Методическая разработка на тему "Метод рационализации неравенств"

«Метод рационализации неравенств»

Глава 1 Теоретическая часть

Определение: Говорят, что у двух выражений х) и х)совпадает знак на области определения х), если для любого х из области определения х) выражениех) тоже определено и при этом если х)> 0, то и х) > 0; если х)< 0, то и х) < 0; если

х)= 0, то и х) = 0

Определение: Два неравенства называются равносильными на множестве М, если множества их решений совпадают. Неравенства, не имеющие решения, так же являются равносильными.

Алгоритм метода рационализации

1.      Найти ОДЗ

2.      Привести исходное неравенство к виду∨ 0(справа 0 !), где ∨ - один из знаков неравенств:а множители u_n и v_mпредставляют собой показательные, логарифмические, рациональные, иррациональные выражения, выражения с модулями и другие. В таком виде нужен только знак каждого множителя, а не его значение. Исследуемый метод состоит в том, чтобы с помощью равносильных преобразований, заменять такие множители на другие, «более удобные»  линейные множители, совпадающие по знаку с исходнымина первоначальной области определения.

3.      Решить полученное неравенство методом интервалов.

4.      Учесть ОДЗ,

5.      Записать ответ

Метод рационализации заключается в замене сложного выражения F(x) на более простое выражение G(x), при котором  неравенство G(x) 0 равносильно неравенству F(x) 0 в области определения выражения F(x). 

	Выражение F	Выражение G
1 1а 1б
2
3 3а
4
5
	- Здесь   ≥ 0  и   ≥ 0	-

Доказательства полученных выражений

1.         ∨ 0  ∨ 0

Доказательство:

Пусть , т.е. , причема>0; а≠1; f>0; g>0 (*)

Если 0<а<1, то по свойству убывающей логарифмической функции имеем f<g. Значит, выполняется система неравенств

откуда следует неравенство (, верное на области определения выражения .

Еслиа >1, то f>g. Следовательно, имеет место неравенство .

Обратно, если выполняется неравенство  на области (*), то оно на этой области равносильно совокупности двух систем неравенств
                   и                 

Из каждой системы следует неравенство

>0.

Аналогично рассматриваются неравенства вида F<0, F≥0, F≤0.

a)   ∨ 0  ∨ 0

Доказательство:

Пусть

Заменим

Если  0<а<1, то по свойству убывающей логарифмической функции- f<a. Значит выполняется система неравенств

Откуда следует неравенство

Если а>1, то f>. Следовательно, .

б)∨ 0

Доказательство:

 Пусть

Заменим данное неравенство на .

Если  0<а<1, то a-1<0, f-1<0. Отсюда следует неравенство

Если а>1, то a-1>0, f-1>0, откуда следует то же неравенство.

2.         ∨ 0  ∨ 0

Так  как
,то используя замены 1а и 1б, получаем, что знак последнего выражения совпадает со знаком выражения 

3. ∨ 0  ∨ 0

Из неравенства  следует . Пусть число а>1, тогда

. Отсюда с учетом замены 1б и условия а>1 получаем

Аналогично доказываются неравенства F<0, F≤0, F≥0.

a)   ∨ 0  ∨ 0

Доказательство:

. Пусть некоторое число а>1, тогда . Откуда следует, что

Применив замену 1б, получаем ,

4.        

Дано неравенство Пусть а>1, тогда

Используя замену 1, получаем 

Аналогично доказываются неравенства F<0, F≤0, F≥0.

5.         ∨ 0  ∨ 0

Доказательство:

Так как неравенство , то

6.          - ∨ 0  ∨ 0

:

Так как неравенство  - , то

по условию

Глава 2  Экспериментальная часть

Исследованы  следующие виды неравенств: иррациональные, логарифмические, показательные, логарифмические по переменному основанию, неравенства с модулем.

Многие выражения можно разложить на множители и привести к виду, записанному в таблице, применяя равносильные преобразования.

Например:  -  - 5 =  -

   При этом стоит помнить, что возводить неравенство в четную степень можно только при тех значениях переменной, при которой обе части неравенства неотрицательны.

При решении логарифмических неравенств с постоянным основаниемпроще использовать другие способы.

Метод рационализации упрощает  решение логарифмических неравенств, содержащих переменную в  основании.Данный метод позволит избежать рассмотрения совокупности двух систем неравенств, с учетом основания, когда оно будет больше 0 или находиться в пределах от 0 до 1.

Пример 1. Решите неравенство log_2x+3 x²< 1.

Решение. Запишем неравенство в виде log_2x+3x² – 1< 0 и заменим его равносильной системой, используя метод рационализации

(2x + 2)(x² – 2x – 3) < 0

2x + 3 > 0

2x+ 3≠ 1;  х≠0

(x + 1)(x + 1)(x – 3) < 0

x> 1,5

x ≠ 0; х≠-1

Ответ: (-1.5; -1) (-1; 0)  (0; 3).

Так же, при решении показательных неравенств,  удобно использовать исследуемый метод

Пример 2

Приведем к каноническому

виду∨ 0:

применим метод рационализации:

Ответ: [0;2]

Пример 3

ОДЗ:

 7-3х>0                     -3х>-7                                          х<

7-3х≠1          ó       -3х≠-6          ó                            х≠2

х+6>0                         х>-6                                           х>-6

ОДЗ:  (-6;2) U (2;2)

1 способ. Метод рационализации.

Используя метод рационализации, с учетом ОДЗ перейдем к неравенству:
(7-3х-1)(х+6-1)≤0
(-3х+6)(х+5)≤0
(-3х+6)(х+5)=0
х=2         х=-5

С учетом ОДЗ получим решение неравенства       (-6;-5]U(2;2)

2 способ.  Так как основание логарифма выражение, содержащее переменную, то при его решении следует рассмотреть  совокупность двух систем неравенств:

  7-3х>1,   

 .              ó

0<7-3х<1,

 .                        

 

-3х>-6                           х < 2                                     х<2

 х+6≤1        ó х -5  х≤-5                                    

-7<-3х<-6                      >х>2                                   2<х<2

 х+6≥1                           х≥-5                                      х≥-5

Решение совокупности систем неравенств    (-∞;-5]U(2;2).
С учетом ОДЗ получим решение исходного неравенства Ответ: (-6;-5]U(2;2)

Вывод: рациональнее применить метод замены множителя.

Метод рационализации удобен при решении неравенств, содержащих переменную под знаком модуля.

Пример 4.

Решите неравенство:

;   > 0

Используя метод рационализации, перейдем к равносильному неравенству

Модули и корни, содержащие переменную так же встречаются внутри логарифмических неравенств, где тоже возможно использовать метод не только к логарифму, но и к модулю, и к корню.

Пример 5

.

Решение:

Ответ:  .

Пример 6 

.

Решение:

Ответ: .

Заключение

В результате выполненной работы:

1.Были изучены различные источники по теме «Метод рационализации»;

2.  Был изучен новый метод решения показательных, логарифмических, иррациональных неравенств и неравенств, содержащих переменную под знаком модуля.

3.Были подобраны задачи из тестов ЕГЭ;

4.  Были проведены исследования различных неравенств по данной теме и найдены наиболее рациональные решения;

5.  Было проведено занятие в выпускном математическом классе по данной теме.

   Таким образом  можно решать олимпиадные задачи и задачи ЕГЭ, подбирая к ней самое рациональное, выгодное и короткое решение.  Зная несколько способов, а не один, мы идём на экзамены или олимпиады, заранее подготовленными. Поэтому, представленная работа , не только интересная, но и полезная.

     В настоящее время обучаюсь в 11 математическом классе. Как и для многих выпускников, для меня важно получить высокие баллы ЕГЭ. Самостоятельно и с помощью учителя решаю задания профильного  уровня  экзамена, изучаю редко используемые формулы и методы, упрощающие решение задач. Думаю, что изучение предложенного метода может оказать помощь  выпускникам школы при сдаче ЕГЭ по математике и подготовке к олимпиадам.

Литература

1.      Корянов А. Г., Прокофьев А. А. – Методы решения неравенств с одной переменной. – 2011.

2.      КИМы ЕГЭ за 2012-2015 г

3.      Решаем задание С3 методом рационализации Под ред. Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова , :-ЛЕГИОН, Ростов-на –Дону, 2013

Задания для самостоятельного решения

1.      Решите неравенство

.Ответ:

2.      Решите неравенство

< 1.Ответ:  (log₃10; + ).

3.      Решите неравенство

.Ответ:  .

4.      Решите неравенство

.Ответ:  .

5.      Решите неравенство

.Ответ:  .

6.      Решите неравенство

 Ответ: (;-9) U(-3; +

7.      Решите неравенство

                   Ответ:

8.      Решите неравенство

                 Ответ: 

9.      Решите неравенство

 Ответ: 

10.  Решить неравенство 

Ответ. .