Математическое кафе « Встречи »
Тема урока : Методы решения неравенств
второй степени с одной переменной.
Цель урока: сравнить метод интервалов с другими методами
решения неравенств; выявить его характерные особенности; развивать умение сравнивать,
анализировать, обобщать; научить детей структурировать
полученные знания.
В
результате ученик:
-
знает алгоритмы решений неравенств второй степени
с одной переменной различными методами, (предметные УУД);
-
умеет выдвигать гипотезы, опровергать или обосновывать их; осознаёт связи и
отношения в объектах изучения (- метапредметные
УУД) ;
- имеет возможность овладеть
учебным материалом в общении со сверстниками, испытать «ситуацию успеха»;
понимать смысл поставленной задачи; выстраивать аргументацию, приводить примеры
(личностные УУД).
Оборудование : кластер, сравнительная
таблица, карточки.
Тип урока: урок общеметодологической
направленности.
Ход урока.
Чтобы
избегать ошибок, нужно накапливать опыт.
Чтобы его накапливать, приходится иногда совершать ошибки.
Закон Паркинсона.
1. Организационный
момент.
Ученица
: Сегодня мы с вами встречаемся в праздничном математическом
кафе. У нас в гостях ……………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………..
А встретились мы , чтобы отпраздновать важный этап нашей
школьной жизни – окончание изучения темы «Неравенства второй степени с одной
переменной ».
Ученик: Скажите
мне, какая ж алгебра без них?
О тайне всех неравенств, вот о чем мой стих.
Неравенства
сложны, без правил не решить,
Всё ж алгоритмы их сумели все раскрыть!
Об этом и поведаем сегодня мы,
Вперёд, и сразу к делу, о светлые умы!
Ученица : Наше
кафе посетили четыре группы девятиклассников, которые на протяжении 8 часов
изучали особенности решения различных видов неравенств : линейных, неравенств
второй степени, двойных, неравенств высших степеней. Они пришли в кафе не столько
отдохнуть, сколько себя показать и на других посмотреть. Приветствуем всех
присутствующих.
Ученик : А
теперь передаю слово хозяйке замечательного математического кафе Антоновой Ольге
Измайловне.
Учитель :
Итак, поговорим сегодня о методах решения неравенств. Наша с вами задача – обобщить
понятие неравенства, сравнить все известные вам методы решения неравенств и
найти наиболее универсальный.
2. Презентация неравенств и способов их
решения.
Учитель : Начнём
нашу встречу изысканным «Информационным коктейлем».
( каждый столик берёт лежащий на блюде пластиковый стаканчик, в
котором лежит листочек с заданием «Презентовать…) Приём
«Покопаемся в памяти» Слово
первому столику.
Ученик1.Мы готовы презентовать линейные неравенства.
Линейные неравенства - это неравенства вида кх + в > 0 (
<, ≥, ≤ ),
где к, в – числа, х – переменная.
Алгоритм решения:
1. Раскрываю скобки ( если нужно).
2.Переношу неизвестные – налево, известные – направо. Нахожу
значения переменной х.
3.Строю числовой луч, заштриховываю решения.
Например: 2(х-3) + 5(1-х) > - 19
2х
– 6 + 5 – 5х > - 19,
2х – 5х- > - 19 + 6 – 5,
-
3х
> - 18,
х < 6.
.
6
Ответ:
х є
[-∞;6].
Ученик2.
Сравнивать числа люди умели много тысячелетий назад. Но линейные неравенства
можно было встретить уже в учебнике « Начала» древнегреческого математика Евклида.
Только вот отметка знака неравенства была другой. Доказательство неравенств предлагалось
лишь геометрическим путем.
Учитель :
Слово второму столику.
Ученик 1.
Мы представляем алгоритм решения неравенств второй степени с одной переменной
методом параболы. Неравенства второй степени - это неравенства вида
ах2 +вх + с >0
(<, ≥, ≤), где а, в, с – числа, х – переменная.
Чаще всего квадратные
неравенства удобно решать методом параболы.
Алгоритм решения:
1.
Определить направление веток параболы.
2. Найти
нули функции. Для этого необходимо решить уравнение
ах2
+вх + с = 0.
3. Схематически
построить график, заштриховать решения.
4. Ответ.
Например:
х2 + 6х – 7 ≤ 0
1.
График
– парабола, ветви – вверх, так как первый коэффициент а = 1.
2.
Пусть
х2 + 6х – 7 = 0, тогда D = 64, х1 = ( - 6 + 8): 2 = 1,
Х2 = ( - 6 - 8): 2 = - 7.
Ответ:
х є
[- 7; 1].
Ученик 2.
Знаки > и < впервые ввел английский математик Том Гарриет в 1631 году, а
знаки ≤, ≥ введены были в уже 18 веке. А вот квадратные неравенства впервые решил
узбекский математик Мухаммед аль Хорезми в 9 веке. Но решал их он только для
положительных чисел.
Учитель.
Подошла очередь столика 3.
Ученик.
Мы представляем решение неравенств методом интервалов. Этот метод интересен
тем, что им можно решать неравенства любой степени, а также неравенства вида
Р(х)∙G (х) ≥0, Р(х)∙G (х) ≤0, Р (х)/ G (х) ≥0, и. т.д.
Алгоритм решения.
1. Найти нули функции и
точки, в которых функция не существует.
2.Изобразить числовой луч,
расставить на интервалах знаки +, -.
3. Заштриховать решения.
4. Ответ.
Пример:
х(х-7)(х+9)>0
х=0, х=7, х=9.
f(1)=
1(1-7)(1+9) =1(-6)10= - 60
Ответ :
(-9 ; 0)U ( 7,∞).
Ученик
1 Методом, напоминающим метод интервалов, пользовался еще в ІІІ
веке древнегреческий математик Диофант. Решения неравенств
третьей степени и высших степеней связаны с именем математика Петра Чебышева
(19 ст.).
Учитель.
Столик 4 представляет алгоритм решения двойных неравенств.
Ученик2 Двойное неравенство имеет
вид: с < кх+в < d. Для его решения необходимо составить и решить систему линейных
неравенств
кх+в > с, ( ≥, ≤ ),
кх+в < d.
Алгоритм решения.
1. Выразить х из
обоих неравенств.
2. Изобразить числовой луч.
Решения 1 – го неравенства – сверху, 2-го неравенства - снизу.
3. Показать общее решение.
4. Ответ.
Ученик 1
Системы линейных уравнений китайские математики умели решать около 2000 лет
назад, а системы неравенств сумели решить лишь в 4 – веке.
Учитель:
Спасибо . Думаю, прослушав столь ценную информацию, вы
уже готовы составить кластер «Неравенства».
На работу даётся три минуты.
3х-7<
9
5х-3 ≥ 17
5х-3 ≤ 40
2(х+3)+4(х-2)
>7
17 ≤ 5х-3 ≤ 40
х(х+9)(х-2) ≤ 0
х2-2х-7≥0
х2-9≤0
≥ 0
х2 <3х+9
(х-3)(х+7) >0
Учитель:
А теперь я предлагаю на практике выяснить наиболее универсальный метод для этой
группы неравенств. Каждый столик выясняет, какими именно способами можно решить
данное неравенство (+) и выбирает наиболее рациональный способ (++). Приём
«Концептуальная таблица»
|
№
|
Неравенство
|
Линейное неравенство
|
Метод
параболы
|
Система
неравенств
|
Метод
интервалов
|
|
1.
|
2х – 8 > 0
|
+ +
|
|
|
+
|
|
2.
|
х2 – 4х – 5 < 0
|
─
|
+ +
|
|
+
|
|
3.
|
х-2
─── ≥ 0
х+3
|
─
|
+
|
+
|
+ +
|
|
4.
|
х3 – 4х ≤ 0
|
─
|
|
+
|
+ +
|
|
|
Вместе:
|
1
|
2
|
2
|
4
|
На выполнение неравенств
отводится 7 минут. Решение - на доску!
Учитель.
Все неравенства решены. Подсчитаем частоту применения каждого метода. Какой
можно сделать вывод ?
Ученики.
Самый универсальный — метод интервалов. Он позволяет решить неравенства разных
степеней.
3.
Учитель. Каждый столик приглашается к участию в игре «Математический
корректор.»
Вам предлагается полное
решение двух неравенств, причем первое неравенство решено не тем же методом,
что и второе. Каждый этап решения расположен на отдельной части листа. Ваша
задача - восстановить поэтапно решение каждого неравенства от начала до конца.
На восстановление этапов, то есть на математическую коррекцию, вам дается 3
минуты.
Вариант –
1 Вариант –
2
|
х2 + 5х – 20 ≥ 4
|
(х2 – 4)(х+3)2 < 0
|
х2+ 4х +6 > 3
|
(у2+ у)(у – 6 ) ≥ 0
|
|
х2 + 5х – 24 ≥ 0
|
(х – 2)(х +2)(х+3)2<0
|
х2+ 4х + 3 > 0
|
у(у+1)(у – 6) ≥ 0
|
|
График-парабола,
ветви – вверх.
|
х=2, х= - 2, х= - 3.
|
График-парабола,
ветви – вверх.
|
у=0, у= - 1, у=6.
|
|
Пусть
х2 + 5х – 24=0
|
 ,
, ,
-3 -2 2
|
Пусть
х2+ 4х + 3 =0
|
 ,
, ,
-1 0 6
|
|
Д= 52 +424 = 121
|
f(-4) =
12, f(0) = 12
|
Д= 42 - 4∙3 = 4
|
f(1) = -
10
|
|
х1,2 = (-5+2):2
|
f(3) =
180
|
Х1,2=(-4+2):2
|
Ответ:
х  [-1;0]U[6;∞)
|
|
х1=3, х2= - 8
|
Ответ: х (-
2;2)
|
х1= - 1; х2= - 3.
|
|
|
 .
.
-8 3
|
|
 .
.
-3 -1
|
|
|
Ответ:
х (-∞; 8)U(1;∞)
|
|
Ответ:
х (-∞; -3)U(-1;∞)
|
|
Учитель:
А теперь наступило время немного отдохнуть. Всего 5 минут. К тому
же у меня для вас есть небольшой сюрприз.
Песенка про пять минут.
1. Я
вам песенку спою про пять минут.
Математика, скажу вам, тяжкий труд.
Уравнения
и леммы, аксиомы, теоремы,
И
неравенства и там, и тут!
Припев:
Пять минут, пять минут отдохните от работы.
Пять минут, пять минут все оставьте вы заботы.
Поднимите же глаза, улыбнитесь вы друг другу,
На уроке на таком отдохнуть всем очень нужно.
Пять минут, пять минут улыбнитесь вы друг другу,
Всем вам отдых очень нужен!
2. У
вас 20 на неравенства минут,
Одолеете, конечно, этот труд.
Не страшны они, родные, квадратичные, простые-
Ведь решенья методы – вот тут!
Припев:
Новый год настаёт, ну а все ещё решают.
Доказать нам хотят, что неравенства все знают.
Поднимите же глаза, улыбнитесь вы друг другу,
На уроке на таком отдохнуть всем очень нужно.
Пять минут, пять минут улыбнитесь вы друг другу,
Всем вам отдых очень нужен!
4.Учитель:
Спасибо, Маша, за приятные минуты отдыха. Но расслабляться слишком серьёзно
нам ещё рановато. Итак, объявляю «Аукцион» и предлагаю каждому столику
решить по три неравенства наиболее рациональным способом. Вы
получаете карточку с тремя пронумерованными неравенствами. Правильно решив
неравенство, вы покупаете себе право раскрыть одну картинку, которая имеет тот
же самый номер, что и неравенство.
Столик1
1.
Высота
над землeй подброшенного вверх мяча меняется по закону h=1,2+9t-5t 2, где h — высота в метрах, t —
время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет
находиться на высоте не менее 4 метров? Ответ: 1
2.
(х
+ 1)(х - 4)2(х + 5) < 0
3.
Столик2
4.
Высота
над землeй подброшенного вверх мяча меняется по закону h=1,6+13t-5t 2, где h — высота в метрах, t —
время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет
находиться на высоте не менее 4 метров? Ответ: 2,2
5.
(х + 4)(х + 2)(х - 2)2 > 0
6.
Столик3
7.
Высота
над землeй подброшенного вверх мяча меняется по закону h=1,2+10t-5t 2, , где h — высота в
метрах, t — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько
секунд мяч будет находиться на высоте не менее 3 метров? Ответ: 1,6
8.
У
= 
;
9.
Столик4
10.Высота
над землeй подброшенного вверх мяча меняется по закону
h=1+12t-5t 2, , где h — высота в
метрах, t — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько
секунд мяч будет находиться на высоте не менее 5 метров? Ответ: 1,6
11.
У
=
12.
Каждый
столик защищает один из решённых примеров. Защищаются неравенства 1,5,9,11.
(
открываются буквы)
1 2
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
С Н О
В Ы М Г О Д О М !
5. Итоги
урока.
Учитель: Вот мы и
завершили свою работу. Встреча в предновогоднем математическом кафе была
интересной и плодотворной. Пусть прошло не всё гладко, были ошибки, но чтобы избегать ошибок, нужно накапливать опыт. А чтобы
его накапливать, приходится иногда совершать ошибки.
Таков закон Паркинсона. Значит,
всё было хорошо. Спасибо за урок, дети.
С наступающим Новым годом вас и всех присутствующих взрослых.
А насколько вам было комфортно на уроке, покажет «Дерево настроения».
|
Задание
|
Количество баллов
|
Самооценка
|
|
Информационный коктейль
|
|
|
|
Кластер
|
|
|
Самый универсальный
|
|
|
Математический корректор
|
|
|
Аукцион
|
|
Д.З.
Подготовиться к контрольной работе.
Решить № 358(а), 359(б), 361(б), 389(в), 393(д), 391*.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.