующей программы по математике.

 

При пользовании справочным пособием, студентам необходимо обратить внимание на то, что основные понятия и определения, формулы расположены в порядке изучения дисциплины «Математика» на втором курсе.

 

Данное справочное пособие не заменяет учебника, но помогает в освоении теоретических знаний и практических навыков при изучении дисциплины «Математика».

Автор
Дата добавления 15.05.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров353
Номер материала 534748
Получить свидетельство о публикации

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх