Методическая разработка Законы алгебры логики. Эквивалентные преобразования логических выражений

• 1 слайд

  Домашнее задание:
  § 1.6.2; вопросы и задания к §
  Задания 15 КИМ ЕГЭ (кол-во любое)
  на любом сайте:
  РЕШУ ЕГЭ,
  К.Полякова, КЕГЭ
  

• 2 слайд

  Задание на дом:
  1. Доказать, двумя способами, что выражения:
  равносильны.
  2. Закончить выполнение заданий в карточках
  

• 3 слайд

  Что изучает наука логика?
  В чем особенность алгебры логики?
  Какие выражения являются высказываниями, а какие нет?
  Какие возможные значения могут иметь логические выражения?
  Какие возможные обозначения применяют для логических выражений и их значений?
  Устное повторение:
  

• 4 слайд

  «Логическая
  разминка»
  

• 5 слайд

  ¬(А & В) & ¬ С
  
  ¬А v В v ¬ С
  (¬А v ¬ В) & ¬ С
  (¬А v ¬ В) & С
  ¬А & ¬ В & ¬ С
  
  1. Какое логическое выражение равносильно выражению
  
  

• 6 слайд

  2. Языковые головоломки
  Обнаружить слово, соединяющее два других слова, так, чтобы конец одного слова стал началом другого, например:
  ме???олад МеШОКолад
  

• 7 слайд

  Отгадай термин, обозначающий действия с высказываниями
  4 = А
  ВИ = Е
  Логические операции
  

• 8 слайд

  21.02.2024
  8
  Операция И (логическое умножение, конъюнкция)
  1
  0
  также: A·B, A  B,
  A & B
  0
  0
  0
  1
  1
  0
  1
  1
  0
  0
  конъюнкция – от лат. conjunctio — соединение
  A  B
  Высказывание "A и B" истинно тогда и только тогда, когда А и B истинны одновременно.
  дополнительно используются связки – А, НО, ХОТЯ
  КОНЪЮНКЦИЯ
  

• 9 слайд

  21.02.2024
  9
  Операция ИЛИ (логическое сложение, дизъюнкция)
  1
  0
  также: A+B, A  B,
  0
  0
  0
  1
  1
  0
  1
  1
  1
  1
  дизъюнкция – от лат. disjunctio — разъединение
  Высказывание "A или B" истинно тогда, когда истинно А или B, или оба вместе.
  A  B
  ДИЗЪЮНКЦИЯ
  

• 10 слайд

  21.02.2024
  10
  Задание № 2 КИМ ЕГЭ
  
  Определите, какому столбцу таблицы истинности функции F соответствует каждая из переменных x, y, z, w
  (x → (z ≡ w)) ˅ ¬(y → w)
  
  ZWYX
  

• 11 слайд

  Расскажи, как бы ты упростил следующее алгебраическое выражение?
  ( a * b ) + ( a * c )
  a * ( b + c)
  Какой закон алгебры ты применил? Каковы его свойства?
  Распределительный закон
  Расскажи, как бы ты упростил следующее логическое выражение?
  (a & b) V (a & с)
  a & ( b V с )
  

• 12 слайд

  Что ты можешь сказать о свойствах алгебраических и логических выражений?
  

• 13 слайд

  Тема урока:
  «Законы алгебры логики. Эквивалентные преобразования
  логических выражений»
  Алгебра логики изучает строение сложных логических высказываний и способы установления их истинности с помощью алгебраических методов
  !
  

• 14 слайд

  Задачи урока:
  Научиться :
  Применять законы алгебры логики для преобразования логических выражений
  Узнать:
  основные законы (тождества) алгебры логики
  

• 15 слайд

  Равносильные преобразования
  Равносильные преобразования логических формул имеют то же назначение, что и преобразования формул в обычной алгебре.
  Они служат для упрощения формул или приведения их к определённому виду путем использования основных законов алгебры логики.
  

• 16 слайд

  Под упрощением формулы, понимают равносильное преобразование, приводящее к формуле, которая
  либо содержит по сравнению с исходной меньшее число операций конъюнкции и дизъюнкции и инверсий
  не содержит отрицаний неэлементарных формул, либо содержит их меньшее число
  

• 17 слайд

  1. Закон двойного отрицания
  
      Двойное отрицание исключает отрицание.
  

• 18 слайд

  2. Переместительный (коммутативный) закон
          — для логического сложения:
  А + B = B + A
          — для логического умножения:
  A*B = B*A
  

• 19 слайд

  3. Сочетательный (ассоциативный) закон
          — для логического сложения:
  (A + B) + C = A+ (B + C)
          — для логического умножения:
  (A*B)*C = A*(B*C)
  

• 20 слайд

  4. Распределительный (дистрибутивный) закон
          — для логического сложения:
  (A + B)*C = (A*C) + (B*C)
          — для логического умножения:
  A*B + C = (A + C)*(B+ C)
  

• 21 слайд

  5. Закон общей инверсии (законы де Моргана)
          — для логического сложения
         — для логического умножения:
  

• 22 слайд

  6. Закон идемпотентности
          — для логического сложения:
  A + A = A
          — для логического умножения:
  A*A = A
  Закон означает отсутствие показателей степени.
  

• 23 слайд

  7. Законы исключения констант
          — для логического сложения:
  A + 1 = 1, A+ 0 = A;
          — для логического умножения:
  A* 1 = A, A* 0 = 0
  

• 24 слайд

  8. Закон противоречия
          Невозможно, чтобы противоречащие высказывания были одновременно истинными.
  

• 25 слайд

  9. Закон исключения третьего
          Из двух противоречащих высказываний об одном и том же предмете одно всегда истинно, а второе — ложно, третьего не дано.
  

• 26 слайд

  10. Закон поглощения
          — для логического сложения:
  A + (A* B) = A;       
          — для логического умножения:
  A* (A + B) = A
  

• 27 слайд

  11. Закон исключения (склеивания)
          — для логического сложения:        
          — для логического умножения:
  

• 28 слайд

  Логические законы и правила преобразования логических выражений
  Закон тождества: всякое высказывание тождественно самому себе.
  А=А
  Закон непротиворечия: высказывание не может быть одновременно истинным и ложным.
  А * А=0
  Закон исключенного третьего. Высказывание может быть истинным, либо ложным, третьего не дано.
  А + А=1
  Закон двойного отрицания: если дважды отрицать некоторое высказывание, то в результате мы получим исходное высказывание.
  А=А
  

• 29 слайд

  Для какого имени истинно высказывание:
  ¬(Первая буква имени гласная → Четвертая буква имени согласная)
  Упражнение 1
  Упражнения в карточках (на выбор)
  

• 30 слайд

• 31 слайд

  Распределительный закон для логического сложения:
  A v (B & C) = (A v B) & (A v C).
  Доказательство закона
  Умножаем В на С и выводим результат.
  0
  0
  0
  0
  0
  0
  1
  1
  Складываем А и В и выводим результат.
  0
  0
  0
  1
  1
  1
  1
  1
  Складываем А и (В&С) и выводим результат.
  0
  0
  1
  1
  1
  1
  1
  1
  Складываем А и C и выводим результат.
  0
  0
  1
  1
  1
  1
  1
  1
  Умножаем (АvB) на (AvC )и выводим результат.
  0
  0
  0
  1
  1
  1
  1
  1
  Равенство выделенных столбцов доказывает распределительный закон.
  

• 32 слайд

  Логические законы и правила преобразования логических выражений
  Законы Моргана:
  А +В=А * В
  А * В=А + В
  
  

• 33 слайд

  Таблицы истинности совпадают, следовательно, логические выражения равносильны: A&B= A&B
  Докажите , используя таблицы истинности, что логические выражения А۷В и А&В равносильны
  

• 34 слайд

  Типы задания 15
  Задания на отрезки
  Задания на множества
  Задания на поразрядную конъюнкцию
  Задания на условие делимости
  Анализ неравенств на плоскости
  

• 35 слайд

  Задание 15
  Решающая формула
  А  ¬А = 1
  А  ¬А = 0
  В алгебре логики есть формула дополнения до целого:
  В некоторых задачах мы будем использовать вместо этой формулы умножение противоположностей:
  

• 36 слайд

  Задания на отрезки
  (№ 376) На числовой прямой даны два отрезка: P=[4,15] и Q=[12,20]. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка A, что формула
  ((x ∈ P) ∧ (x ∈ Q)) → (x ∈ A)
  тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.
  Источник - сайт Полякова К.Ю.
  

• 37 слайд

  Решающая формула
  А  ¬А = 1
  Для выбора решающей формулы важно внимательно прочитать требование задачи.
  В нашей задаче в требовании сказано:
  принимает значение 1 при любом значении переменной х.
  Выбор решающей формулы очевиден:
  

• 38 слайд

  Решение задачи на отрезки
  Легенда
  Формализация условия
  Решение логического уравнения
  Интерпретация полученного результата
  Разделим решение задачи на этапы:
  

• 39 слайд

  Решение задачи на отрезки
  Легенда – это удобные нам условные обозначения, которые мы будем использовать при решении.
  Введем следующие обозначения:
  P = x  P
  Q = x  Q
  A = x  A
  

• 40 слайд

  Решение задачи на отрезки
  2) Формализация условия – перепишем формулу из условия задачи в соответствие с легендой.
  Было:
  ((x ∈ P) ∧ (x ∈ Q)) → (x ∈ A) = 1
  Стало:
  (P ∧ Q) → A = 1
  

• 41 слайд

  Решение задачи на отрезки
  3) Решение логического уравнения –вначале это, возможно, самый сложный этап в решении задачи. Но позже, при накоплении опыта, он уже не будет казаться таким уж сложным 
  
  Рассмотрим решение логического уравнения по шагам.
  

• 42 слайд

  Решение задачи на отрезки
  3.1. Представим логическое следование в базовых логических операциях по формуле: А → В = ¬А  В:
  (P ∧ Q) → A = 1
  
  ¬(P ∧ Q)  A = 1
  
  
  

• 43 слайд

  Решение задачи на отрезки
  3.2. Сведем получившееся выражение к решающей формуле: А  ¬А = 1 (в алгебре логики справедлив закон коммутативности, т.е. А  ¬А = ¬А  А) :
  ¬(P ∧ Q)  A = 1, отсюда
  ¬А = ¬(P ∧ Q)
  Ответом в логическом уравнении будет:
  А = P ∧ Q.
  

• 44 слайд

  Решение задачи на отрезки
  4) Интерпретация полученного результата.
  Наш ответ: А = P ∧ Q.
  В алгебре логики это выражение означает пересечение объемов двух логических объектов. По условию нашей задачи – это пересечение отрезков P и Q.
  

• 45 слайд

  Решение задачи на отрезки
  Пересечение отрезков P и Q можно визуализировать: P=[4,15] и Q=[12,20].
  4
  12
  15
  20
  По условию нашей задачи, нам нужна минимальная длина отрезка А. Находим ее: 15 – 12 = 3.
  Ответ: 3.
  Ответ на сайте Полякова К.Ю.: 3
  

• 46 слайд

  Задания на отрезки
  (№ 360) На числовой прямой даны три отрезка: P=[10,25], Q=[15,30] и R=[25,40]. Какова максимальная длина отрезка A, при котором формула
  ((x ∈ Q) → (x ∉ R) ) ∧ (x ∈ A) ∧ (x ∉ P)
  тождественно ложна, то есть принимает значение 0 при любом значении переменной х?
  Источник - сайт Полякова К.Ю.
  

• 47 слайд

  Решающая формула
  А  ¬А = 0
  Для выбора решающей формулы важно внимательно прочитать требование задачи.
  В нашей задаче в требовании сказано:
  принимает значение 0 при любом значении переменной х.
  Выбор решающей формулы очевиден:
  

• 48 слайд

  Решение задачи на отрезки
  Легенда
  R = x  R
  Q = x  Q
  A = x  A
  P = x  P
  

• 49 слайд

  Решение задачи на отрезки
  2) Формализация условия
  Было:
  ((x ∈ Q) → (x ∉ R) ) ∧ (x ∈ A) ∧ (x ∉ P) = 0
  Стало:
  ( Q → ¬R ) ∧ A ∧ ¬ P = 0
  

• 50 слайд

  Решение задачи на отрезки
  3) Решение логического уравнения
  ( Q → ¬R ) ∧ A ∧ ¬ P = 0
  3.1. Представим логическое следование в базовых логических операциях по формуле: А → В = ¬А  В, и переставим множители согласно закону коммутативности умножения:
  A ∧ (¬ Q  ¬R ) ∧ ¬ P = 0
  
  

• 51 слайд

  Решение задачи на отрезки
  3) Решение логического уравнения
  A ∧ (¬ Q  ¬R ) ∧ ¬ P = 0
  3.2. Сведем получившееся выражение к решающей формуле: А  ¬А = 0 и найдем, чему равно ¬А :
  ¬А = (¬ Q  ¬R ) ∧ ¬ P
  
  

• 52 слайд

  Решение задачи на отрезки
  3) Решение логического уравнения
  ¬А = (¬ Q  ¬R ) ∧ ¬ P
  3.3. Упростим выражение для ¬А по закону де Моргана ¬А¬В=¬(АВ):
  ¬А = ¬ (Q  R ) ∧ ¬ P,
  и по другому закону де Моргана ¬А¬В=¬(АВ):
  ¬А = ¬ (Q  R  P)
  
  

• 53 слайд

  Решение задачи на отрезки
  3) Решение логического уравнения
  ¬А = ¬ (Q  R  P)
  
  3.4. Очевидно, что
  
  А = Q  R  P
  
  

• 54 слайд

  Решение задачи на отрезки
  4) Интерпретация полученного результата
  А = Q  R  P
  Отрезок А – это пересечение отрезков Q и R и его объединение с отрезком Р.
  

• 55 слайд

  Решение задачи на отрезки
  Пересечение отрезков R и Q можно визуализировать: Q=[15,30] и R=[25,40].
  15
  25
  30
  40
  Отрезок P=[10,25] нанесем на наш чертеж и объединим с пересечением:
  15
  25
  30
  40
  10
  

• 56 слайд

  Решение задачи на отрезки
  15
  25
  30
  40
  10
  По условию нашей задачи, нам нужна максимальная длина отрезка А. Находим ее: 30 – 10 = 20.
  Ответ: 20.
  А = Q  R  P
  Ответ на сайте Полякова К.Ю.: 20
  

• 57 слайд

  2. Задания на множества
  (№ 386) Элементами множеств А, P, Q являются натуральные числа, причём P={1,2,3,4,5,6}, Q={3,5,15}. Известно, что выражение
  (x ∉ A) → ((x ∉ P) ∧ (x ∈ Q)) ∨ (x ∉ Q)
  истинно (т.е. принимает значение 1 при любом значении переменной х. Определите наименьшее возможное количество элементов в множестве A.
  Источник - сайт Полякова К.Ю.
  

• 58 слайд

  Решение задачи на множества
  Легенда
  A = x ∈ A
  P = x ∈ P
  Q = x ∈ Q
  
  
  

• 59 слайд

  Решение задачи на множества
  2) Формализация условия
  Было:
  (x ∉ A) → ((x ∉ P) ∧ (x ∈ Q)) ∨ (x ∉ Q) = 1
  Стало:
  ¬ A → (¬P ∧ Q)  ¬ Q = 1
  

• 60 слайд

  Решение задачи на множества
  3) Решение логического уравнения
  ¬ A → (¬P ∧ Q)  ¬ Q = 1
  3.1. Представим логическое следование в базовых логических операциях и сгруппируем:
  A  ((¬P ∧ Q)  ¬ Q) = 1
  

• 61 слайд

  Решение задачи на множества
  A  ((¬P ∧ Q)  ¬Q) = 1
  3.2. Сведем получившееся выражение к решающей формуле:
  А  ¬А = 1
  и найдем, чему равно ¬А :
  ¬А = (¬P ∧ Q)  ¬Q
  

• 62 слайд

  Решение задачи на множества
  ¬А = (¬P ∧ Q)  ¬Q
  3.3. Упростим выражение для ¬А, раскрыв скобки по закону дистрибутивности сложения:
  ¬А = (¬P  ¬Q)  (Q  ¬Q)
  Q  ¬Q = 1
  ¬А = (¬P  ¬Q)
  

• 63 слайд

  Решение задачи на множества
  ¬А = (¬P  ¬Q)
  По закону де Моргана:
  ¬А = ¬(P  Q)
  3.4. Очевидно, что
  А = P  Q
  

• 64 слайд

  Решение задачи на множества
  А = P  Q
  4) Интерпретация полученного результата
  Искомое множество А представляет собой пересечение множеств P и Q.
  

• 65 слайд

  Решение задачи на множества
  Искомое множество А есть пересечение множеств
  P = 1, 2, 3, 4, 5, 6 и Q ={3, 5,15}, таким образом A ={3, 5}
  и содержит только 2 элемента.
  Ответ: 2
  Ответ на сайте Полякова: 2
  

• 66 слайд

  2. Задания на множества
  (№ 368) Элементами множеств А, P, Q являются натуральные числа, причём P={2,4,6,8,10,12} и Q={4,8,12,116}. Известно, что выражение
  (x ∈ P) → (((x ∈ Q) ∧ (x ∉ A)) → (x ∉ P))
  истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной х. Определите наименьшее возможное значение суммы элементов множества A.
  Источник - сайт Полякова К.Ю.
  

• 67 слайд

  Легенда
  A = x ∈ A
  P = x ∈ P
  Q = x ∈ Q
  Решение задачи на множества
  

• 68 слайд

  2) Формализация условия
  Было:
  (x ∈ P)→(((x ∈ Q) ∧ (x ∉ A))→(x ∉ P)) = 1
  Стало:
  P → ((Q ∧ ¬A) → ¬P) = 1
  Решение задачи на множества
  

• 69 слайд

  Решение задачи на множества
  3) Решение логического уравнения
  P → ((Q ∧ ¬A) → ¬P) = 1
  3.1. Представим первое логическое следование (в скобках) в базовых логических операциях :
  P → (¬(Q ∧ ¬A)  ¬P) = 1
  

• 70 слайд

  Решение задачи на множества
  P → (¬(Q ∧ ¬A)  ¬P) = 1
  Представим второе логическое следование в базовых логических операциях, применим закон де Моргана и перегруппируем:
  ¬P (¬(Q ∧ ¬A)  ¬P) = 1
  ¬P ¬Q  A  ¬P = 1
  
  

• 71 слайд

  Решение задачи на множества
  A  (¬P ¬Q  ¬P) = 1
  3.2. Сведем получившееся выражение к решающей формуле:
  А  ¬А = 1
  и найдем, чему равно ¬А :
  ¬А = (¬P ¬Q  ¬P)
  

• 72 слайд

  Решение задачи на множества
  ¬А = ¬P ¬Q  ¬P
  3.3. Упростим выражение для ¬А по формуле А  А = А:
  ¬А = ¬P ¬Q
  Далее, по закону де Моргана получаем:
  ¬А = ¬(P Q)
  

• 73 слайд

  Решение задачи на множества
  ¬А = ¬(P Q)
  3.4. Очевидно, что
  А = P Q
  4) Интерпретация полученного результата
  Искомое множество А представляет собой пересечение множеств P и Q.
  

• 74 слайд

  Решение задачи на множества
  Искомое множество А есть пересечение множеств
  P = 2, 4, 6, 8, 10, 12 и
  Q ={4, 8, 12, 16}, таким образом
  A ={4, 8, 12}
  и содержит только 3 элемента, сумма которых 4+8+12=24 .
  Ответ: 24
  Ответ на сайте Полякова: 24
  

• 75 слайд

  2) Формализация условия
  Решение задачи
  на условие делимости
  Было:
  
  ¬ДЕЛ(x,А) → ((ДЕЛ(x,6) → ¬ДЕЛ(x,4))
  тождественно истинна (то есть принимает значение 1
  
  Стало:
  
  ¬А → (6 → ¬4) = 1
  

• 76 слайд

  3) Решение логического уравнения
  ¬А → (6 → ¬4) = 1
  ¬А → (¬ 6  ¬4) = 1
  А  (¬ 6  ¬4) = 1
  ¬А = ¬ 6  ¬4
  Очевидно:
  А = 64
  
  
  Решение задачи
  на условие делимости
  

• 77 слайд

  4) Интерпретация полученного результата
  А = 64
  Итак, А таково, что Х делится на него без остатка тогда и только тогда, когда Х делится без остатка и на 6, и на 4. Т.е. А = НОК(6, 4) = 12
  Ответ на сайте Полякова: 12
  Решение задачи
  на условие делимости
  

• 78 слайд

  Итог урока. Рефлексия
  Урок полезен, все понятно.
  Лишь кое-что чуть-чуть неясно.
  Еще придется потрудиться.
  Да, трудно все-таки учиться.
  
  

• 79 слайд

  Можете ли вы назвать тему урока?
  Были ли у вас трудности или вам было легко?
  Что у вас получилось лучше всего и без ошибок?
  Какое задание было самым интересным и почему?
  Как бы вы оценили свою работу?
  Рефлексия