Материал к дистанционному уроку по теме "Прямоугольная система координат в пространстве"

• 1 слайд

  Прямоугольная система координат в пространстве
  МБОУ «Вечерняя школа №2
  п.Усть-Камчатск»
  Учитель математики Горяева Л.А
  

• 2 слайд

  Цель урока
  Ввести понятие прямоугольной системы координат в пространстве;
  Провести аналогии с координатами на плоскости;
  Выработать умение строить точку по заданным координатам и находить координаты точки, изображенной в заданной системе координат.
   
  

• 3 слайд

  Система координат на плоскости
  

• 4 слайд

  В кинотеатре мы ищем свое место сна­ча­ла по ряду, а затем по но­ме­ру в ряду
  

• 5 слайд

  Мы живем в трехмерном пространстве,
  а не в двухмерном.
  

• 6 слайд

  Найдем свое место в театре, если мы сидим не в партере, а например в верхнем ярусе. Значит мы прибегаем к третьему измерению по высоте.
  

• 7 слайд

  Задача: Найди товар в гипермаркете.
  

• 8 слайд

• 9 слайд

  Система координат
  в пространстве
  

• 10 слайд

  На­при­мер, если мы ее по­вер­нем на     про­тив ча­со­вой стрел­ки в плос­ко­сти ОХУ  , то по­лу­чим сле­ду­ю­щую кар­тин­ку:  ОХ- впра­во, ОУ  – вглубь,  ОZ – вверх.
  

• 11 слайд

  Координаты точки в пространстве
  

• 12 слайд

• 13 слайд

• 14 слайд

  Задача. Найти координаты проекций точки 𝐴 2;−3;5
  на каждую из координатных плоскостей и на каждую из координатных осей.
  
  Решение.
  𝐴
  

• 15 слайд

  𝑦
  𝑂
  𝑥
  𝐴
  𝟓
  𝟏
  𝟏
  𝟐
  −𝟑
  Задача. Найти координаты проекций точки 𝐴 2;−3;5
  на каждую из координатных плоскостей и на каждую из координатных осей.
  Решение.
  𝐴 𝑂𝑥 (2;0;0)
  𝐴 𝑂𝑦 (0;−3;0)
  𝐴 𝑂𝑧 (0;0;5)
  𝐴 𝑂𝑥𝑦 (2;−3;0)
  𝐴 𝑂𝑥𝑧 (2;0;5)
  𝐴 𝑂𝑦𝑧 (0;−3;5)
  

• 16 слайд

  Прямоугольная система координат в пространстве
  𝑀 3
  𝑀 1
  𝑀 2
  𝑴(𝑥;𝑦;𝑧)
  𝑥
  𝑦
  𝑧
  𝑂(0;0;0)
  аппликата
  абсцисса
  ордината
  

• 17 слайд

• 18 слайд

  Точка лежит
  На оси
  В координатной плоскости
  Ох (х,о,о)
  Оу (о,y,о)
  Оz (o,о,z)
  Ох(х,y,о)
  Оy(о,y,z)
  Оz (х, о,z)
  

• 19 слайд

  Задача. По координатам точек
  𝐴(3;−1;0), 𝐵(0;0;−7), 𝐶(2;0;0), 𝐷(−4;0;3), 𝐸(0;−1;0), 𝐹(1;2;3), 𝐺(0;5−7), 𝐻(− 5 ; 3 ;0)
  определить, какие из них лежат на той или иной координатной оси
  или в той или иной координатной плоскости.
  
  
  Точки, лежащие на оси 𝑶𝒙 - 𝐶(2;0;0), т.к
  Точки, лежащие на оси 𝑶𝒚 – 𝐸(0;−1;0),
  Точки, лежащие на оси 𝑶𝒛 - 𝐵(0;0;−7)
  Точки, лежащие в плоскости 𝑶𝒙𝒚 - 𝐻 − 5 ; 3 ;0 ,
  Точки, лежащие в плоскости 𝑶𝒚𝒛 - 𝐺(0;5−7),
  Точки, лежащие в плоскости 𝑶𝒙𝒛 - 𝐷(−4;0;3),
  
  𝑦=0, 𝑧=0
  𝑥=0, 𝑧=0
  𝐴(3;−1;0),
  𝑧=0
  𝑥=0
  𝑦=0
  𝑥=0, 𝑦=0
  

Самостоятельная работа на закрепление темы

Прямоугольная система координат в пространстве

Блок №1:Метод координат в пространстве

Модуль 1. Координаты точки и координаты вектора

УЭ -1:Прямоугольная система координат в пространстве

Лекция (текстовая)

На этом уроке мы познакомимся с прямоугольной системой координат в пространстве, проведем аналогии с координатами на плоскости, а также рассмотрим различные понятия, связанные с координатами и векторами в пространстве.

В  9  клас­се мы с вами об­суж­да­ли пря­мо­уголь­ную си­сте­му ко­ор­ди­нат. Тогда речь шла о плос­ко­сти: у нас были две пер­пен­ди­ку­ляр­ные оси, и каж­дую точку плос­ко­сти мы за­да­ва­ли с по­мо­щью так на­зы­ва­е­мых ко­ор­ди­нат, то есть ве­ли­чин, ко­то­рые тре­бо­ва­лось «прой­ти» до дан­ной точки от на­ча­ла ко­ор­ди­нат. (См. Рис. 1.)

Рис. 1. Си­сте­ма ко­ор­ди­нат на плос­ко­сти

С по­мо­щью ко­ор­ди­нат было удоб­но ре­шать раз­ные за­да­чи, но мы при­ме­ня­ем их и в жизни. На­при­мер, в ки­но­те­ат­ре мы ищем свое крес­ло сна­ча­ла по ряду, а затем по но­ме­ру в ряду.

 (См. Рис. 2.)

Рис. 2. Место в ки­но­те­ат­ре – мо­дель ко­ор­ди­нат­ной плос­ко­сти

Но мы живем не в двух­мер­ном про­стран­стве, а в трех­мер­ном. По­это­му имеет смысл по­го­во­рить об ана­ло­ге уже при­выч­ной  нам си­сте­мы ко­ор­ди­нат, пе­ре­не­ся ее в про­стран­ство.

Рас­смот­рим такую си­ту­а­цию. Пред­по­ло­жим, что мы пошли не в кино, а на балет. У нас есть билет, на ко­то­ром на­пи­са­ны ряд и место. Можем ли мы легко найти свое крес­ло? Да, если речь о пар­те­ре. Но ведь мы можем си­деть и выше: в ам­фи­те­ат­ре или на любом из яру­сов. По­это­му в дан­ном слу­чае мы при­бе­га­ем к трем из­ме­ре­ни­ям: сна­ча­ла по вы­со­те (ярус, ам­фи­те­атр или пар­тер), затем уже ряд, а затем место. (См. Рис. 3.)

Рис. 3. Рас­по­ло­же­ние мест в те­ат­ре как при­мер трех­мер­ной си­сте­мы ко­ор­ди­нат

Мы поль­зу­ем­ся ко­ор­ди­на­та­ми и тогда, когда вы­би­ра­ем то­ва­ры в ги­пер­мар­ке­те са­мо­об­слу­жи­ва­ния. На­при­мер, мы хотим  ку­пить стол и нам да­ет­ся ин­струк­ция, что он на­хо­дит­ся в 9 ряду, на  3 полке снизу, место номер 42. Мы сна­ча­ла ищем ряд (пер­вая ко­ор­ди­на­та), затем – место (вто­рая), потом – полку (тре­тья). Можно, ра­зу­ме­ет­ся, сна­ча­ла найти полку, а потом место. Так или иначе, речь идет о трех ко­ор­ди­на­тах.

 Прямоугольная система координат в пространстве

Рас­смот­рим про­из­воль­ную точку  про­стран­ства. Про­ве­дем через нее три по­пар­но пер­пен­ди­ку­ляр­ные пря­мые. На каж­дой из них обо­зна­чим на­прав­ле­ние. Это и будут оси ко­ор­ди­нат – те­перь их стало три. Об­ра­ти­те вни­ма­ние, что ось на­прав­ле­на к нам, ось  впра­во, а  – вверх. По­ря­док здесь важен, так как такие на­прав­ле­ния об­ра­зу­ют так на­зы­ва­е­мую пра­вую трой­ку. (См. Рис. 4.)

Рис. 4. Оси ко­ор­ди­нат трех­мер­но­го про­стран­ства

Эту кар­тин­ку можно по­во­ра­чи­вать так, как нам удоб­но. На­при­мер, если мы ее по­вер­нем на  про­тив ча­со­вой стрел­ки в плос­ко­сти , то по­лу­чим сле­ду­ю­щую кар­тин­ку:  впра­во,  – вглубь,  – вверх. (См. Рис. 5.)

Рис. 5. По­во­рот «трой­ки» на  про­тив ча­со­вой стрел­ки в плос­ко­сти 

Все это до­пу­сти­мые кар­тин­ки, вы­би­рай­те любую из них. Неко­то­рым удоб­на по­след­няя, ведь она по­лу­ча­ет­ся есте­ствен­ным об­ра­зом из плос­кост­ной. (См. Рис. 6.)

Рис. 6. К си­сте­ме ко­ор­ди­нат на плос­ко­сти до­ба­ви­ли ось 

 Координаты точки в пространстве

Оси обо­зна­ча­ют­ся  (ось абс­цисс),  (ось ор­ди­нат) и  (ось ап­пли­кат). (См. Рис. 8.)

Рис. 8. На­зва­ния ко­ор­ди­нат­ных осей

Со­от­вет­ству­ю­щие плос­ко­сти – , ,  – ко­ор­ди­нат­ные плос­ко­сти. (См. Рис. 9.) Как и на плос­ко­сти, у каж­дой оси в про­стран­стве есть по­ло­жи­тель­ное на­прав­ле­ние и от­ри­ца­тель­ное.

Рис. 9. Ко­ор­ди­нат­ные плос­ко­сти

Ко­ор­ди­на­ты точки в про­стран­стве опре­де­ля­ют­ся ана­ло­гич­но плос­кост­ным. Рас­смот­рим про­из­воль­ную точку  и про­ве­дем через нее плос­ко­сти, па­рал­лель­ные ко­ор­ди­нат­ным. Эти плос­ко­сти пе­ре­се­кут наши оси в точ­ках  (точка пе­ре­се­че­ния па­рал­лель­ной плос­ко­сти с осью ),  (точка пе­ре­се­че­ния па­рал­лель­ной плос­ко­сти с осью ) и  (точка пе­ре­се­че­ния па­рал­лель­ной плос­ко­сти с осью ). (См. Рис. 10.)

Рис. 10. Точки пе­ре­се­че­ния па­рал­лель­ных плос­ко­стей с осями ко­ор­ди­нат

Тогда абс­цис­са точки  – это  (в слу­чае если  лежит на по­ло­жи­тель­ной по­лу­оси) и , если  – на от­ри­ца­тель­ной. (См. Рис. 11.)

Рис. 11. Абс­цис­са точки  в за­ви­си­мо­сти от рас­по­ло­же­ния точки 

Ана­ло­гич­но опре­де­ля­ют­ся ор­ди­на­та и ап­пли­ка­та. За­пи­сы­ва­ют ко­ор­ди­на­ты в круг­лых скоб­ках через точку с за­пя­той: , где , ,  (либо , ,  – в за­ви­си­мо­сти от рас­по­ло­же­ния на осях ко­ор­ди­нат). Не пи­ши­те ко­ор­ди­на­ты точки через за­пя­тую, чтобы не спу­тать с де­ся­тич­ны­ми дро­бя­ми.

У точки могут быть и ну­ле­вые ко­ор­ди­на­ты, если она лежит в ко­ор­ди­нат­ной плос­ко­сти. На­при­мер, если взять точку в плос­ко­сти , то ее ко­ор­ди­на­ты имеют вид . А точка на оси  имеет ко­ор­ди­на­ты . На­ча­ло же ко­ор­ди­нат – точка  – имеет ко­ор­ди­на­ты . (См. Рис. 12.)

Рис. 12. Точки с ну­ле­вы­ми ко­ор­ди­на­та­ми