Материалы к уроку по теме "Прямоугольный параллелепипед" (10-11 класс)

Параллелепипед. Площадь поверхности параллелепипеда. Объем параллелепипеда.

Пояснительная записка

В данной подборке заданий представлены задачи по теме «Параллелепипед» (курс геометрии 10-11 классы) из Открытого банка заданий для подготовки к учащихся 11 классов к экзамену по базовой математике.  Некоторые задачи сопровождены краткими решениями и указаниями. Задания могут быть использованы для повторения и обобщения знаний по теме, так же предназначены для проверки уровня знаний, умений и навыков учащихся по данной теме «Прямоугольный параллелепипед». Краткий теоретический материал  поможет восполнить необходимые знания для решения представленных задач.

Прямоуго́льный параллелепипед — многогранник с шестью гранями, каждая из которых является в общем случае прямоугольником.

Противолежащие грани параллелепипеда равны. Рёбра параллелепипеда, сходящиеся в одной вершине взаимно перпендикулярны.

Примерами тел, имеющих форму прямоугольного параллелепипеда служат классная комната, кирпич, спичечный коробок или системный блок компьютера.

Длины трёх рёбер прямоугольного параллелепипеда, принадлежащих одной вершине, иногда называют измерениями (длина, ширина и высота). Например, распространённый спичечный коробок имеет измерения 15, 35, 50 мм.

Прямоугольный параллелепипед определяется тремя измерениями: высота (a), длина (b), ширина (c)

Если площадь всей поверхности параллелепипеда обозначить буквой S, то формула ее нахождения будет выглядеть так: S = (ab + ac + bc) • 2

Объём прямоугольного параллелепипеда можно найти по формуле:

Квадрат длины диагонали d (диагональ - это отрезок соединяющий противоположные вершины)прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений: .

V = a b c

Прямоугольный параллелепипед с равными измерениями называется кубом. Все шесть граней куба — равные квадраты.

Прямоугольным параллелепипедом является прямая четырехугольная призма. Для вычисления объема можно использовать формулу:

1.      Аквариум имеет форму прямоугольного параллелепипеда с размерами 80 см × 30 см × 40 см. Сколько литров составляет объём аквариума?  В одном литре 1000 кубических сантиметров.

 V = a b c, V = 30см 40см 80см=96000 , 96000

2.      Два ребра прямоугольного параллелепипеда равны 8 и 5, а объём параллелепипеда равен 280. Найдите площадь поверхности этого параллелепипеда. ,  V = a b c, 280 = 8 5 c, 40с=280, с=7 S = (ab + ac + bc) • 2, S = (
3.      В бак, имеющий форму прямой призмы, налито 5 л воды. После полного погружения в воду детали уровень воды в баке поднялся в 1,4 раза. Найдите объём детали. Ответ дайте в кубических сантиметрах, зная, что в одном литре 1000 кубических сантиметров. 4. V1 = 5л, V2=V11,4  V2=7л V(детали)=V2- V1=7л-5л=2л=2000  = Если уровень воды поднялся в 1,4 раза, то высота увеличилась в 1,4 раза, а следовательно и объем призмы.
4.      Деталь имеет форму изображённого на рисунке многогранника  (все двугранные углы прямые). Числа на рисунке обозначают длины рёбер в сантиметрах. Найдите объём этой детали. Ответ дайте в кубических сантиметрах. Необходимо найти объем составного многогранника, для этого следует разделить его на два параллелепипеда любым способом. Объем дан­но­го мно­го­гран­ни­ка равен сумме объ­е­мов па­рал­ле­ле­пи­пе­дов с реб­ра­ми 5, 1, 2 и 3, 2, 3: V=10+18=28. Можно найти объем оставшейся части многогранника, отняв от объема параллелепипеда с измерениями 4, 5 и 2  объем параллелепипеда с измерениями 2, 3 и 2: V=40 -12 = 28.
5.      Деталь имеет форму изображённого на рисунке многогранника (все двугранные углы прямые). Числа на рисунке обозначают длины рёбер в сантиметрах. Найдите объём этой детали. Ответ дайте в кубических сантиметрах.

РЕШИ задачи самостоятельно

6.      Деталь имеет форму изображённого на рисунке многогранника (все двугранные углы прямые). Числа на рисунке обозначают длины рёбер в сантиметрах. Найдите площадь поверхности этой детали. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

7.      Деталь имеет форму изображённого на рисунке многогранника (все двугранные углы прямые). Числа на рисунке обозначают длины рёбер в сантиметрах. Найдите объём этой детали. Ответ дайте в кубических сантиметрах.

8.                  В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 рёбра CD, CB и диагональ боковой грани CD1 равны соответственно 3, 4 и 5. Найдите объём параллелепипеда ABCDA1B1C1D1. Указания: Из прямоугольного треугольника  CDD1 по теореме Пифагора можно найти DD1. Известны три измерения параллелепипеда, следовательно, можно найти объем.

9.                  В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 рёбра CD, CB и диагональ боковой грани CD1 равны соответственно 5, 6 и Найдите объём параллелепипеда ABCDA1B1C1D1. 10.              В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что BB1=8, CD=8, AD=14. Найдите длину диагонали BD1. Указания: Известны три измерения параллелепипеда, следовательно, можно воспользоваться формулой    .

11.Аквариум имеет форму прямоугольного параллелепипеда с размерами 60 см × 30 см × 50 см. Сколько литров составляет объём аквариума?  В одном литре 1000 кубических сантиметров.
12. В бак, имеющий форму прямой призмы, налито 15 л воды. После полного погружения в воду детали уровень воды в баке поднялся в 2,6 раза. Найдите объём детали. Ответ дайте в кубических сантиметрах, зная, что в одном литре 1000 кубических сантиметров. 1. V1 = 5л, V2=V11,4  V2=7л V(детали)=V2- V1=7л-5л=2л=2000
13. В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы со стороной основания, равной 10 см, налита жидкость. Чтобы измерить объём детали сложной формы, её полностью погружают в эту жидкость. Найдите объём детали, если уровень жидкости в баке поднялся на 30 см. Ответ дайте в кубических сантиметрах.
14. Ящик, имеющий форму куба с ребром 20 см без одной грани, нужно покрасить со всех сторон снаружи. Найдите площадь поверхности, которую необходимо покрасить. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
15. Аквариум имеет форму куба со стороной 40 см. Сколько литров составляет объём аквариума? В одном литре 1000 кубических сантиметров.