Методическая разработка урока (проект) для 8 класса «Исследование корней квадратных уравнении. Решение квадратных уравнений подбором»

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«СРЕДНЯЯ ШКОЛА №8» ГОРОДА СМОЛЕНСКА

Методическая разработка урока

«Исследование корней квадратных уравнении. Решение квадратных уравнений подбором»

разработан учителем математики

Нефедовой Е.В.

2016 г.

Тема урока: Исследование корней квадратных уравнении. Решение квадратных уравнений подбором. Дидактический материал

1. Теорема Виета. Теорема, обратная теореме Виета

1. Определение квадратного уравнения

Квадратным уравнением называется уравнение вида , где -переменная, -некоторые числа.

2. Приведенное квадратное уравнение.

Обозначение:

Уравнение вида называется приведенным квадратным

уравнением, где — некоторые числа.

3. Зависимость между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения выражает, как известно, теорема Виета, получившая свое название по имени знаменитого французского математика Франсуа Виета:

Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Пусть корни квадратного уравнения .

Тогда

Дано: ,

Доказать:

Доказательство:

1. По условию: . Значит, уравнение можно записать в виде:

Подставим вместо число , получим:

Значит, - корень уравнения.

2. В некоторых учебниках оба утверждения — прямое и обратное

формулированы в одном:

Для того, чтобы были корнями уравнения , необходимо и достаточно выполнения равенств: ; . Или в случае : ; .

4. На теореме Виета основан метод решения некоторых приведенных квадратных уравнений подбором. При этом можно использовать (легче запомнить) зарифмованную теорему Виета:

Познакомили поэта

С теоремою Виета.

Оба корня он сложил —

получил.

А корней произведенье

Дает из уравненья.

5. Примеры

, уравнение имеет два различных корня.

По условию > 0 ( = 20), значит корни имеют одинаковые знаки. Их сумма равна +9, значит оба корня положительные. Начинаем подбирать с произведения, 20 можно разложить на множители следующими способами:

. Условию удовлетворяет последняя пара.

Значит,

Удобно записывать решение следующим образом:

, уравнение имеет два различных корня.

1. , положительные

2. , одного знака

, уравнение имеет два различных корня.

1. , отрицательные

2. , одного знака

6. Исследуем, при каких значениях квадратное уравнение имеет корни, и будем использовать результат при решении уравнений подбором.

Очевидно, что . Значит, в случае, когда , дискриминант можно не находить.

Например.

( модуль отрицательного больше положительного)

, разных знаков

, уравнение имеет два различных знака

, разных знаков

Упражнения для самостоятельного решения

21. 2. Рассмотрим квадратное уравнение , в котором сумма коэффициентов равна 0, т.е. . В этом случае уравнение имеет корень, равный 1. Докажем это.

22. Дано:

24. Доказать:

25. Доказательство:

26. Воспользуемся определением корня уравнения. Подставив в уравнение

27. вместо число 1, получим: , т.е. . По условию, полученное равенство является верным. Таким образом, сталкиваясь с квадратным уравнением, решение которого требует громоздких вычислений, полезно выяснить, не выполняется ли равенство . Это свойство помогает также быстро решать квадратные уравнения

28. Например.

29. Ответ: 1; 0,5

30. Ответ: 1;

31. Ответ: 1;

32. В случае приведенного квадратного уравнения полезно запомнить следующую закономерность:

35. т.е. числа и последовательные по модулю числа

42. В этом случае:

43. Вывод: если в приведенном квадратном уравнении числа и последовательные по модулю, то

44. Упражнения для самостоятельного решения

2. Рассмотрим случай, когда выполняется следующее условие для корней квадратного уравнения: . В этом случае квадратное уравнение имеет корень, равный (—1). Докажем это.

9. Дано:

11. Доказать:

12. Доказательство:

13. Подставим в уравнение вместо число (-1). Получим:
    - верно по условию. Значит .

7. Примеры

16. Ответ: -1;

17. Ответ: -1;

8. В случае приведенного уравнения условие записывается

18. следующим образом: .

19. Т.е. - последовательные числа, при чем .

20. Таким образом, можно сделать следующий вывод; если в приведенном квадратном уравнении — последовательные числа (), то .

21. Например

7. Упражнения для самостоятельного решения

13. III. Схема решений квадратных уравнений подбором

1. Теорема Виета

15. (оба корня сложил, получил)

16. (а корней произведенье дает из уравненья)

2. Условия: - последовательные числа

25. Биография Виета Франсуа

26. Франсуа Виет родился в 1540 г. во Франции в Фонтене-ле-Конт. По образованию юрист. Много занимался адвокатской деятельностью. В свободное время занимался математикой, астрономией. Детально изучил труды как древних, так и современных ему математиков. Франсуа Виет по существу создал новую алгебру, ввел в нее буквенную символику. •

27. Все мы знаем, что для решения квадратных уравнений имеются готовые формулы. До Ф. Виета решение каждого квадратного уравнения выполнялось по своим правилам в виде длинных словесных рассуждений и описаний, довольно громоздких действий. Да и само уравнение записывалось в виде довольно длинных словесных описаний. Общих правил, подобных современным, а тем более формул решения уравнений не было. Постоянные коэффициенты буквами не обозначались. Рассматривались выражения только с конкретными числовыми коэффициентами.

28. Виет ввел в алгебру буквенную символику. После этого открытия стало возможным записывать правила в виде формул. Ф. Виет очень подробно изложил в своих трудах теорию решения уравнений с первой по четвертую степень. Большой заслугой Виета было открытие зависимости между корнями и коэффициентами уравнений приведенного вида произвольной натуральной степени. Ф. Виет дал первое в Европе аналитическое (с помощью формулы) представление числа .

29. Умер Ф. Виет в возрасте 63 лет в 1603 году.

36. Тренировочные таблицы