Решение уравнений и неравенств с модулем

Уравнения и неравенства с модулем.

Пояснительная записка.

Данный курс посвящен систематическому изложению учебного материала, связанного с понятием модуля числа и аспектами его применения. В нем рассматриваются различные методы решения уравнений и неравенств с модулем, основанные на его определении, свойствах и графической интерпретации.

            Для курса характерна практическая направленность. Его основное содержание составляют учебные задачи. Часть из них приводится с полным решением, иллюстрирующим тот или иной метод. Другие прилагаются для самостоятельной работы. Изложение практических приемов решения сопровождается необходимыми теоретическими сведениями.

            Курс направлен на формирование у школьников более широкого представления о модуле. Кроме того, задания единого экзамена по математике предполагают умение оперировать с модулем. Таким образом, основная роль курса состоит в подготовке учащихся к успешной сдаче ЕГЭ.

Учебно-тематический план

Тема	Количество часов
1. Определение модуля числа и его применение при решении уравнений	2
2. Метод интервалов при решении уравнений и неравенств, содержащих модуль	1
3. Решение уравнений и неравенств с модулями на координатной прямой	1

Материал для занятий

Занятие 1. Определение модуля числа и его применение при решении уравнений.

            Определение. Модулем неотрицательного  действительного числа х называют само это число: | x|= х ; модулем отрицательного действительного числа х называют противоположное число : | x | = - x.

Короче это записывают так:

                                                                                             |x| =          

Термин «модуль» (от лат. modulus – мера ) ввел английский математик Р. Кортес (1682-1716), а знак модуля немецкий математик К. Вейерштрасс (1815-1897) в 1841г. Пользуясь приведенным определением, можно решать уравнения и неравенства, содержащие модуль. Теперь рассмотрим несколько простых примеров.

Пример 1. Решить уравнение |3-3х|= -1.

Решение. По свойству модуля выражение | 3-3x| неотрицательно, поэтому никогда не может быть равно (-1).

Ответ. Нет решений.

Пример 2. Решить уравнение | 3x-x²-2 | = 3x-x²

Решение. Не станем решать это уравнение традиционными способами, а заметим, что оно имеет следующий вид:

                                |A| = A.

Заметим, что, по определению модуля, это равенство обязательно выполнено при А>0, а при А <0 оно не может быть верным. Поэтому исходное уравнение равносильно квадратному неравенству  3х – х²- 2 > 0, решать которое мы уже умеем.

Ответ. [1;2].

Пример 3. Решить уравнение | x + 2 | = | 2x – 1 |.

Решение. Возведем обе части уравнения в квадрат. Это делать можно, поскольку обе части исходного уравнения неотрицательны. Получим

                            | x + 2 |² = | 2x – 1 |².

Очевидно, в этом уравнении можно убрать модули и записать равносильное квадратное уравнение

                           ( х + 2 )² = (2х – 1)²,

Преобразовывая которое, получим

                  х² + 4х + 4 = 4х² – 4х + 1,   3х² – 8х – 3 = 0.

Ответ. { -1/3 ,3}.

            Теперь перейдем к более традиционным задачам.

Главный прием при решении уравнений и неравенств, содержащих выражение |f(x)|, состоит в раскрытии модуля по определению, а именно, всю область допустимых значений М  разбивают на два подмножества М₁и М₂ таких, что

                          f(x)>0 для всех х   М₁, тогда |f(x)| = f(x)

                          f(x)<0 для всех х  ∊  М₂,тогда |f(x)| = - f(x)

Далее для найденных областей М₁   и М₂   решают полученные уравнения, в ответ записывают объединение решений для каждого случая.

Пример 4. Решить уравнение | 2x – 3 | = 3x – 7.

Решение. Рассмотреть случаи: 1. 2х – 3 >0, 2х – 3 = 3х – 7, х = 4

                                                     2. 2х - 3 <0, -2х + 3 = 3х- 7, х=2-не является корнем, т.к. при х=2  2х-3>0.                   Ответ: 4.

            Этот способ не является единственным. При решении уравнения вида

                                       | f(x) | = g(x)

Наиболее широко используют следующие два способа.

            Первый, стандартный, основан на раскрытии модуля, исходя из его определения, и заключается в переходе к равносильной совокупности систем

                       | f(x) | = g(x)                               

Второй способ состоит в переходе от исходного уравнения к равносильной ему системе

                         | f(x) | = g(x)                       

Первый способ следует применять в случае сложного выражения для функции g(x) и не очень сложного – для функции f(x); второй, напротив, лучше использовать, если выражение для g(x) несложно.

Пример 5. Решить уравнение |x| = x - √2x+1 + 1   (Используя первый способ)

Пример 6. Решить уравнение 3|x²-2x-1| = 5x+1     (Используя второй способ)

Неравенство вида   | f(x) | < g(x) гораздо удобнее решать, перейдя двойному неравенству или к равносильной ему системе двух неравенств            

    | f(x) |  g(x)          -g(x) f(x)  g(x)                      

Аналогично, неравенство вида

                                                | f(x) |  g(x)          

Упражнения для самостоятельной работы

Решите уравнения                                                                                     

3|y² – 6y + 7| = 5y – 9                                   |x| - |x – 1| = 1                        |x² – 1| = (x – 1)             

x² + |x – 1| = 1                                               |x² + 2x – 3| = x² + x – 20     

Решите неравенства

|2x – 5| < 3                              |x² – 2x – 3| < 3x - 3

x² – 6 > |x|                               |3 - |x – 2| | < 1

Занятие 2. Метод интервалов для решения уравнений и неравенств, содержащих модуль.

Решить уравнение | x-2| + |2x-3| = 5. Раскрывая последовательно модули, входящие в рассматриваемое уравнение, нам придется рассматривать четыре системы и заведомо негодный случай. А если в уравнении будет три и более модулей, число систем еще более возрастет. Поэтому для решения задач, в которые входят два и более модулей, рациональнее использовать метод интервалов.

Для применения метода интервалов при решении уравнений с модулями числовую ось надо разбить на промежутки таким образом, чтобы на каждом из них все подмодульные выражения сохраняли постоянные знаки и, следовательно, на каждом промежутке все модули раскрывались определенным образом.

Пример 1. Решить уравнение | 3x+4| + 2|x-3| = 16

Отметим на числовой оси точки х = - 4/3  и  х = 3, в которых подмодульные выражения обращаются в нуль. Определим знаки подмодульных выражений на трех образовавшихся промежутках.

Случай 1. При х>3 оба модуля раскрываются со знаком «+». Получаем систему

                                  x>3,

                                  3х+4+2(х-3) = 16               х=18/5       (18/5>3)

Случай 2. При -4/3<x<3 первый модуль раскрывается со знаком «+», а второй – со знаком «-«. Приходим к системе

                                   -4/3<x<3,

                                    3х+4+2(-х+3) = 16.

Уравнение данной системы имеет корень х=6, который не удовлетворяет неравенству системы, следовательно, он не является корнем заданного уравнения.

  Случай3. При х< -4/3 оба модуля раскрываются со знаком «-«, получаем

                                      x< -4/3,

                                      -3х-4+(-х+3) = 16.

Эта система имеет единственное решение х = -14/5.

Ответ:{-14/5; 18/5}.

            Решение неравенств, содержащих модуль, в большинстве случаев строится аналогично решению соответствующих уравнений. Основное отличие состоит в том, что после освобождения от модулей требуется решить, естественно, не уравнение, а неравенство.

Есть и еще одно отличие. Если при решении уравнений можно широко пользоваться проверкой полученных решений, то для случая неравенств отбросить посторонние решения проверкой может быть затруднительно. Это означает, что при решении неравенств стараются использовать, в основном, равносильные переходы.             

Пример 2. Решить неравенство  |x – 4| + |x + 1|<7

Решение. На числовой прямой необходимо отметить числа х=-1 и х=4, при которых выражения, стоящие под знаками модулей обращаются в нуль. Затем на трех получившихся промежутках расставляем знаки выражений  

                          (х-4) и  (х+1).                                                       __________________________

                                                                                                                  -1                    4             х

Полученные наборы знаков и указывают нам, какие случаи надо рассмотреть. В результате раскрытия модулей в этих трех случаях получаем три системы.

                              

  Решив эти системы и объединив ответы, получим

Ответ: (-2;5).

Упражнения для самостоятельной работы

Решите уравнения:

| x – 1| + |x – 2| + |x – 3| = 4

|6 – 2x| + |3x + 7| - 2|4x + 11| = x – 3                              | |3x – 1| - |2x + 1| | = 1

Решите неравенства:

|x – 1| + |x + 2| < 3

|x – 1| < |2x – 3| - |x – 2|                                                   |x² – 3| + x² + x < 7.

Занятие 4. Решение уравнений и неравенств с модулями на координатной прямой.

При изучении расстояния между двумя точками А(х₁) и В(х₂) координатной прямой выводится формула, согласно которой АВ = | x₁- x₂ |. Используя эту формулу, можно решать уравнения и неравенства вида |x – a| = b, |x – a| = |x – b|, |x – a| <b, | x – a| < |x – b|,

| x – a|>|x – b|, а также уравнения и неравенства, к ним сводимые.

Пример1. Решите уравнение |x – 3| = 1.

Решение. Переводя запись данного уравнения на «язык расстояний», получим предложение «расстояние от точки с координатой х до точки с координатой 3 равно 1». Следовательно, решение уравнения сводится к отысканию точек, удаленных от точки с координатой 3 на расстояние 1. Обратимся к геометрической иллюстрации.

                  _______________________________________________________

Корнями уравнения являются числа 2 и 4.

Пример2. Решите уравнение | 2x + 1 | = 3

Приведя данное уравнение к виду | x – (-1/2) | = 3/2, используем формулу расстояния .

Ответ: -2;1.

Пример 3. Решите уравнение |x + 2| = |x – 1|.

Решение. Запишем данное уравнение в виде |x – (-2)| = |x – 1|. Исходя из геометрических соображений, нетрудно понять, что корнем последнего уравнения является координата точки, равноудаленной от точек с координатами 1 и -2.

Ответ: -0,5.

Пример 4. Решите неравенство |x – 1|<2.

Решение. Исходя из геометрических представлений, приходим к выводу, что решениями данного неравенства являются координаты точек, удаленных от точки с координатой 1 на расстояние, меньшее 2.

Ответ: (-1;3)

Упражнения для самостоятельной работы

| x – 2| = 0,4                          | 10 – x | < 7              | x + 4 | = | x – 4 |

| x + 3 | = 0,7                         | x + 1 | > 1                | x + 2,5| = | x- 3,3|

| x – 2,5| < 0,5                        | x + 8 | > 0,7             | x | > | x – 2 |

                                                                                | x – 5 | < | x – 1 |.