Автор: Щербаков Александр Анатольевич,  учитель физики высшей категории  МБОУ «Лицей № 48» г. Калуги

Законы сохранения в механике

Урок 1

Закон сохранения импульса

Цели урока: пояснить важность глубокого понимания законов сохранения в механике, показать действие закона сохранения импульса на более высоком уровне, нежели в физике 9 класса, показать учащимся конечную цель теоретической физики – практическое использование законов физики в технических устройствах.

Тип урока: урок объяснения нового материала и углубления знаний учащихся об импульсе материальной точки и законе сохранения импульса. Материалы и пособия к уроку: желоб и два стальных шарика (или два каучуковых шара-попрыгунчика), кусок оргстекла и две подвижные тележки, Мотивация.

Какую бы систему взаимодействующих тел мы ни рассматривали, будь то Солнечная система или сталкивающиеся бильярдные шары, координаты и скорости тел непрерывно изменяются с течением времени. В этом, разумеется, нет ничего неожиданного.

Замечательным является то, что в системе тел, на которую не действуют внешние силы (такую систему называют замкнутой), имеется ряд величин, зависящих от координат и скоростей всех тел системы, которые при движении тел не изменяются со временем. Такими сохраняющимися величинами являются импульс, энергия и момент импульса. С этими величинами вы уже встречались в курсе физики 9 класса. При изучении механики мы рассмотрим только два закона сохранения: закон сохранения импульса и закон сохранения энергии. 

Роль законов сохранения в механике и в других разделах физики огромна. Во-первых, они позволяют сравнительно простым путем, не рассматривая действующие на тела силы, решать ряд практически важных задач. Мы это увидим в дальнейшем. Во-вторых, и это главное, открытые в механике законы сохранения играют в природе огромную роль, далеко выходящую за рамки самой механики. Даже в тех условиях, когда законы механики Ньютона применять нельзя, законы сохранения импульса, энергии и момента импульса не теряют значения. Они применимы как к телам обычных размеров, так и к космическим телам и элементарным частицам. Именно всеобщность законов сохранения, их применимость ко всем явлениям природы, а не только к механическим делает эти законы столь значительными.

Ход урока.

Давайте попытаемся вспомнить определение импульса и закон сохранения импульса. ( Импульс тела – векторная величина, равная произведению массы тела на вектор скорости данного тела. Закон сохранения импульса: геометрическая сумма импульсов тел до столкновения равна геометрической        сумме         импульсов тел     после          столкновения,      или

            r           r           r          r

m₁ ₁  m₂ ₂  m₁ u₁  m₂ u₂). На этом уроке мы еще ближе подойдем

к истинно научному пониманию импульса и закона сохранения импульса. Если на тело (материальную точку) действует постоянная сила,_{r    r}        то постоянным будет и ускорение аr _ ^{2  1}  , где _^r₁ и _^r₂ — начальное и t

конечное значения скорости тела.                                                  _{r          r}

Подставив это значение ускорения во второй закон Ньютона  F  m a , по-

                           r          r     r

лучим m₂  m₁  F  t . (1)

В этом уравнении появляется физическая величина — импульс точки (или количество движения).

Импульсом материальной точки называется величина, равная произведению массы точки на ее скорость. 

                                                                          r                r        r            ^{r      кг  м}

Обозначив импульс буквой p, получим p  m  (2) ^p¹      . с

Из формулы (2) видно, что импульс — векторная величина. Так как m > 0, то импульс имеет такое же направление, как и скорость (рис. 1). 

                      r             r

 m                        p

r     r r    r       r       r       r

Обозначим через р₁  m ₁ импульс в начальный момент времени, а через

p₂  m ₂ импульс в конечный момент времени. Тогда p  p₂  p₁ есть

изменение импульса за время r                            _r     t . Теперь уравнение (1) можно записать так:_{r                                                             r}

p  F  t (3). Так как t  0, то направления векторов p и F совпадают. Согласно формуле (3) изменение импульса материальной точки пропорционально приложенной к ней силе и имеет такое же направление, как и сила. Именно так был впервые сформулирован второй закон Ньютона. Произведение силы на время ее действия называют импульсом силы. Поэтому можно сказать, что изменение импульса точки равно импульсу силы, действующей на нее. Уравнение (3) показывает, что одинаковые изменения импульса материальной точки могут быть получены в результате действия большой силы в течение малого интервала времени или малой силы за большой промежуток времени.

Для нахождения импульса тела поступают так: мысленно разбивают      тело   на отдельные малые         элементы (материальные точки), находят импульсы полученных элементов, а потом их суммируют как векторы. Импульс тела равен сумме импульсов его отдельных элементов.

                                                                                                         Рис.2

Импульс тела может быть равен нулю даже в случае, когда оно движется. Примером может служить вращающийся вокруг неподвижной оси однородный диск. Действительно, два диаметрально противоположных равных по массе элемента имеют одинаковые по модулю скорости (рис. 2). Следовательно, их

                                                                                                                                                                    r       r

импульсы равны по модулю, но противоположно направлены: p₁  p₂ поэтому

r      r

p₁  p₂  0. Такие равенства справедливы для любых диаметрально

противоположных элементов диска.

Закон сохранения импульса является следствием второго и третьего законов Ньютона. Для простоты будем считать, что система состоит всего из двух тел. Это могут быть две звезды, два бильярдных шара или другие_{r r}        тела. Пусть на тела системы действуют внешние силы F₁ и F₂ . Силы, с которыми тела системы взаимодействуют между собой, являются внутренними силами системы.                _{r       r}      

Обозначим их через F₁₂ и _rF₂₁ (рис. 3). По _r третьему закону Ньютона F₁₂  F₂₁. Отсюда следует, что сумма внутренних сил всегда равна _{r r} нулю: F₁₂  F₂₁  0 (4).

Вследствие действия сил на тела системы их импульсы изменяются. Если взаимодействие рассматривается за малый промежуток времени, то для каждого тела системы можно записать второй закон r _{r r} Ньютона в виде

rp₁  (Fr1  Fr12) t

p₂  (F₂  F₂₁)rt r

                                                                                           r       r

Сложив эти равенства, получим p₁  p₂  (F₁  F₂) t (5).

В левой части равенства (5) стоит сумма изменений импульсов всех тел системы, т. е. изменение импульса самой системы (под импульсом системы мы будем понимать геометрическую сумму импульсов всех тел системы):

                                                                                r          r       r

p_сист  p₂  p₁ (6)

Учитывая равенство (6), можно равенство (5) записать так:r _r       

                                                                                 p       F  t (7)

             _{r                                           сист}

где F - сумма всех внешних сил, действующих на тела системы.

Мы доказали весьма важное положение: импульс системы могут изменить r

только внешние силы, причем изменение импульса системы p_сист совпадает по направлению с суммарной внешней силой. Внутренние силы изменяют импульсы отдельных тел системы, но изменить суммарный импульс системы они не могут.

Уравнение (7) справедливо для любого интервала времени t , если сумма внешних сил остается постоянной.

Из уравнения (7) вытекает закон сохранения импульса: если сумма внешних сил равна нулю, то импульс_r      системы сохраняется._{r       r}

p_сист  m₁ ₁  m₂ ₂  const (8).

Тела могут только обмениваться импульсами, суммарное же значение импульса не изменяется.

Импульс, очевидно, сохраняется в замкнутой системе тел, так как в этой системе на тела вообще не действуют внешние силы. Но область применения закона сохранения импульса шире: если даже на тела системы действуют внешние силы, но их сумма равна нулю, импульс системы все равно сохраняется.

Полученный результат справедлив для системы, содержащей произвольное

                                         r           r           r                r          r           r

число тел: m₁ ₁  m₂ ₂  m₃ ₃  ... m₁  u₁  m₂  u₂  m₃ u₃  ...   (9)

               r r r                                                                             r r r

где₁,₂,₃,...  - скорости тел в начальный момент времени; u₁,u₂,u₃,...- скорости тел в конечный момент.

Так как импульс - векторная величина, то уравнение (9) представляет собой компактную запись трех уравнений для проекций импульсов системы на оси координат.

Если сумма внешних сил не равна нулю, но сумма проекций сил на какое-то направление равна нулю, то проекция импульса системы на это направление не меняется. Например, система тел на Земле или вблизи поверхности Земли не может быть замкнутой, так как на все тела действует сила тяжести. Однако вдоль горизонтального направления сила тяжести не действует и сумма проекций импульсов тел на это направление будет оставаться неизменной, если действием сил трения можно пренебречь.

Целесообразно привести пример движения ракеты в поле силы тяжести Земли и вывести уточненную формулу Циолковского для запуска ракет:

                                          r       r        r       r                 _{r          r}

                                        (Fт  Fсопр  Fт2  Fсопр2) t  pоб  ргаз , тогда в

 проективной форме формула будет иметь вид:

(Fт  Fсопр  Fт2  Fсопр2) t  mгаз газ  mоб об(*)

Чтобы преодолеть силу тяжести и силу сопротивления воздуха, действующие на ракету при запуске необходимо иметь достаточное количество топлива, характеризующегося высокой скоростью истекания газов из сопла ракеты, поскольку с увеличением скорости истекания газов увеличивается и сила сопротивления воздуха движению газа и импульс газа. 

Последняя выражение (*) показывает, что формула Циолковского не так уж и проста, как могло показаться в 9 классе. Решение задач.

№2 упр. 8.

Систему платформа и щебень можно считать изолированной, т.к. сила тяжести перпендикулярна направлению скорости. Тогда уравнение закона сохранения импульса запишется в упрощенной

                                  r           r           r          r

форме:  m₁ ₁  m₂ ₂  m₁ u₁  m₂ u₂. Если учесть, что щебень падает на платформу перпендикулярно направлению еѐ скорости, то начальную скорость щебня в проекции на направление движения (по горизонтали) можно принять равной нулю. Уравнения сохранения импульса в проекции на горизонтальное направление перемещения платформы получит следующий вид: m₁ ₁  m₁ u₁  m₂ u₁, тогда отсюда найдем 

u  m1 1  100кг  м_{с }1,67 м _.

           m₁  m₂            600кг              с

Домашнее задание.

§41, 42, 43, № 1, 3, 4 упр. 8.

Итоги урока.

Блиц-опрос.

1.     Как определяется импульс тела?

2.     Сформулируйте закон сохранения импульса.

3.     В каких случаях закон сохранения импульса неприменим?

4.     Каковы основные требования к топливу для использования его в ракетостроении?

На следующем уроке мы проанализируем ряд задач на закон сохранения импульса и попытаемся обобщить материал по импульсу тел и материальных точек.

Автор: Щербаков Александр Анатольевич,  учитель физики высшей категории 

МБОУ «Лицей № 48» г. Калуги Урок 2

Урок обобщения материала и решению задач по закону сохранения импульса

Цели урока: провести разъяснение и обобщение материала по импульсу и закону сохранения импульса, расширить представления учащихся об области применения закона сохранения импульса на конкретных примерах.

Тип урока: урок- практикум с элементами диалога и дискуссии.

Материалы и пособия к уроку: карточки с индивидуальными заданиями для учащихся и решенные задачи по теме.

Мотивация.

Универсальность и огромное значение делает закон сохранения импульса незаменимым при решении ряда экспериментальных, практических и теоретических задач. Знание и верное толкование закона дает ключ к технологии решения целого спектра задач. Поэтому необходимо не только выучить формулировку закона, но и уметь верно толковать его в виде физических формул и законов, в основном вытекающих из второго закона Ньютона.

Ход урока.

Проверка домашнего задания.

У доски письменный опрос по домашним параграфам: §41, 42 (два ученика). Во время записи их ответов провести устный опрос по применению понятия импульса и закона сохранения импульса.

1.     Материальная точка движется равномерно по окружности. Меняется ли еѐ импульс?

2.     Какое физическое тело можно считать материальной точкой?

3.     Автомобиль трогается с места. Куда направлен вектор изменения импульса?

4.     Хоккейная шайба скользит прямолинейно и замедленно. Куда направлен вектор изменения импульса?

5.     В каком случае можно применять закон сохранения импульса: если пуля, летящая горизонтально, попадает в деревянный брусок; если пуля, летящая вертикально, попадает в деревянный брусок? Почему?

6.     Тележка, движущаяся со скоростью , сталкивается с такой же неподвижной тележкой. В момент столкновения они сцепляются и продолжают движение уже вместе. Какова скорость движения двух тележек?

7.     Приведите примеры использования закона сохранения импульса в технике и природе.

Затем проверяем записи ответов на доске, проводим их анализ и исправляем ошибки и погрешности. Повторение и обобщение материала.

1.Что называют импульсом тела? Что он характеризует? 2. В чем состоит закон сохранения импульса? Докажите его справедливость для замкнутой системы. 3. Приведите примеры проявления закона сохранения импульса. 4.

От каких факторов зависит величина изменения скорости тела?  Итак, основные выводы таковы.

                                                                                                                                                        r        r

Импульс материальной точки определяется по формуле p  m .

                                                                                                                                                        r    r

Второй закон Ньютона изначально был записан в виде p  F  t .

Используя понятие импульса, второй и третий законы Ньютона можно _{r         r r}

сделать следующий вывод p_сист  F  t , где F - результирующая всех внешних сил, действующих на систему тел или материальных точек.

Система считается замкнутой, если внешние воздействия на систему пренебрежительно малы.          Для    замкнутых систем        справедлив закон сохранения импульса: если сумма внешних сил равна нулю, то импульс системы сохраняется.r _{r        r}

p_сист  m₁ ₁  m₂ ₂  const .

Однако им можно воспользоваться, описывая поведение незамкнутых систем тел в следующих случаях:

1.     Внешние силы, действующие на любое тело системы, взаимно уравновешиваются.

2.     Проекция суммы всех внешних сил на какую-либо координатную ось равна нулю. В этом случае говорят о законе сохранения проекции импульса незамкнутой системы на данную координатную ось, Решение задач.

Задача 1. Человек, находящийся в лодке, переходит с носа на корму. На какое расстояние переместится лодка длиной 3м, если масса человека 80кг, а масса лодки 120кг? Сопротивление воды не учитывать.

Анализ и решение задачи.

Отношение скоростей во время движения остается постоянным. Тогда

                                                                                                                                                                                             S^{x         u}  

отношение пройденных путей равно отношению скоростей, т.е.                

                                                                                                                                                                                               l      

                  Sx               m1                 Sx    m1  l     Sx 1,2м.

или            l     m1  m2           m1  m2

Задача 2. Груз массой 60кг падает с высоты 5м на платформу, движущуюся со скоростью 2м/с, и остается на ней. Какой станет скорость платформы, если ее масса 1140кг? Силой трения между платформой и рельсами пренебречь.

Дано:         m₁  60кг  

M 1140кг        м     

₁  2             с       h  5м 

2 ^?                              Анализ  и  решение  задачи.

Падающий груз и   платформа — незамкнутая

система.      Применяем          закон          сохранения          импульса    в        проекции на горизонтальную ось. За положительное направление оси  принимаем   направление движения платформы (см. рис.).

                                                                                                                                                                  r         r

Импульс системы до падения тела на платформу равенm₁ u  M ₁. После r

падения тела он равен (M  m₁)₂.

                                                                                                                                             r         r                   r

По    закону    сохранения    импульса  имеем: m₁ u  M ₁ (M  m₁)₂ Находим проекции векторов на горизонтальную ось:  u_x  0 , _1x  ₂, _2x  ₂. 

M ^1 . Обращаем внимание Тогда M ₁ (M  m₁)₂, откуда _{2 }

m₁  M

учащихся на то, что искомый ответ  не зависит от высоты падения тела.

Задача 3. Граната, летевшая в горизонтальном направлении со скоростью 10 м/с, разорвалась на две части, массы которых 1кг и 1,5кг. Скорость большего осколка осталась после разрыва горизонтальной и возросла до 25м/с. Определить величину и направление скорости меньшего осколка в момент разрыва гранаты.

_Дано:                   Анализ  и  решение  задачи.

m_{1 }1_кг              За положительное направление оси  принимаем направление, по которому двигался больший осколок

^m2 ^1,5кг                гранаты. До разрыва полный импульс гранаты был равен

r

_{0 }10^мс   (mm₁₁_r1m₂m)₂₀_r. После разрыва ее импульс стал равным ₂. На                                                                      основании      закона     сохранения

  25м               импульса имеем:r                  r       r

       (m₁  m₂)₀  m₁ ₁  m₂ ₂

^{1 ?}            Так как направление скорости меньшего осколка гранаты в условии задачи неизвестно, то предположим, что он

двигался в ту же сторону, что и больший. Находим проекции векторов скорости на горизонтальную ось: 0x  0, 1x  1, 2x  2. Тогда (m1  m2)0  m1 1  m2 2,  откуда 1  (m1  m2)0  m2 2 . m₁ 2,5кг 10^м 1,5кг  25^м

                                                   ₁                 ^{с                  с}  12,5^м .

                                                                                          1кг                              с

Знак минус указывает, что скорость меньшего осколка направлена в сторону, противоположную скорости большего осколка. м

Ответ. ₁  12,5 . с Итоги урока.

Вопрос: «В какой последовательности необходимо решать задачи на применение закона сохранения импульса?» Ответ: «Основные этапы решения задач таковы:

1.     Анализ данных по задаче.

2.     Построение схем (реальных или умозрительных) движения тел, как до взаимодействия, так и после.

3.     Анализ выполнимости условий закона сохранения импульса.

4.     Запись в векторной форме закона сохранения импульса.

5.     Определение проекций скоростей (или импульсов) тел.

6.     Запись проективной формулы закона сохранения импульса.

7.     Получение математического выражения для подсчета искомой величины (вывод конечного уравнения).

8.     Анализ ответа задачи и соотнесение с первоначальными условиями задачи. Домашнее задание.

Повторить основные положения из §41, 42. Читать §44. Решить № 5,6,7 из упр. 8.