Методическая разработка по геометрии на тему "Одна за всех...Формула Пика"

          XXVII районный конкурс исследовательских работ учащихся

«Наука и Детство»

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение                                   «Кон заводская  средняя школа имени В.К.Блюхера»

Научное общество учащихся «Созвездие»

Естественно – математическое направление

Математика

«Одна за всех…формула Пика»

Масанова Карина,

МБОУ «Конзаводская средняя

школа им. В.К.Блюхера», 7 класс

Руководитель -

Жижилева Валентина Ивановна,

МБОУ «Конзаводская средняя

 школа им. В.К.Блюхера»,

учитель математики высшей категории

Ферма - 2017

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение.................................................................................................................. 3

1.     Определение понятия «площадь» и ее обозначение.......................................... 5

2.     Приемы нахождения площадей многоугольников............................................. 6

3.     Георг Пик и его формула................................................................................... 7

4.     Задачи с практическим содержанием.............................................................. 10

5.     Исследование и эксперимент........................................................................... 12

5.1.     Исследование площадей многоугольников, изображенных на клетчатой бумаге         12

5.2. Результаты практического эксперимента........................................................ 16

Заключение............................................................................................................ 18

Библиографический список................................................................................... 19

Введение

Геометрические задачи на вычисление площади фигуры – наиболее распространенные задачи геометрии: они издревле были связаны с жизнедеятельностью людей. К сегодняшнему дню я уже знаю понятие площади фигуры, основные свойства площадей.  Умею вычислить площадь квадрата, прямоугольника, треугольника, а также фигуры, составленной из них, а находить площади различных многоугольников не умею. Мне стало интересно, а какие есть приемы для нахождения площади этих фигур. Я приступила к изучению литературы, интернет - ресурсов по данной теме. Казалось бы, что увлекательного можно найти на клетчатой плоскости? Оказывается, задачи, связанные с бумагой в клеточку, очень разнообразны. Для многих задач на бумаге в клетку нет общего правила решения, конкретных способов и приемов. На уроке геометрии учитель показала формулу Пика. Эта формула меня заинтересовала, и я попробовала решать задания, используя эту формулу.  Задачи решались очень быстро и легко. Так и была определена мною тема для исследования.

         Актуальность работы состоит в том, что формула Пика для вычисления площади многоугольников в школьном курсе математики (геометрии) не рассматривается. Увидев в контрольно – измерительных материалах ОГЭ и ЕГЭ задачи, связанные с нахождением площади изображённой фигуры на клеточной бумаге, у меня возникли вопросы:

В чём заключается особенность задач на клетчатой бумаге?

Существуют ли специальные методы и приёмы решения таких задач?

Как найти площадь фигуры, формулу площади которой я не знаю?

Предмет исследования: задачи, связанные с нахождением площади изображённой фигуры на клетчатой бумаге, методы и приёмы их решения.

Какие существуют альтернативные формулы для нахождения площади фигуры на клеточной бумаге (сетке)?

На помощь приходит красивый прием, основанный на использовании формулы Пика.

Цель исследования: Проверить формулу Пика для вычисления площадей геометрических фигур в сравнении с формулами геометрии.

Для достижения поставленной цели предусматривается решение следующих задач:

·        Подобрать и изучить необходимую литературу по выбранной теме. Отобрать материал для исследования, выбрать главную, интересную, понятную информацию.

·        Проанализировать и систематизировать полученную информацию.

·        Решить задачи на нахождение площади фигур, изображенных на клетчатой бумаге, геометрическим методом.

·        Найти различные методы и приёмы решения задач на клетчатой бумаге.

·        Сравнить и проанализировать результаты исследования.

Гипотеза: Площадь фигуры, вычисленная по формуле Пика равна площади фигуры, вычисленной по формуле планиметрии.

1.    Определение понятия «площадь» и ее обозначение

Понятие площади хорошо известно нам из повседневного опыта: мы измеряем площадь спортивной площадки или садового участка, рассчитываем по площади количество обоев или коврового покрытия для ремонта комнаты.

Площадь одна из основных величин, связанных с геометрическими фигурами. Обычно площадь обозначается латинской буквой «S». Площадь измеряется в квадратных единицах:  мм, см; ар, га и т.д. Прежде всего заметим, что когда два многоугольника равны, то единица измерения площади и ее части укладываются в каждом из них одинаковое количество раз, т.е. имеет место следующее свойство:  равные многоугольники имеют равные площади. Далее, пусть многоугольник состоит из нескольких частей – других многоугольников, которые не имеют общих внутренних точек. Если эти части имеют площади , то площадь всего многоугольника будет равна их сумме: .  В этом заключается второе свойство площадей: если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников. Третье свойство площадей связано с единицей их измерения: площадь квадрата со стороной, равной единице длины, равна единице площади. Три приведенных свойства называют аксиомами площадей. Итак, площадь многоугольника – это положительная величина, численное значение которой удовлетворяет аксиомам площадей. Из этого, в частности, следует, что каждый многоугольник имеет некоторую площадь, которая однозначно определяется в заданных единицах измерения. 

Уже в древности вычисление площади было одной из важнейших задач практической геометрии (разбивка земельных участков).

2.    Приемы нахождения площадей многоугольников.

За несколько столетий до нашей эры греческие ученые располагали точными правилами вычисления площадей, которые в «Началах» Евклида облечены в форму теорем. При этом площади многоугольников определялись приемами разложения и дополнения фигур. В школьных учебниках рассматриваются следующие приемы нахождения площадей геометрических фигур: разбиение на простые фигуры, дополнение до прямоугольника, наложение и по формулам.

Рассмотрим некоторые приемы вычисления площадей на клетчатой бумаге.

1       способ: Площадь фигуры как сумма площадей её частей

Задача 1. Найдём площадь фигуры АВСD (см. рис.1).  Если клетки размером 1х1см.

Разобьем фигуру АВСD на части (1 и 2).

По свойству площадей:

 S = S1 + S2 =

1

= (2∙3):2 + 3∙2 =

= 3 + 6 = 9 см²

                                                Ответ: 9 см² 

                  Рис.1                           

2       способ: Площадь фигуры как часть площади прямоугольника

Задача 2. Найдём площадь фигуры АВСD (см. рис.2). Если клетки размером 1х1см. Опишем около фигуры АВСD прямоугольник

1

4

Из площади прямоугольника (в данном случае это квадрат) вычтем площади полученных простых фигур (1, 2, 3 и 4):

3

2

S = Sпр – S1 – S2 – S3 – S 4 =

Рис.2

= 4∙4 – (3∙1):2 – (3∙1):2 – (3∙1):2 – (3∙1):2 = 16 – 1,5 – 1,5 – 1,5 – 1,5 = 10 см²                       Ответ: 10 см²  

3.    Георг Пик и его формула

 

А как найти площадь такой фигуры?  (см. рис.3).         Можно ли воспользоваться теми приемами, которые были описаны выше? Но может быть есть еще какие-либо способы вычисления площади? В школьных учебниках геометрии такой информации

нет.

                Рис.3

Оказывается, площади     многоугольников, вершины которых расположены в узлах сетки, можно вычислять гораздо проще: есть формула, связывающая их площадь с количеством узлов, лежащих внутри и на границе многоугольника. Итак, для многоугольников  с вершинами в узлах и сторонами, идущими по линиям сетки, есть  формула  S = В +  – 1, где В - количество узлов, лежащих внутри многоугольника, а Г- количество узлов на его границе.

Например, для многоугольника, изображенного на рис.3: В=9, Г=16, S = 9+16:2 – 1=16. Посчитать площадь этой фигуры обычными способами намного сложнее и дольше. Если фигура представляет собой выпуклый многоугольник, то возможно использовать как метод разбиения, так и метод дополнения. Если фигура представляет собой невыпуклый или звездчатый многоугольник, то удобнее применять специальную формулу, которая носит название по имени ученого ее открывшего – формулу Пика. Эта формула оставалась незамеченной в течение некоторого времени после того как австрийский математик Георг Пик ее опубликовал (в 1899 г.), однако в 1949 году польский математик Гуго Штейнгауз включил теорему в свой знаменитый «Математический калейдоскоп». С этого времени теорема Пика стала широко известна, привлекла довольно большое внимание и начала вызывать восхищение своей элегантностью.  В Германии формула Пика включена в школьные учебники. Однако в нашей стране данная формула на уроках геометрии не рассматривается, и мало кому известна, хотя является универсальной и отличается своей простотой.    

       Рассмотрим применение формулы Пика на примерах:

Задача 3. Найдем площадь выпуклого пятиугольника, изображенного на рисунке 4, если клетки размером 1х1см.

 

     Рис.4

Задача 4. Найдём площадь ABCD по формуле Пика (см. рис.5), считая стороны квадратных клеток равными 1.

В нашей задаче внутри фигуры расположены 5 точек, а на границе – 4 точки, тогда площадь многоугольника ABCD = 5+4:2 – 1 = 6 ед².                                                                                                         Ответ: 6 ед²

              Рис.5

 Задача 5.  Рассмотрим такие многоугольники, у которых количество   узлов, внутренних точек и количество точек на границе, одинаково: В = 13 (обозначены красным), Г = 6 (обозначены зеленым), а многоугольники имеют разную форму (см. рис.6,7). Площади этих  многоугольников легко и быстро вычислить по формуле Пика: S= S = 13+6/2-1= 15 ед².

 

                         Рис.6                                             рис.7

Работая с листочком в клеточку, используя метод узлов, я восхищаюсь тем, как за полминуты можно найти площадь самого замысловатого многоугольника.  Из этих опытов по вычислению площадей многоугольников я сделала вывод, что вычислять площадь по формуле Пика не только быстро, но и легко.

Конечно, есть и другие способы нахождения площади фигур на клетчатой бумаге. Например, можно просто считать количество целых клеток внутри фигуры, а из оставшихся кусочков «складывать» целые клетки, но это довольно долго и трудно, особенно если фигура сложной или «неудобной» формы, которые встречаются в материалах ЕГЭ.

И есть такие фигуры на клетчатой бумаге, для которых формулы геометрии применить очень трудно, да и затратно по времени.  А на экзамене по математике каждая минута дорога.

     

           Рис.8

Формула Пика – это настоящее спасение для тех учеников, которые так и не смогли выучить формулы для вычисления площадей и для тех, кто так и не уяснил до конца, как выполнить разбиение фигуры или дополнительное построение, маленькая формула заменит целый комплект формул и будет работать «одна за всех».

4.    Задачи с практическим содержанием

Поможет нам формула Пика и для решения геометрических задач с практическим содержанием, когда объект изображен на клетчатой бумаге в масштабе.

Задача 6.  Лес – санитар воздуха. Один гектар еловых насаждений может задерживать в год до 32 т пыли, сосновых -  до 35 т, вяза – до 43 т, дуба – до 50 т. Посчитайте, сколько тонн пыли задержит ельник за 5 лет.    (1 см – 200 м) (рис. 9).

Найдём S площадь четырёхугольника, изображённого на клетчатой бумаге по формуле Пика:  S = В +  – 1

В = 8, Г = 7.     

S = 8 + 7/2 – 1 = 10,5 см²

Т.к. 1 см² - 200² м², то

                  Рис.9

Sмассива = 40000 · 10,5 = 420 000 м². Так как в 1 га=10000 м², следовательно, S = 42 га. В год 42 га еловых насаждений могут удерживать до 32*42 = 1344т. пыли, значит за 5 лет до – 6720т.                            Ответ: 6720 т.

Незаменим метод узлов и при решении занимательных задач.

Задача 7.  Середины сторон квадрата соединены отрезками с вершинами так, как это показано на рис. 10. Найдите отношение площади квадрата к площади восьмиугольника, образованного проведенными отрезками.

 Так как нам нужно найти отношение площадей, то размеры квадрата роли не играют.  Поэтому рассмотрим квадрат, расположенный на целочисленной решетке размером 12x12. Площадь квадрата равна 144.

             Рис.10

Из формулы Пика легко следует, что площадь восьмиугольника равна 21+8/2-1=24. Поэтому искомое отношение площадей равно 6.  Вычисление площади фигуры по формуле Пика обеспечит быстрое решение по сравнению с вычислением площади восьмиугольника по формулам планиметрии.

Таким образом, эта замечательная формула является универсальной для вычисления площадей (если вершины многоугольника находятся в узлах сетки), т.е. ее можно использовать для любой фигуры.

5.     Исследование и эксперимент

5.1.          Исследование площадей многоугольников, изображенных на клетчатой бумаге

Вычислять площади многоугольников, расположенных на клетках, можно разными способами. Выбор метода как уже отмечалось выше, зависит от формы фигур.

Но я задумалась, а можно ли доверять теореме Пика и получаются ли одинаковые результаты при вычислении площадей разными способами? Чтобы не подвергать формулу Пика сомнению, я решила провести исследование: найти площади многоугольников по формуле Пика и обычным способом, применяя формулы геометрии и способы дополнения или разбиения на части. Вот такие результаты я получила:

Задача 8. Найдём площадь многоугольника (см. рис.11,12).  Если клетки размером 1х1см.

Рис.11	1.     S1 =  ∙ 6 ∙ 3 = 9 см2 2.     S2 = 2 ∙ 3 = 6 см2 3.     S3 =  ∙ 2 ∙ 3 = 3 см2 4.     S4 =  ∙ 2 ∙ 9 = 9 см2 5.     S5 =  ∙ 2 ∙ 5 = 5 см2 6.     S6 =  ∙ 3 ∙ 3 = 4,5 см2 7.     Sф = SABCD – (S1 + S2 + S3 + S4 + S5 + S6 ) =51,5 см2                                    по формуле геометрии
Рис.12	По формуле Пика: 1.     В = 48, Г = 9 2.     3.     S=48 + 4, 5 - 1=51,5 см2

Результаты одинаковы, формула Пика справедлива для этого многоугольника. Таким образом, если находить площадь данного многоугольника по формулам геометрии и по формуле Пика и сравнить результаты, то видно, что площадь фигуры, вычисленная по формуле Пика равна площади фигуры, вычисленной по выведенной формуле геометрии.

Задача 9. На клетчатой бумаге изображен четырехугольник. Найдём его площадь (см. рис.13), если клетки размером 1х1см.

Чертеж	По формуле геометрии	По формуле Пика
Рис.13	S1=b=1/273,5 S2=b=1/272=7 S3=b=1/241=2 S4=b=1/251=2,5 S5=a²=1²=1 Sкв.= a²=7²=49 S=49-3,5-7-2-2,5-1=33см²	Г=4; В=32. S=32+-1=33см²

Мы снова получили одинаковые результаты.

Задача 10. На клетчатой бумаге изображен четырехугольник. Найдём его площадь (см. рис.14,15), если клетки размером 1х1см.

Чертеж	По формуле геометрии	По формуле Пика
Рис.14	S1=b=1/236=9 S2=b=1/266=18 S3=b=1/236=9 S=9+18+9=36 см² Площадь фигуры как сумма площадей ее частей	Г=18; В=28. S=28+-1=36см²

2       способ

Чертеж	По формуле геометрии	По формуле Пика
Рис.15	S1=b=1/233=4,5 S2=b=1/266=18 S3=b=1/233=4,5 S4=b=1/266=18 Sкв.=9²=81см² S=81-4,5-18-4,5-18=36см² Площадь фигуры как часть площади прямоугольника	Г=18; В=28. S=28+-1=36см²

Результаты одинаковы, наше исследование подтвердило гипотезу, достигло цели. Рассматривая задачи на нахождение площадей многоугольников, изображенных на клетчатой бумаге, по формулам геометрии и по формуле Пика и сравнивая результаты в таблицах, я показала справедливость формулы Пика и пришла к выводу, что площадь фигуры, вычисленная методом узлов равна площади фигуры, вычисленной по выведенной формуле геометрии.

Таким образом, можно сделать вывод -  формуле Пика можно доверять! Она дает точный результат. Ее можно применять для упрощения решения и экономичности времени. Итак, моя гипотеза оказалась верной.

Ученику, умеющему считать площади по формуле Пика достаточно просто выполнить несложные вычислительные операции с узлами и вписать в бланк на экзамене полученный ответ. Удобно. Рационально и тогда, когда фигура может быть самой «причудливой» формы. Кто узнает, решил ли он задачу так, как учат в школе или использовал метод узлов! Маленькая формула Пика заменяет целый ряд формул, необходимых для решения таких задач. Формула Пика будет работать «одна за всех…»!

5.2. Результаты практического эксперимента

Учащимся 7 и 11 классов было предложено принять участие в апробации формулы Пика. Было проведено анкетирование среди семиклассников и учащихся 11 класса. Всего в апробации участвовало 78 учеников.

На вопрос «Формула Пика. По этой формуле можно вычислить …» 71 человек ответили, что не знают, и только 7 человек предположили, что формула нужна для вычисления площади (см. рис. 16).

После знакомства с формулой ученикам было предложено найти площадь многоугольника с помощью формул геометрии, способом, ранее изученным, и по формуле Пика. В процессе работы убедились, что значения, полученные разными способами, не расходятся. Это подтверждает гипотезу.

       Рис.16

Преимущества формулы Пика отметили 70 человек, формула проста в запоминании 72 человек, и только 5 человек остались «равнодушны»; 16 человек отметили, что нужна практика, но никто не отказался от использования формулы Пика (см. рис.17).

           Рис.17

Для отработки навыков работы с формулой Пика были подобраны задачи (приложение 1), которые позволили учащимся проверить свое умение вычислять площади фигур на клеточной бумаге, проверить правильность своего ответа и исправить ошибку, если она была допущена. В процессе исследования я провела практический эксперимент по решению задач на нахождение площади многоугольника, изображенного на клетчатой бумаге «Вычисление площади многоугольника по формуле Пика».  За 30 минут практической работы учащиеся выполнили большое количество заданий. Каждый учащийся получил памятку «Формула Пика» (приложение 2).    

Анализ решений показал, что применение формулы Пика дает возможность решать задачи на нахождение площади многоугольника, изображенного на клетчатой бумаге быстро и легко, для этого нужно знать всего лишь одну формулу (приложение 3, 4). Практический эксперимент, который я провела в этих классах, показал, что учащимся понравился альтернативный способ нахождения площади многоугольника.

Результаты работы представлены в таблице (см. рис.18, 19).

класс	Количество учеников	«5»	«4»	«3»	«2»
7а	28	5	16	7	0
7б	26	4	14	8	0
7в	9	2	4	3	0
11	15	5	7	3	0

  

                Рис. 18                                                               Рис. 19

Решения задач на клетчатой бумаге оригинальны, красивы и часто решаются проще и быстрее, чем по формулам. Данный вид задач входит в один из разделов части В единого государственного экзамена по математике. С помощью этой формулы можно решить большой класс задач, предлагаемых на экзаменах. Маленькая формула Пика заменит целый комплект формул, будет работать «одна за всех…». Такой способ нахождения площадей многоугольников, изображенных на клетчатой бумаге, учащиеся будут использовать на экзамене для решения задач, как альтернативный способ нахождения площади геометрической фигуры, а также для самопроверки.

Заключение

В результате моего исследования я изучила большое количество учебной литературы и интернет – ресурсов. Я расширила свои знания о решении задач на нахождение площадей многоугольников, нарисованных на клетчатой бумаге, убедилась в их многообразии, сопоставила различные способы вычисления, представила основные методы нахождения площадей многоугольников. Подробно рассмотрена и проиллюстрирована примерами формула Пика, выходящая за рамки школьной программы. Проведено анкетирование учащихся. При выполнении работы были решены задачи на нахождение площади многоугольников, изображенных на клетчатой бумаге двумя способами: геометрическим и с помощью формулы Пика. Любой из этих способов применим для решения задач по математике.  Но вычисления по формуле Пика имеет перед другими способами ряд преимуществ. Формула проста для запоминания, удобна в применении.  Многоугольник, площадь которого необходимо вычислить, может быть любой, даже самой «неудобной» формы.

Моя гипотеза подтвердилась. А тем выпускникам, которые недостаточно знают формулы площадей фигур или имеют проблемы с геометрией, формула Пика будет работать «одна за всех».  Для тех, кто умеет находить площадь многоугольника геометрическим способом, эта замечательная формула     послужит дополнительным инструментом, с помощью которого можно будет решить задачу еще и методом узлов (и тем самым проверить правильность своего предыдущего решения, сверив полученные ответы). 

 Я пришла к выводу, что эта тема достаточно многогранна, поэтому решила продолжить работу в этом направлении. Эти умения мне также пригодятся в дальнейшем.

Практическая направленность: данный материал можно использовать на уроках математики. Способы вычисления площадей многоугольников, в том числе с помощью формулы Пика, позволяют успешному изучению геометрии в старших классах.

Библиографический список

1. Смирнова И. М., Смирнов В. А. Геометрические задачи с практическим содержанием. – М.: Чистые пруды, 2010.
2. Мальцев Д.А., Мальцев А.А., Мальцева Л.И. Математика. ЕГЭ 2015. Книга II. Профильный уровень. – М.: Народное образование, 2015.

Интернет-ресурсы

3. Жарковская Н. М., Рисс Е. А. Геометрия клетчатой бумаги. Формула Пика // Математика, 2009, № 17. – [Электронный ресурс] – URL:  http://mat.1september.ru/2009/23/gazeta_23_09.pdf
4. ФИПИ. Открытый банк заданий ЕГЭ 2015 по математике. – [Электронный ресурс] – URL: http://www.fipi.ru/content/otkrytyy-bank-zadaniy-ege
5. Википедия. Формула Пика. – [Электронный ресурс] – URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D4%EE%F0%EC%F3%EB%E0_%CF%E8%EA%E0
6. Википедия. Пик. Георг. – [Электронный ресурс] – URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B8%D0%BA,_%D0%93%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B3
7. Математика? Легко!!! Площади фигур. – [Электронный ресурс] – URL: http://matematikalegko.ru/category/plocshadi-figur

Приложение 1

Задачи. На клетчатой бумаге изображен многоугольник. Найдите его площадь, если клетки размером 1х1см.

За­да­ние 1 № 27548	По формуле геометрии	По формуле Пика
За­да­ние 2 № 27549	По формуле геометрии	По формуле Пика
За­да­ние 3 № 27551	По формуле геометрии	По формуле Пика
За­да­ние 4 № 244987	По формуле геометрии	По формуле Пика
За­да­ние 5 № 27554	По формуле геометрии	По формуле Пика
За­да­ние 6  № 27555	По формуле геометрии	По формуле Пика
За­да­ние 7 № 244982	По формуле геометрии	По формуле Пика

Приложение 2

Австрийский математик Георг Александр Пик. Широкую известность получила открытая им в 1899 году теорема для расчёта площади многоугольника. В Германии эта теорема включена в школьные учебники.

Памятка «Теорема Пика»

     

Задача	По формуле геометрии	По формуле Пика
	S1=b=1/273,5 S2=b=1/272=7 S3=b=1/241=2 S4=b=1/251=2,5 S5=a²=1²=1 Sкв.= a²=7²=49 S=49-3,5-7-2-2,5-1=33см²	Г=4; В=32. S=32+-1=33см²

                                                                                                             Приложение 3

Приложение 4