Материал к школьной математической олимпиаде

1.          Антон, Борис и Владимир занимаются различными вида­ми спорта: футболом, плаванием и теннисом. Кто из них каким видом спорта занимается, если известно, что Борис и Владимир не пловцы, а Борис — не теннисист? 2. Задача Безу. Некто купил лошадь и спустя некоторое вре­мя продал ее за 24 пистоля. При этой продаже он теряет столько процентов, сколько стоила его лошадь. Спрашивается, за какую сумму он ее купил? 3.  Докажите, что если сумма (х2 +у2) делится на 3 и х, у -целые, то х и у делятся на 3. 4.  Диагонали выпуклого четырехугольника делят его на 4 треугольника. Докажите, что произведение площадей двух про­тивоположных треугольников равно произведению площадей двух других треугольников. 5.  При каких значениях а квадратные трехчлены х2 + ах + 1 и х2 + х + а имеют общий корень?

6. Антон, Борис и Владимир занимаются различными вида­ми спорта: футболом, плаванием и теннисом. Кто из них каким видом спорта занимается, если известно, что Борис и Владимир не пловцы, а Борис — не теннисист? 7. Задача Безу. Некто купил лошадь и спустя некоторое вре­мя продал ее за 24 пистоля. При этой продаже он теряет столько процентов, сколько стоила его лошадь. Спрашивается, за какую сумму он ее купил? 8.  Докажите, что если сумма (х2 +у2) делится на 3 и х, у -целые, то х и у делятся на 3. 9.  Диагонали выпуклого четырехугольника делят его на 4 треугольника. Докажите, что произведение площадей двух про­тивоположных треугольников равно произведению площадей двух других треугольников. 10.При каких значениях а квадратные трехчлены х2 + ах + 1 и х2 + х + а имеют общий корень?

11.                Антон, Борис и Владимир занимаются различными вида­ми спорта: футболом, плаванием и теннисом. Кто из них каким видом спорта занимается, если известно, что Борис и Владимир не пловцы, а Борис — не теннисист? 12.                Задача Безу. Некто купил лошадь и спустя некоторое вре­мя продал ее за 24 пистоля. При этой продаже он теряет столько процентов, сколько стоила его лошадь. Спрашивается, за какую сумму он ее купил? 13.Докажите, что если сумма (х2 +у2) делится на 3 и х, у -целые, то х и у делятся на 3. 14.Диагонали выпуклого четырехугольника делят его на 4 треугольника. Докажите, что произведение площадей двух про­тивоположных треугольников равно произведению площадей двух других треугольников. 15.При каких значениях а квадратные трехчлены х2 + ах + 1 и х2 + х + а имеют общий корень?

16.                Антон, Борис и Владимир занимаются различными вида­ми спорта: футболом, плаванием и теннисом. Кто из них каким видом спорта занимается, если известно, что Борис и Владимир не пловцы, а Борис — не теннисист? 17.                Задача Безу. Некто купил лошадь и спустя некоторое вре­мя продал ее за 24 пистоля. При этой продаже он теряет столько процентов, сколько стоила его лошадь. Спрашивается, за какую сумму он ее купил? 18.Докажите, что если сумма (х2 +у2) делится на 3 и х, у -целые, то х и у делятся на 3. 19.Диагонали выпуклого четырехугольника делят его на 4 треугольника. Докажите, что произведение площадей двух про­тивоположных треугольников равно произведению площадей двух других треугольников. 20.При каких значениях а квадратные трехчлены х2 + ах + 1 и х2 + х + а имеют общий корень?