Инфоурок › Математика ›Другие методич. материалы›МАТЕМАТИКА справочное пособие для студентов 2 курса специальности 21.02.05 «Земельно-имущественные отношения»

МАТЕМАТИКА справочное пособие для студентов 2 курса специальности 21.02.05 «Земельно-имущественные отношения»

Скачать материал

ГБУ КО ПОО « ОЗЁРСКИЙ ТЕХНИКУМ ПРИРОДООБУСТРОЙСТВА»

МАТЕМАТИКА

справочное пособие для студентов 2 курса

специальности 21.02.05 «Земельно-имущественные отношения»

Озерск

2015г.

Методическое пособие одобрено цикловой комиссией математических и естественнонаучных дисциплин Озерского техникума природообустройства.

Составила Белякова Л.И., преподаватель математики Озерского техникума природообустройства.

Рассмотрено на заседании ПЦК

Протокол №___ от «___»_______ 20___г.

Председатель ПЦК _____________ М.С. Леончук

Введение.

Справочное пособие составлено на основе программы учебной дисциплины «Математика». Справочник формул окажет помощь студентам второго курса в организации работы по овладению системой знаний, умений и навыков в объеме действующей программы по математике.

При пользовании справочным пособием, студентам необходимо обратить внимание на то, что основные понятия и определения, формулы расположены в порядке изучения дисциплины «Математика» на втором курсе.

Данное справочное пособие не заменяет учебника, но помогает в освоении теоретических знаний и практических навыков при изучении дисциплины «Математика».

Предел функции

График функции, предел которой при аргументе, стремящемся к бесконечности, равен L.

Предел функции (предельное значение функции) — одно из основных понятий математического анализа, значение, к которому функция в определённом смысле приближается при приближении аргумента к определённой точке.

Функция имеет предел в точке , если для всех значений , достаточно близких к , значение близко к .

Определения

Рассмотрим функцию $f \left( x \right)$ , определённую на некотором множестве , которое имеет предельную точку (которая, в свою очередь, не обязана ему принадлежать).

Предел функции по Гейне

Значение называется пределом (предельным значением) функции $f \left( x \right)$ в точке , если для любойg последовательности точек $\left\{ x_n \right\}_{n=1}^{\infty}$ , сходящейся к , но не содержащей в качестве одного из своих элементов, последовательность значений функции $\left\{ f \left( x_n \right) \right\}_{n=1}^{\infty}$ сходится к .

$\lim_{x \to x_0} f \left( x \right) = A \Leftrightarrow \forall \left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty} \left( \forall n \in \N \colon x_n \neq x_0 \right) \land \lim_{n \to \infty} x_n = x_0 \Rightarrow \lim_{n \to \infty} f \left( x_n \right) = A$

Предел функции по Коши.

Значение называется пределом (предельным значением) функции $f \left( x \right)$ в точке , если для любого наперёд взятого положительного числа $\varepsilon$ найдётся отвечающее ему положительное число $\delta = \delta \left( \varepsilon \right)$ такое, что для всех аргументов , удовлетворяющих условию $0 < \left| x - x_0 \right| < \delta$ , выполняется неравенство $\left| f \left( x \right) - A \right| < \varepsilon$ .

$\lim_{x \to x_0} f \left( x \right) = A \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0 ~ \exists \delta = \delta \left( \varepsilon \right) ~ \forall x \colon 0 < \left| x - x_0 \right| < \delta \Rightarrow \left| f \left( x \right) - A \right| < \varepsilon$

Свойства пределов числовых функций

Пусть даны функции $f,g:M\subset \R \to \R,$ и $a \in M'.$ .

Одна и та же функция в одной и той же точке может иметь только один предел.

$\left( \lim_{x \to x_0} f \left( x \right) = A_1 \right) \land \left( \lim_{x \to x_0} f \left( x \right) = A_2 \right) \Rightarrow (A_1 = A_2)$

Предел суммы равен сумме пределов:

$\left( \lim\limits_{x \to a} f(x) = A \right) \wedge \left( \lim\limits_{x \to a} g(x) = B \right) \Rightarrow \left( \lim\limits_{x \to a} \bigl[f(x)+g(x)\bigr] = A+B \right);$

Предел разности равен разности пределов:

$\left( \lim\limits_{x \to a} f(x) = A \right) \wedge \left( \lim\limits_{x \to a} g(x) = B \right) \Rightarrow \left( \lim\limits_{x \to a} \bigl[f(x)-g(x)\bigr] = A-B \right);$

Предел произведения равен произведению пределов:

$\left( \lim\limits_{x \to a} f(x) = A \right) \wedge \left( \lim\limits_{x \to a} g(x) = B \right) \Rightarrow \left( \lim\limits_{x \to a} \bigl[f(x)\cdot g(x)\bigr] = A\cdot B \right);$

Предел частного равен частному пределов.

$\left( \lim\limits_{x \to a} f(x) = A \right) \wedge \left( \lim\limits_{x \to a} g(x) = B \neq 0 \right) \Rightarrow \left( \lim\limits_{x \to a} \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{A}{B}\right).$

Некоторые замечательные пределы.

Непрерывность функции.

функция f непрерывна в точке x₀, предельной для множества E, если f имеет предел в точке x₀, и этот предел совпадает со значением функции f(x₀).

Производная функции.

Производной функции y = f ( x ) в точке x₀ называется предел:

Если этот предел существует, то функция f(x) называется дифференцируемой в точке x₀. Производная функции f(x) обозначается так:

Основные свойства производных и дифференциалов

Если u ( x ) ≡ const , то

u’ ( x ) ≡ 0 , du ≡ 0.

Если u ( x ) и v ( x ) - дифференцируемые функции в точке x₀ , то:

( c u )’ = c u’ , d ( c u ) = c du , ( c – const );

( u ± v )’ = u’ ± v’ , d ( u ± v ) = du ± dv ;

( u v )’ = u’ v + u v’ , d ( u v ) = v du + u dv ;

Производная сложной функции.

Рассмотрим сложную функцию, аргумент которой также является функцией:

h ( x ) = g ( f ( x ) ).

Если функция f имеет производную в точке x₀, а функция g имеет производную в точке f ( x₀ ), то сложная функция h также имеет производную в точке x₀ , вычисляемую по формуле:

h’ ( x₀ ) = g’ ( f ( x₀ ) ) · f’ ( x₀ ) .

Исследование функции с помощью производной.

План исследования функции.

Для построения графика функции нужно:

1) найти область определения и область значений функции,

2) установить, является ли функция чётной или нечётной,

3) определить, является ли функция периодической или нет,

4) найти нули функции, и её значения при x = 0,

5) найти интервалы знакопостоянства,

6) найти интервалы монотонности,

7) найти точки экстремума и значения функции в этих точках,

8) проанализировать поведение функции вблизи “особых” точек и при больших значениях модуля x .

Производные основных элементарных функций

Неопределенный интеграл.

Неопределенный интеграл для функции - это совокупность всех первообразных данной функции.

Если функция определена и непрерывна на промежутке и — ее первообразная, то есть $F'(x) = f(x)\,$ при $a<x<b\,$ , то

$\int f(x) dx = F(x) + C, \,$ , $a<x<b\,$

где С — произвольная постоянная.

Свойства неопределённого интеграла

$d\left (\int f(x)dx \right ) = f(x) dx$

$\int d(F(x)) = F(x)+C$

$\int a \cdot f(x) dx = a \cdot \int f(x)dx$

$\int (f(x) \pm g(x))dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx$

Если $\int f(x) dx = F(x) + C$ , то и $\int f(u) du = F(u)+C$ , где $u = \varphi (x)$ - произвольная функция, имеющая непрерывную производную

Таблица основных неопределенных интегралов

$\int 0 \cdot dx = C ; \,$

$\int 1 \cdot dx = x + C ; \,$

$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \,$ $(n+1 \ne 0); \,$

$\int \frac{1}{x} dx = \ln \mid x \mid + C ; \,$

$\int e^x dx = e^x + C ; \,$

$\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C, \,$ $(a>0, a \ne 1); \,$

$\int \cos x dx = \sin x + C ; \,$

$\int \sin x dx = - \cos x + C ; \,$

$\int \sin^2 x dx = \mathrm{tg} x + C ; \,$

$\int \mathrm{cosec}^2 x dx = - \mathrm{ctg} x + C ; \,$

$\int \frac {dx}{1+x^2} = \mathrm{arctg} x + C; \,$

$\int \frac {dx}{\sqrt{1-x^2}} = \arcsin x + C = - \arcsin x + C' , (C' = \frac {\pi}{2} + C); \,$

Методы интегрирования

1. Метод введения нового аргумента. Если

$\int g(x) dx = G(x) + C, \,$

то

$\int g(u) du = G(u) + C, \,$

где $u = \varphi (x) \,$ — непрерывно дифференцируемая функция.

2. Метод разложения. Если

$g(x)= g_1(x) + g_2(x), \,$

то

$\int g(x) dx = \int g_1(x) dx + \int g_2(x)dx. \,$

3. Метод подстановки. Если $g(x)\,$ — непрерывна, то, полагая

$x = \varphi (t), \,$

где $\varphi (t) \,$ непрерывна вместе со своей производной $\varphi' (t) \,$ , получим

$\int g(x) dx = \int g(\varphi (t))\varphi' (t) dt. \,$

4. Метод интегрирования по частям. Если $u\,$ и $v\,$ — некоторые дифференцируемые функции от $x\,$ , то

$\int u dv = uv - \int v du. \,$

Определённый интеграл

Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница.

Площадь криволинейной трапеции

x=a

y=f(x)

x=b

y=0

x₁

y=g(x)

y=f(x)

x₂

Приближенные методы вычисления определенного интеграла.

Метод прямоугольников

Пусть требуется определить значение интеграла функции на отрезке $\left[ {a},{b} \right]$ . Этот отрезок делится точками $x_0, x_1, \ldots, x_{n-1}, x_n$ на $n\,\!$ равных отрезков длиной $\Delta {x} = \frac{b-a}{n}.$ Обозначим через $y_0, y_1, \ldots, y_{n-1}, y_n$ значение функции $f\left(x\right)$ в точках $x_0, x_1, \ldots, x_{n-1}, x_n.$ Далее составляем суммы $y_0 \,\Delta {x} + y_1 \,\Delta {x} + \ldots + y_{n-1} \,\Delta {x} + y_n \,\Delta {x}.$ Каждая из сумм — интегральная сумма для $f\left(x\right)$ на $\left[ {a},{b} \right]$ и поэтому приближённо выражает интеграл

$\int\limits_a^b f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{n} (y_0 + y_1 + \ldots + y_{n-1}).$

Если заданная функция — положительная и возрастающая, то эта формула выражает площадь ступенчатой фигуры, составленной из «входящих» прямоугольников, также называемая формулой левых прямоугольников, а формула

$\int\limits_a^b f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{n} (y_1 + y_2 + \ldots + y_n)$

выражает площадь ступенчатой фигуры, состоящей из «выходящих» прямоугольников, также называемая формулой правых прямоугольников. Чем меньше длина отрезков, на которые делится отрезок $\left[ {a},{b} \right]$ , тем точнее значение, вычисляемое по этой формуле, искомого интеграла.

Очевидно, стоит рассчитывать на большую точность если брать в качестве опорной точки для нахождения высоты точку посередине промежутка. В результате получаем формулу средних прямоугольников: $\int\limits_a^b f(x)\,dx \approx h \sum_{i=1}^{n}f(x_{i-1} + \frac{h}{2}) = h \sum_{i=1}^{n}f(x_i - \frac{h}{2})$

Где $h = \frac{b-a}{n}$

Учитывая априорно большую точность последней формулы при том же объеме и характере вычислений её называют формулой прямоугольников

Метод трапеций

Если функцию на каждом из частичных отрезков аппроксимировать прямой, проходящей через конечные значения, то получим метод трапеций.

Площадь трапеции на каждом отрезке:

$~I_i \approx \frac{f(x_{i-1})+f(x_{i})}{2} (x_{i}-x_{i-1})$

Погрешность аппроксимации на каждом отрезке:

$~\left| R_{i} \right| \leqslant \frac{\left( b-a \right)^3}{12n^2} M_{2,i}\,,$ где $M_{2,i}=\max_{x\mathcal{2}[x_{i-1},x_i]} \left| f''(x) \right|$

Полная формула трапеций в случае деления всего промежутка интегрирования на отрезки одинаковой длины h:

$~I \approx h\left( \frac{f(x_{0})+f(x_{n})}{2} + \sum_{i=1}^{n-1}f(x_{i})\right),$ где $h=\frac{b-a}{n}$

Погрешность формулы трапеций:

$~\left| R \right| \leqslant \frac{\left( b-a \right)^3}{12n^2} M_{2} \,,$ где $M_{2}=\max_{x\mathcal{2}[a,b]}^{\color{White}[} \left| f''(x) \right|$

Метод парабол (метод Симпсона).

Используя три точки отрезка интегрирования, можно заменить подынтегральную функцию параболой. Обычно в качестве таких точек используют концы отрезка и его среднюю точку. В этом случае формула имеет очень простой вид

$I \approx \frac{b-a}{6}\left(f(a)+4f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right)$ .

МАТЕМАТИКА

справочное пособие для студентов 2 курса

специальности 21.02.05 «Земельно-имущественные отношения»

Составитель Л.И. Белякова

Озерский техникум природообустройства

238120, Калининградская область, г. Озерск, ул. Пограничная 23

Скачать материал

Скачать материал "МАТЕМАТИКА справочное пособие для студентов 2 курса специальности 21.02.05 «Земельно-имущественные отношения»"

Как учитель может зарабатывать на Инфоуроке?

Краткое описание документа:

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 665 003 материала в базе

Найти материалы

Скачать материал

Другие материалы

pptx

Презентация по математике на тему "Неполные квадратные уравнения"

15.05.2015
1923
3

pptx

Презентация по математике на тему "Системы рациональных уравнений" (11 класс)

15.05.2015
1467
9

pptx

Презентация к уроку геометрии "ерпендикулярные прямые"

15.05.2015
1368
4

docx

Рабочая программа по математике "Школа 2100" 4 класс ФГОС

Рейтинг: 3 из 5

15.05.2015
5684
0

pptx

Презентация по математике на тему "АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ."

Рейтинг: 3 из 5

15.05.2015
3623
2

docx

Технология витагенного обучения как средство реализации ФГОС

15.05.2015
15087
62

pptx

Презентация по математике на тему "прощение выражений" ( 6 класс)

15.05.2015
1951
5

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Скачать материал
- 15.05.2015 1376
- DOCX 208.3 кбайт
- Оцените материал:
Настоящий материал опубликован пользователем Белякова Людмила Ивановна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Автор материала

Белякова Людмила Ивановна
- На сайте: 9 лет
- Подписчики: 0
- Всего просмотров: 10676
- Всего материалов: 8