Материалы для урока алгебры в 8 классе на тему "Решение задач с помощью квадратных уравнений".

Творческая работа.

Составьте квадратное уравнение, используя следующие данные:

А) На гербе города Сыктывкара изображено животное. Посчитайте количество букв в названии животного. Полученное число будет первым коэффициентом. 

Б) Усинск негласно называют  - столицей Коми. Какое природное маслянистое вещество послужило тому причиной? Посчитайте количество букв в названии этого вещества. Полученное число будет свободным членом. 

В) Назовите крупнейшую как по длине, так и по площади бассейна реку в Республике Коми. Название реки совпадает с названием города. Посчитайте количество букв в названии и возведите это число в квадрат. Полученное число будет вторым коэффициентом. 

Г) Все коэффициенты положительные числа. Составьте квадратное уравнение, решите его.

Таблица квадратов:

 

Творческая работа.

Составьте квадратное уравнение, используя следующие данные:

А) На гербе города Сыктывкара изображено животное. Посчитайте количество букв в названии животного. Полученное число будет первым коэффициентом. 

Ответ: Медведь, 7, а=7.

Б) Усинск негласно называют  - столицей Коми. Какое природное маслянистое вещество послужило тому причиной? Посчитайте количество букв в названии этого вещества. Полученное число будет свободным членом. 

Ответ: Нефть, 5, с=5.

В) Назовите крупнейшую как по длине, так и по площади бассейна реку в Республике Коми. Название реки совпадает с названием города. Посчитайте количество букв в названии и возведите это число в квадрат. Полученное число будет вторым коэффициентом. 

Ответ: Печора, 6, 6²=36, в=36.

Г) Все коэффициенты положительные числа. Составьте квадратное уравнение, решите его.

 Ответ: 7х²+36х+5=0; D=1156, х₁= -1/7; х₂ = -5.

Теория:

Тема урока: Решение задач с помощью квадратных уравнений.

Многие задачи алгебры, геометрии, физики  приводят к необходимости решения квадратных уравнений.

Мы с вами должны научиться проводить анализ задачи, вводить неизвестные величины, находить зависимость между данными задачи и неизвестными величинами

Если в уравнении дискриминант положителен, решениями задачи могут быть оба корня уравнения. Иногда бывает, что по смыслу задачи ей удовлетворяет лишь один из корней квадратного уравнения.

Задача.

Прочитайте задачу вслух.

«Площадь земельного участка прямоугольной формы, одна из сторон которого на 3 м больше другой, равна 54 м². Найти стороны прямоугольника»

- О чём идёт речь в этой задаче?

-  Какую форму он имеет?

- Какая величина известна?

- Чему она равна? 

- Что вы можете сказать о сторонах земельного участка?

 - Что необходимо найти в задаче?

- Введём переменную.

Одна сторона (ширина)	Другая сторона (длина)	Площадь
	Х+

- Площадь прямоугольника – это...

Решение:

Составим уравнение                     =54. Раскроем скобки.

Получили квадратное уравнение                      =0.

Решим это уравнение. D=                                       =    , 

х₁=(    +   ):2=   ;

х₂=(   -     ):2=  . 

-Назовите корни квадратного уравнения   

-Каким должно быть число х по смыслу задачи?

-Назовите число, которое соответствует этому условию.

-Чему равна длина участка?

Ответ:         

 

Составим алгоритм решения задач:

1.

2.

3.

4.

5.

Фразы для составления: запись ответа; анализ условия; введение неизвестных величин; решение уравнения; составление уравнения.

Физминутка для глаз (для снятия зрительного утомления)

- Закроем глаза, расслабимся и сосчитаем до 10.

- Теперь рисуем глазами первый коэффициент квадратного уравнения, второй, свободный член.

- Сейчас рисуем цифру корней уравнения, а если уравнение не имеет корней, то моргаем:

   - если D>0 , какую цифру рисуем…..2;

   -  если D=0 , какую цифру рисуем…..1;

   -  если D<0 , какую цифру рисуем…. моргаем;

- Сядем удобро, расслабимся и еще раз закроем глаза и сосчитаем до 10.

Красный цвет – говорит о том, что ты чувствуешь энергию, активность, решительность и уверенность в себе.

Оранжевый цвет – говорит о том, что твое настроение улучшилось и повысилась самооценка. Символизирует движение, жизнерадостность, общительность.

Желтый цвет - ассоциируется с интеллектом, говорит о том, что ты активно работал на уроке, уверенно принимал решения. Желтый считается самым «счастливым» цветом, олицетворяющим тепло и радость.

Зеленый цвет – говорит о том, что ты сейчас спокоен, расслаблен, так как в течение урока ты получил новые знания и это означает твой собственный рост. Твое стремление только вперед, только навстречу результату!

Синий цвет — говорит о том, что ты сейчас спокоен, расслаблен, твоя работы вызвала у тебя положительные эмоции и ты ею доволен.

Фиолетовый цвет – говорит о твоем вдохновение. Что ты стал мудрее и спокойнее.

Оценочный лист

№п/п	Задания	Количество баллов	Выполнил самостоятельно	Выполнил с помощью учителя
1	Творческое задание	0  1  2  3  4  5
2	Рене Декарт	0  1  2  3  4  5
3	Теория. Задача.	Вычислил дискриминант – 0 1 Нашел корни уравнения – 0 1 Выбрал корень – 0 1 Записал ответ – 0 1 Составил алгоритм – 0 1
4	Работа с кейсом	Прочитал и понял –0 1 Составил уравнение –0 1 Участвовал в обсуждении – 0 1 Решил уравнение – 0 1 Выбрал правильный ответ – 0 1 Записал ответ -  0 1
5	Задание на соответствие	0 1 2 3 А Б В
6	Дополнительное задание: «Лови ошибку»	0 1 2 3 4 5

Отметка  ----------------Шкала выставления отметки 12 – 15 баллов    --------------«3»

                                                                                         16 – 19 баллов   -------------- «4»

                                                                                          20 – 24 балл    ------------------«5»

Найди ошибку в решении и рассуждении*:

Задача. Мяч брошен вертикально вверх с начальной скоростью 40 м/с. Через сколько секунд он окажется на высоте 60 м?

Решение. Из курса физики известно, что если не учитывать сопротивление воздуха, то высота h(м), на которой брошенный вертикально вверх мяч окажется через t(c), может быть найдена по формуле

 h=V₀ t-gt²/2,

где V_o(м/с)-начальная скорость,

g-ускорение свободного падения, приближенно равное 10 м/с².

Подставив значения h и V в формулу, получим 60=40t-5t².

Получили квадратное уравнение, решим его.

5t²-40t+60=0,

t²-8t+12=0,

D= 64 – 4*1*12 = 16,

 t₁= (-8 – 4):2 = -6; t₂= (-8 +4):2= -2.

 Рассмотрим график зависимости h от t, где h=40t-5t².

Из графика видно, что мяч, брошенный вертикально вверх, на высоте 60 м от земли оно оказывается дважды: через - 2 с и через - 6 с после бросания. Условию задачи удовлетворяют оба найденных корня.

Ответ: на высоте 60 м тело окажется через - 2 с и через - 6 с.

Кейс «Решение текстовых задач с помощью КВУР»

Тип кейса: практический.

Содержание кейса:

Описание ситуации «Как помочь Сергею?»

 «Две дороги пересекаются под прямым углом. От перекрестка одновременно отъехали два велосипедиста, Сергей поехал в южном направлении, а Дмитрий – в восточном. Скорость Дмитрия была на 4 км/час больше скорости Сергея. Сергей утверждал, что через час расстояние между ними оказалось равным 20 км, а Дмитрий не поверил расчётам друга. Как помочь Сергею убедить друга?»

ПРАВИЛА РАБОТЫ С КЕЙСОМ

1.Двукратное чтение кейса: один раз, чтобы иметь

общее представление и второй раз, чтобы хорошо

разобраться в фактах.

2.Составить список проблем, с которыми придется

иметь    дело.

3.Если предлагаются цифровые данные, нужно

попытаться их оценить и объяснить.

5.Узнать проблему, к которой можно применить

имеющиеся знания.

6.Составить основательный анализ имеющейся

ситуации.

7.Поддержка предложений решения проблемы

посредством основательной аргументации.

8.Составить схему, таблицу, рисунок, которые дают основание для «решения».

Вопросы для обсуждения.

- Текстовая задача на движение. Чтобы выполнить это задание, ученик должен составить и решить уравнение по условию, правильно интерпретировать полученный результат.

- В какой форме лучше записать условие задачи: рисунок, таблица, краткая запись или что-то другое?

- Как связаны между собой скорость, время и пройденный путь?

- Что означает предложение «Через час расстояние между ними оказалось равным 20 км»?

- Вспомните теорему Пифагора для составления уравнения (учебник, стр.78)

- Что принять за неизвестную величину – Х?

https://drive.google.com/file/d/1GVcyveuN0Oq2yRRSTMhf8Q5MuRQR7BbD/view?usp=sharing

Заполните таблицу

На уроке я:

	Да	Нет	Остались некоторые вопросы
Научился составлять уравнения по условию задачи
Научился определять ответ в задаче в соответствии с условием
Научился решать задачи с помощью квадратных уравнений

Выбери цвет своего настроения на конец урока:

Красный цвет – говорит о том, что ты чувствуешь энергию, активность, решительность и уверенность в себе.

Оранжевый цвет – говорит о том, что твое настроение улучшилось и повысилась самооценка. Символизирует движение, жизнерадостность, общительность.

Желтый цвет - ассоциируется с интеллектом, говорит о том, что ты активно работал на уроке, уверенно принимал решения. Желтый считается самым «счастливым» цветом, олицетворяющим тепло и радость.

Зеленый цвет – говорит о том, что ты сейчас спокоен, расслаблен, так как в течение урока ты получил новые знания и это означает твой собственный рост. Твое стремление только вперед, только навстречу результату!

Синий цвет — говорит о том, что ты сейчас спокоен, расслаблен, твоя работы вызвала у тебя положительные эмоции и ты ею доволен.

Фиолетовый цвет – говорит о твоем вдохновение. Что ты стал мудрее и спокойнее.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1

Произведение двух натуральных чисел, одно из которых на 6 больше другого, равно 187. Найдите эти числа.

Задача 2

Длина садового участка на 10 м больше его ширины. Его площадь 200 м². Найдите длину участка.

Задача 3

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10 см, а один из катетов на 2 см больше другого. Найдите катеты этого треугольника.

Задача 4

Площадь прямоугольной формы газона равна 36 м². Определите наибольшую сторону площади, если одна сторона меньше другой на 5 м.

Задача 5

Найдите стороны прямоугольника, если его площадь равна 3 дм², а периметр – 8 дм.

Задача 6

Аквариум с прямоугольным дном занимает на столе площадь, равную

465 см² . Ширина дна аквариума на 16 см меньше длины. Найдите ширину и длину дна аквариума.

Рене Декарт (1596-1650) – выдающийся французский философ, математик, биолог и физик . Главное философское кредо «Мало иметь хороший ум, главное хорошо его применять». Одним из наиболее известных его достижений в математике является изобретение координатных прямой и плоскостей. В 1637 году учёным была написана самая известная его работа «Рассуждение о методе».

Среди открытий, сделанным учёным – закон преломления света, поясняющий образование радуги. В физиологии он ввел понятие рефлекса.В юности Декарт метал о военной карьере, состоял на службе у короля Людовика XIII в команде мушкетёров, был участником осады крепости Ля – Рошаль. Позже это событие было подробно описано в романе знаменитого французского писателя Александра Дюма «Три мушкетёра».

Чистяков В.Д. Рассказы о математиках.

Ответить на вопросы

1. Какие науки его интересовали?

2.Назовите самую известную работу?

3. Какие открытия сделал Рене Декарт?

4. Что удивило вас в этом человеке?

5. Крылатое высказывание Декарта?

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов  катетов.

---

a, b- катеты прямоугольного треугольника, c- гипотенуза 

  - Формула (теорема) Пифагора