Методическая разработка потеме Уравнения и системы уравнений

Уравнения и системы уравнений. Алгебра 9.

1. Целое уравнение и его корни.

2. Уравнения, приводимые к квадратным.

3. Графический способ решения систем уравнений.

4. Решение систем уравнений второй степени.

5. Решение задач с помощью систем уравнений второй степени.

1. Целое уравнение и его корни.

Степенью уравнения вида Р(х) = 0, где Р(х) – многочлен стандартного вида, называют степень многочлена Р(х).

Примеры.

1)Уравнение , как и многочлен стандартного вида, записанный в левой его части, имеет степень 4.

2) В уравнении - раскроем скобки, перенесем все члены в левую часть, приведем подобные и получим - уравнение (а, значит и исходное) – уравнение 6 степени.

3) Определить степень уравнения:

а) ; б) ; в) .

Уравнение п-й степени имеет не более п корней.

Например:

1. уравнение первой степени ах + в = 0 (а ≠ 0) имеет один корень х = - в/a.

2. уравнение второй степени (а ≠ 0) :

а) при D > 0 имеет два корня ;

б) при D = 0 имеет один корень х = - в/а;

в) при D < 0 не имеет ни одного корня.

Примеры. 1. При каком значении т уравнение :

а) имеет два корня?

Квадратное уравнение имеет два корня, когда D > 0 ; D =

при т < - 6, т > 6.

б) имеет один корень?

Квадратное уравнение имеет один корень, когда D = 0,

D = , 36 – 4 т = 0, т = 9.

в) не имеет корней?

Квадратное уравнение не имеет корней, если D < 0 ,

D = , 16 при - 2,5 < т < 2,5.

2. Решим уравнение третьей степени: с помощью разложения на множители . .

х = 5; х = 2; х = - 2.

3. Решим графически уравнение .

Запишем данное уравнение в виде .

В одной системе координат построим графики функций

у = и у = 2х + 4. Графики пересекаются в одной

точке (2; 8). Абсцисса точки пересечения и является

корнем исходного уравнения. Ответ: х = 2.

2.Уравнения, приводимые к квадратным.

Уравнение вида (а ≠ 0) называется биквадратным.

После введения новой переменной t = оно решается как квадратное

уравнение .

Решим уравнения с помощью введения новой переменной (методом замены переменной).

1) . Пусть = t, .

Решим уравнение , D = 64, t = 5; t = - 3.

= 5, откуда х = , х = - ;

= - 3 - уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: х = , х = - ;

2) .

- биквадратное уравнение относительно (х + 3).

Пусть , тогда , получим ,

а) t =2, x = - 3; x = - - 3;

б) t = 1, , x +3 = ± 1, x = - 2, x = - 4.

Ответ: x = - 3; x = - - 3; x = - 2, x = - 4.

3) .

Пусть , тогда относительно t исходное уравнение запишется так,

t(t + 2) = 3, , t = - 3; t = 1.

Найдем значение переменной у:

а) , б)

D < 0, ур-е не имеет корней. D = 8, у = - 1 ± .

Ответ: у = - 1 - ; у = - 1 + .

Решите самостоятельно:

1) ; 2) ; 3)

3. Графический способ решения систем уравнений.

Графиком уравнения с двумя переменными называется множество точек плоскости, координаты которых обращают уравнение в верное равенство.

Примеры.

1. Графиком уравнения ах + вх +с = 0 ( а ≠ 0, в ≠ 0) является прямая.

2. Графиком уравнения (а ≠ 0) является парабола.

3. Графиком уравнения (R > 0) является окружность с центром в начале координат и радиусом R.

4. Графиком уравнения xy = k является гипербола.

Примеры.

Решим графически систему уравнений:

1) В одной системе координат построим

графики уравнений и .

Координаты точек пересечения графиков дают четыре

решения системы: х ≈ 1,0 у ≈ -3,8;

х ≈ -1,0 у ≈ -3,8;

х ≈ 2,9 у ≈ 2,6;

х ≈ - 2,9 у ≈ 2,6.

2) В одной системе координат построим

графики уравнений ху = 6 и 2 х – у = 2,

т. е. у = 6/x и у = 2х - 2.

Координаты точек пересечения графиков дают два решения

системы:

х ≈ 2,3 у ≈ 2,6;

х ≈ -1,3 у ≈ -4,6.

4. Решение систем уравнений второй степени.

Решим способом подстановки систему уравнений:

1)

а) х+7=5у; х = 5у – 7 - подставим вместо х в первое уравнение

б) в) г)

, у = 2, у = 3.

Ответ: ( 3; 2); ( 8; 3).

2)

а) х = 3 – 2у, б) в) у = 2, то х = - 1;

у = , x = 1

7, D = 100,

у = 2, у = 4/7,

Ответ: ( - 1; 2), (1 ; ).

Решим способом сложения систему уравнений:

3) а) б) х = 5; г) х = -5

 ,

2 3 3

, у = ±2. , у = ±2.

х = -5; х = 5.

Ответ: (5; 2), (5; -2), (-5; 2), (-5; -2).

Решить самостоятельно:

1) 2) 3) 4) 5)

5. Решение задач с помощью систем уравнений второй степени.

Одна из сторон прямоугольника на 14 см больше другой. Найдем стороны прямоугольника, если его диагональ равна 26 см.

Решение.

Обозначим длину меньшей стороны прямоугольника х см, большей – у см. Из условия задачи имеем следующую систему: Из первого уравнения получаем

у = 14 + х. Подставим это выражение вместо у во второе уравнение:

D = 196+960=1156, x = ( -14 ± 34)/2, x = 10, x = - 24 – не подходит по условию задачи.

х = 10, у = 14 + 10 = 24.

Ответ: 10 см и 24 см.

Периметр прямоугольного треугольника равен 30 см, а его гипотенуза равна 13 см. Найти площадь этого треугольника.

Контрольная работа.

1)Решить биквадратное уравнение .

2) Решить графически систему уравнений .

3) Решить способом подстановки систему уравнений .

4) Из двух пунктов, расстояние между которыми равно 420 км, одновременно навстречу друг другу выехали два автомобиля и встретились через 3ч. На весь путь между двумя пунктами один из автомобилей потратил на 1ч 45 мин больше, чем другой. Найти скорость каждого автомобиля.

Решение.

1) .

Пусть , тогда

;

а) = 1, откуда х = ±1;

б) = .

Ответ: х = 1; х = -1; х = 1/3, x = - 1/3.

2)

В одной системе координат строим графики функций:

график первого уравнения – окружность с центром в

начале координат и радиусом 3, графиком второго

уравнения является гипербола у = 3/x.

Ответ: х ≈ -2,8; у ≈ 1,1;

х ≈ -1,1; у ≈ -2,8;

х ≈ 1,1; у ≈ 2,8;

х ≈ 2,8; у ≈ 1,1.

3)

а) у = 2х-1; б) в) х = 0, у = - 1;

х = 3, у = 5.

,

х (х +3) = 0

х = 0, х = 3,

Ответ: ( 0; - 1), ( 3; 5).

4) Из двух пунктов, расстояние между которыми равно 420 км, одновременно навстречу друг другу выехали два автомобиля и встретились через 3ч. На весь путь между двумя пунктами один из автомобилей потратил на 1ч 45 мин больше, чем другой. Найти скорость каждого автомобиля.

Пусть х км/ч – скорость первого автомобиля,

у км/ч – скорость второго автомобиля, тогда

( х + у) км/ч – скорость их сближения.

1 ч 45 мин = 1 ч =1ч.

часов и часов – время на преодоление всего пути между двумя пунктами первым и вторым автомобилями соответственно.

240(140 – х – х) = х(140 – х),

33600 – 480х = 140х -

- 620х + 33600 = 0

D = 620∙ 620 – 4 ∙ 33600 = 384400 – 134 400= 25000

x = (620 ± 500)/2, x = 60, x = 560 – не подходит по смыслу задачи.

у = 140 – 60 = 80.

Ответ: 60 км/ч, 80 км/ч.

7

Краткое описание документа:

1. Уравнения и системы уравнений:
   
2. 1.Целое уравнение и его корни.
3. 2.Уравнения, приводимые к квадратным.
4. 3.Графический способ решения систем уравнений.
5. 4.Решение систем уравнений второй степени.
6. 5.Решение задач с помощью систем уравнений второй степени.
7. 6. Контрольная работа.

К каждому пункту темы подобран теоретический материал с примерами и решениями к ним.