Методы решения показательных уравнений

Урок семинар (2 часа) “Методы решения показательных уравнений” 

Цели урока: - систематизировать, расширить знания и умения учащихся, связанные с применением методов решения показательных уравнений;

                      - содействовать развитию математического мышления учащихся;

               - подготовить учащихся к успешной сдаче ЕГЭ по математике.

                      - побуждать учащихся к преодолению трудностей в процессе умственной деятельности.

Оборудование урока: проектор,  экран, ноутбук,  листы с заданиями для групп.

                                                         Ход урока.

I. Организационный момент:  

Учитель. Ребята, вы накануне получили задания к семинару, исчерпывающую консультацию по теоретическим вопросам и решению уравнений. У нас сформированы 4 равнозначные группы. Каждая группа готовила свои вопросы, но каждый из вас должен внимательно выслушать все ответы. В конце второго урока будет проведена самостоятельная работа и ее успешное выполнение зависит от вашего восприятия. Будьте внимательны, если возникают вопросы, то, пожалуйста, задавайте.  Не оставляйте невыясненных моментов. Мы начнем семинар с проверки домашнего задания. Уравнения будут комментировать участники I группы, они подготовили решение на флешках. Посмотрите на экран (на экран выведена информация о решении простейших показательных уравнений).

, где ,

    II.   Актуализация знаний.

Учитель. Проверяем домашнее задание, исправляем ошибки в тетрадях, а если надо, то и у отвечающих. Они приведут вам образцы решений и ответы.

Ученик. При изучении свойств показательной функции мы познакомились с решением простейших показательных уравнений вида :

, где ,

Ученик. Наше домашнее задание состояло из следующих уравнений:

1. ; ответ:

2. ; ответ: ; .

3. ; ответ: .

4. ; ответ: , .

5. ; ответ: ; .

6. ; ответ: ; .

Образцы решения уравнений:

Ученик. 1. ; ;

2. ; ; ; ; .

Ученик. 3. ; ; .

Ученик. 4. ; ; ; ;

; ; ; ; ;

          

Ученик. 5. ;

;

;

; .

Ученик. 6. ;

;

;

;

;

;

;

; ; .

III. Новые виды показательных уравнений.

Учитель. Обсудим несколько других методов решения показательных уравнений. Мы знаем, что правильно выбранный метод часто позволяет существенно упростить решение, а значит все изученные методы нужно держать в зоне своего внимания. С существующими способами решения  показательных уравнений нас поочередно познакомит представитель от каждой группы. Каждой группе было предложено по одному типу уравнений. Они вас ознакомят с теорией и разберут несколько примеров. Учащиеся второй группы познакомят нас с уравнением вида (приложение “Теория 1” ноутбука):

Ученик. 1) Уравнения такого вида решаются вынесением общего множителя за скобки.

       Выносим , где  - наименьшее из чисел , , , …, .

Уравнение будет иметь вид

После упрощения получим

В скобках находится постоянная величина, которую примем за N, тогда уравнение сводится к следующему

Разделим правую и левую часть уравнения на N, тогда получим , а такие уравнения у нас встречались.

Учитель. Спасибо за ответ. Рассмотрим решение следующих уравнений, предоставив слово выступающим. Советую вам записывать решение уравнений в тетрадь для образца.

Ученик. а) , где

; .

Ответ: 1.

Ученик. б)

.

Ответ: 2.

Ученик. в)

Ответ: 1.

Учитель. Все уравнения решены верно и мы идем дальше. Предоставим слово следующей группе. Посмотрите на экран (приложение “Теория 2” ноутбука).

Ученик.  - уравнение, приводимое к квадратному. Такие уравнения решаются введением новой переменной. Пусть , где , т.к. , тогда  - квадратное уравнение.

Учитель. Рассмотрим решение следующих уравнений. Слово следующим ученикам.

Ученик. а)

Пусть ; тогда ,

;

;

.

Ответ: 2.

Ученик. б)

Пусть , тогда ,

;

;

, .

Ответ:  и 0.

Ученик. в)

Пусть , тогда ,

;

;                

.                      Ø               

Ответ: -1.

Учитель. Спасибо за ответ, ну и наконец, учащиеся четвертой группы познакомят нас с оставшимся способом решения уравнений.  Посмотрите на экран (приложение “Теория 3” ноутбука).

Ученик. .

Это уравнение тоже приводится к квадратному. Решается делением каждой части уравнения на  или . ( т. к.  и )

,

Пусть , , тогда ;

- свели к квадратному уравнению.

Учитель. Рассмотрим решение последних трех уравнений.

Ученик.  а)

Пусть ; ,

;

;               

,                       .

Ответ: -1 и 0.

Ученик. б)

Пусть , тогда

;

;                  

.                             Ø

Ответ: -1.

Ученик. в)

Пусть , ,

;

,                  

.                               Ø

Ответ: 1.

Учитель. Всем выступающим еще раз спасибо. Давайте подведем промежуточные итоги.  Мы рассмотрели основные виды показательных уравнений, их решение и теорию. Обратите внимание, вся информация вывешена на стенде «Готовься к ЕГЭ». Также есть возможность записать пройденный материал на ваши flash-карты, воспользовавшись классным ноутбуком. Сейчас задавайте возникшие у вас вопросы или получите консультации непосредственно в группах. Разрешаю вставать и подходить ко мне для получения индивидуальной консультации.

А теперь я раздам вам листы с заданиями. Выполните их.  Спустя 15 минут вы проверите свои работы, исправите допущенные ошибки.

а)

б)

в)

Учитель. Ну что же, обратите внимание на экран (решенные уравнения учитель демонстрирует через проектор). Все ли справились с решением и получили верный ответ? Мы спланируем на следующем уроке индивидуальную работу с теми, кто допустил ошибки.

Образцы решений уравнений:

а)

Ответ: 1.

б)

Пусть , тогда ,

;

, .

в)

Пусть , ,

;

,          

         Ø                   .

Ответ: -1.

IV. Рефлексия.

Как общение в ходе работы влияло на выполнение задания? Какие трудности испытывали участники групп при выполнении задания? Как вы считаете, были ли полезны элементы поисковой работы для усвоения материала или объяснение темы преподавателем более предпочтительно?