МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ОРГАНИЗАЦИИ И ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ МАТЕМАТИКА: АЛГЕБРА, НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА, ГЕОМЕТРИЯ ОПОП СПО по профессии Продавец, контролер-кассир по теме Элементы теории вероятности

Министерство образования и науки Алтайского края

Краевое государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение

«Егорьевский лицей профессионального образования»

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ОРГАНИЗАЦИИ И ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ по учебной дисциплине

МАТЕМАТИКА: АЛГЕБРА, НАЧАЛА

МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА, ГЕОМЕТРИЯ

основной профессиональной образовательной программы

по профессии 38.01.02 Продавец, контролер-кассир

по теме «Элементы теории относительности и математической статистики»

п.им. Мамонтова

2019

Методические рекомендации по организации и выполнению практических занятий по учебной дисциплине МАТЕМАТИКА: АЛГЕБРА, НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА, ГЕОМЕТРИЯ основной профессиональной образовательной программы разработаны в соответствии с требованиями к результатам обучения ФГОС СОО, ФГОС СПО по профессии 38.01.02 Продавец, контролер-кассир и рабочей программой учебной дисциплины.

Разработчики: Корбмахер С.Р., преподаватель высшей квалификационной категории

СОДЕРЖАНИЕ

Стр.

Введение

4

Общие требования для обучающихся по выполнению практических занятий и оформлению отчета, критерии оценивания работ

5

Тема 12. Элементы теории относительности и математической статистики. (ПЗ-5)

7

Практическое занятие: История развития комбинаторики, теории вероятностей и статистики. (История развития комбинаторики, теории вероятностей и статистики и их роль в различных сферах человеческой жизнедеятельности.)

7

Практическое занятие: Свойства вероятностей.

(Классическое определение вероятности, свойства вероятностей, теорема о сумме вероятностей.)

7

Практическое занятие: Вычисление вероятностей. Прикладные задачи. (2 ч)

9

Практическое занятие: Представление числовых данных. Прикладные задачи.

15

Список используемой литературы

22

Введение

Методические указания по организации и выполнению практических занятий разработаны согласно рабочей программы ОУД.06 МАТЕМАТИКА: АЛГЕБРА, НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА, ГЕОМЕТРИЯ для студентов, обучающихся по профессии 38.01.02 Продавец, контролер-кассир и требованиям к результатам обучения федерального государственного образовательного стандарта среднего общего образованиям (далее – ФГОС СОО).

Практические занятия направлены на достижение следующих целей:

• обеспечение сформированности представлений о социальных, культурных и исторических факторах становления математики;

• обеспечение сформированности логического, алгоритмического и математического мышления;

• обеспечение сформированности умений применять полученные знания при решении различных задач;

• обеспечение сформированности представлений о математике как части общечеловеческой культуры, универсальном языке науки, позволяющем описывать и изучать реальные процессы и явления.

Практические занятия являются важными видами учебной работы студента по учебной дисциплине и выполняются в пределах часов, предусмотренных учебным планом ОПОП.

Обязательная аудиторная нагрузка на каждое практическое занятие приведено в таблице

Таблица

Аудиторная нагрузка на выполнение практических занятий

п/п

Название работы

Нагрузка в часах

Тема 12. Элементы теории относительности и математической статистики.

5

1

Практическое занятие: История развития комбинаторики, теории вероятностей и статистики. (История развития комбинаторики, теории вероятностей и статистики и их роль в различных сферах человеческой жизнедеятельности.)

1

2

Практическое занятие: Свойства вероятностей.

(Классическое определение вероятности, свойства вероятностей, теорема о сумме вероятностей.)

1

3

Практическое занятие: Вычисление вероятностей. Прикладные задачи.

2

4

Практическое занятие: Представление числовых данных. Прикладные задачи.

1

ИТОГО:

5

Общие требования для обучающихся по выполнению практических занятий и оформлению отчета, критерии оценивания работ

1. Перед выполнением практического занятия необходимо повторить теоретический материал, используя рекомендованную литературу, конспект лекций и теоретическую часть работы.

2. Обучающиеся обязаны иметь при себе линейку, карандаш, калькулятор, тетрадь для выполнения практических занятий.

3. Отчеты по практическим занятиям оформляются аккуратно и должны включать в себя следующие пункты:

• тему и цель практического занятия;

• решение предложенных задач или примеров.

Критерии оценивания работ

Отметку за работу на практическом занятии, студент получает в случае выполнения им практического задания у доски, или самостоятельного выполнения его в тетради для практических и теоретических занятий.

В случаях отсутствия обучающихся на практических занятиях, практические задания выполняются студентом самостоятельно, с применением знаний и умений, полученных на уроках, а так же с использованием настоящих методических рекомендаций. В этом случае отметку по каждому пропущенному практическому занятию студент получает после её выполнения и предоставления отчета в письменном виде, а также ответов на вопросы преподавателя, если таковые возникнут при проверке выполненного занятия

Отметка «5» ставится, если:

• работа выполнена более чем на 90%.;

• в логических рассуждениях и обосновании решения нет пробелов и ошибок;

• в решении нет математических ошибок (возможна одна неточность, описка, которая не является следствием незнания или непонимания учебного материала).

Отметка «4» ставится в следующих случаях:

• работа выполнена полностью, но обоснования шагов решения недостаточны (если умение обосновывать рассуждения не являлось специальным объектом проверки),

• допущены одна существенная ошибка или две-три несущественных ошибки или есть два – три недочёта в выкладках, рисунках, чертежах или графиках (если эти виды работ не являлись специальным объектом проверки),

• работа выполнена полностью более чем на 70%.

Отметка «3» ставится, если:

• допущены более одной существенной ошибки или более двух-трех несущественных ошибок, но обучающийся владеет обязательными умениями по проверяемой теме;

• при этом правильно выполнено не менее половины работы.

Отметка «2» ставится, если:

• допущены существенные ошибки, показавшие, что обучающийся не обладает обязательными умениями по данной теме в полной мере,

• правильно выполнено меньше половины работы,

• работа показала полное отсутствие у обязательных знаний и умений по проверяемой теме или значительная часть работы выполнена не самостоятельно.

• не приступил к выполнению работы.

К категории существенных ошибок следует отнести ошибки, связанные с незнанием, непониманием студентами основных положений теории и с неправильным применением методов, способов, приемов решения практических заданий, предусмотренных программой.

К категории несущественных ошибок следует отнести погрешности, связанные с небрежным выполнением записей, рисунков, графиков, чертежей, а также погрешности и недочеты, которые не приводят к искажению смысла задания и его выполнения. При наличии существенной ошибки задание считается невыполненным.

Самостоятельные работы и контрольные тесты с выбором ответа, матричные тесты предусмотренные во время практических занятий дают возможность проверить наработанные умения обучающихся. Данные работы оцениваются отдельно по пятибалльной шкале.

Тема 12. Элементы теории относительности

и математической статистики. (ПЗ-5)

Практическое занятие по теме:

История развития комбинаторики, теории вероятностей и статистики.

(История развития комбинаторики, теории вероятностей и статистики и их роль в различных сферах человеческой жизнедеятельности.)

Цель: Изучить историю развития комбинаторики, теории вероятностей и статистики и их роль в различных сферах человеческой жизнедеятельности

Оборудование: Тетради для практических работ, раздаточный материал, мультимедийное оборудование, компьютерный класс с выходом в интернет.

Время выполнения: 1 час.

Содержание:

Предварительно обучающимся было дано задание в рамках внеаудиторной работы подготовить сообщения или презентации по темам:

1. История развития комбинаторики и ее роль в различных сферах человеческой жизнедеятельности.

2. История развития теории вероятностей и статистики и их роль в различных сферах человеческой жизнедеятельности.

Работа в компьютерном классе по подготовке презентаций к защите – 15 мин.

Демонстрация и защита презентаций – 30 мин.

Практическое занятие по теме:

Свойства вероятностей.

(Классическое определение вероятности, свойства вероятностей, теорема о сумме вероятностей.)

Цель: Закрепление теоретических знаний о свойствах вероятностей событий. Использование теоремы о сумме вероятностей при решении задач.

Оборудование: Тетради для практических работ, раздаточный материал, мультимедийное оборудование, компьютерный класс с выходом в интернет.

Время выполнения: 1 час.

Содержание:

Теоретический материал:

Опр.Событие – это любое явление, которое происходит или не происходит или результат испытаний, наблюдений и явлений. События обозначают заглавными латинскими буквами А, В, С, …

Примеры случайных событий: выпадение шестерки при подбрасывании игральной кости, отказ технического устройства, искажение сообщения при передаче его по каналу связи.

Долю успеха того или иного события называют вероятностью этого события и обозначают Р(А)

Опр . Если в некотором испытании существует правновозможных попарно несовместных исходов итиз них благоприятствуют событию А, то вероятностью наступления события А называют отношение и записывают Р(А) =

Пример Найти вероятность появления при одном бросании игральной кости числа очков, большего 4.

Решение : А – « появление числа очков, большего 4» п = 6 - число всех исходов, т = 2 – благоприятствующих событию А ( 5, 6 ) Р(А) = = Ответ: Р(А) = =

Опр. Суммой (объединением) двух событий A и B (обозначается A+B, AB) называется такое событие, которое заключается в том, что происходит хотя бы одно из событий, т.е. A или B, или оба одновременно.

Пример

В коробке лежат 8 зеленых, 7 синих и 15 красных карандашей. Вычислить вероятность того, что взятый наугад карандаш будет, синим или зеленым.

Решение:

А: взяли синий карандаш

В: взяли зеленый карандаш

С: взяли синий или зеленый карандаш

Событие С равно сумме событий А и В: С = А + В

Вероятность события А равна  

Вероятность события В равна

Вероятность события С равна Р(С)=Р(А+В)=Р(А)+Р(В)=7/30+8/30=15/30=0,5

Опр.Произведением (пересечением) двух событий A и B (обозначается A×B, AиB) называется такое событие, которое заключается в том, что происходят оба события A и B вместе.

ПримерВ одной коробке находится 4 белых и 8 черных шаров, а в другой – 3 белых и 9 черных. Из каждой коробки вынули по шару. Вычислить вероятность того, что оба шара окажутся белыми.

Решение:

А: из первой коробки вынули белый шар

В: из второй коробки вынули белый шар

С: из коробок вынули белые шары

Вероятность события А равна

Вероятность события В равна

Вероятность события С равна

Ответ: Р ( С ) 0,083

Контрольные вопросы:

1. Что называется случайным событием?

2. Что называется вероятностью события?

3. Сформулируйте и запишите теоремы сложения и умножения вероятностей.

Требования к содержанию отчета по работе:

Отчет о работе должен содержать тему и цель практического занятия.

В ходе работы должны быть выполнены предложенные задания.

Практическое занятие по теме:

Вычисление вероятностей. Прикладные задачи.

Цель: Закрепление теоретических знаний при решении задач на вычисления вероятностей. Решение прикладных задач.

Оборудование: Тетради для практических работ, раздаточный материал, мультимедийное оборудование, компьютерный класс с выходом в интернет.

Время выполнения: 2 часа.

Содержание:

МАТРИЧНЫЙ ТЕСТ

Теоретический материал:

Классическое определение вероятности

      Если в результате случайного эксперимента может реализоваться один из нескольких равновозможных вариантов, то используют классическое определение вероятности.

      Классическое определение вероятности является краеугольным камнем теории вероятностей и вводится в соответствии со следующей схемой.

1. Определяется множество элементарных событий Ω  (результаты случайного эксперимента).       Элементы множества   Ω   (элементарные события) обозначают

ω₁ ,  ω₂ , … , ω_N ,

где   N   – число элементов множества   Ω .

2. Вероятность каждого элементарного события полагают равной

и обозначают буквой   P .   Таким образом,

3. Определяются случайные события.

           Случайные события принято обозначать буквами   A ,  B ,  C , ...

4. Определяется вероятность каждого случайного события.

      Если   A   – случайное событие, то вероятность события   A   полагают равной числу

где через   m   обозначено количество элементарных событий, входящих в множество   A .

      Вероятность случайного события   A   принято обозначать   P (A) .

      Таким образом, справедливо равенство

причем, поскольку числитель в правой части формулы (1) не превосходит знаменателя, то вероятность любого случайного события   A   заключена в пределах

В частности, если      или   A = Ω ,   то справедливы равенства

      Замечание.  При вычислении вероятности события   A   элементарные события, входящие в событие   A ,   называют благоприятными исходами и формулу (1) записывают в виде

   В теории вероятностей 

случайными событиями являются подмножества множества элементарных исходов   Ω .  

      Над событиями, как и над любыми множествами, можно совершать следующие операции.

1. Произведение (пересечение) двух событий

      Операцию произведения (пересечения) двух событий   A   и   B  обозначают

,   или   AB ,   или   .

      Определение 1. Произведением (пересечением) двух событий   A   и   B   называют такое

событие, которое состоит из всех элементов, входящих как в событие   A ,   так и в событие   B   (рис. 1).

2. Сумма (объединение) двух событий

      Операцию суммы (объединения) двух событий   A   и   B  обозначают A + B   или   

      Определение 2. Суммой (объединением) двух событий   A   и   B   называют такое событие, которое состоит из элементов события   A   и элементов события   B   (рис. 2).

3. Разность двух событий

      Операцию разности двух событий   A   и   B  обозначают A \ B

      Определение 3. Разностью событий   A   и   B   называют событие, состоящее из тех элементов

события   A ,  которые не входят в событие   B   (рис. 3).

Замечание 1. Разностью событий   B   и   A   является событие   B \ A ,   изображенное на рисунке 4

4. Симметрическая разность двух событий

      Операцию симметрической разности двух событий   A   и   B  обозначают

      Определение 4 . Симметрической разностью событий   A   и   B   называют событие, состоящее из тех элементов события   A ,  которые не входят в событие   B ,   а также из тех элементов события   B ,  которые не входят в событие   A   (рис. 5).

5. Переход к противоположному событию

      Событие, противоположное к событию   A ,  обозначают   или   A^C

      Определение 5. Противоположным событием к событию   A   называют событие, состоящее из

тех элементов всего множества элементарных событий   Ω ,   которые не входят в событие   A  (рис. 6)

Замечание 2. Справедлива формула

      Определение 6. Событие   Ω   называют достоверным событием, пустое множество     

называют невозможным событием.

      Замечание 3. Рисунки, на которых наглядно показаны операции над множествами, называют 

диаграммами Эйлера-Венна. В частности, диаграммами Эйлера-Венна являются рисунки 1-6 .

Вероятность суммы двух событий

Пусть   A   и   B   – два произвольных

 события в случайном эксперименте с множеством элементарных исходов  Ω .

      Справедливо следующее утверждение.

      Утверждение 1. Вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих событий

минус вероятность их произведения.      Другими словами, верна формула:

Несовместные события

      Определение. Два события   A   и   B   называют несовместными, если они не пересекаются.

      Другими словами, события   A   и   B   несовместны, если

      Замечание 1. События   A   и   B   несовместны в том, и только в том случае, если событие  

 B  является подмножеством события   ,   то есть    .

      Замечание 2. События   A   и   B   несовместны в том, и только в том случае, если событие   

A  является подмножеством события   ,   то есть    .

      Замечание 3. Если события   A   и   B   несовместны, то вероятность их произведения равна нулю.

      Другими словами, для несовместных событий   A   и   B   верна формула

      Замечание 4. Если события   A   и   B   несовместны, то вероятность суммы событий   A + B  

равна сумме вероятностей событий   A   и   B .      P (A + B) = P (A) + P (B)

Независимость двух событий. Вероятность произведения двух независимых событий

     Два события   A   и   B   называют независимыми, если появление одного из этих событий никак

не влияет на вероятность появления второго события.

      Замечание 5. Несовместные события и независимые события – это совершенно разные понятия,

и их не следует путать.

      Справедливо следующее утверждение.

      Утверждение 2. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению их

вероятностей.      Другими словами, для двух независимых событий   A   и   B   верна формула

Проиллюстрируем справедливость формулы (4) на примере.

Пример 1. Случайный эксперимент состоит в подбрасывании двух игральных костей. Одна из

игральных костей окрашена в синий цвет, другая – в красный. Найти вероятность того, что на

синей игральной кости выпадет число   3,   а на красной игральной кости выпадет число   4 .

      Решение. Сформируем следующую таблицу, в которой записаны все   36   возможных вариантов

пар чисел, выпадающих при подбрасывании двух игральных костей.

Благоприятным является только один исход, а именно, клетка с результатом   4, 3 ,   окрашенная

в таблице желтым цветом. Следовательно, вероятность события, состоящего в том, что на синей

игральной кости выпадает число   3 ,   а на красной игральной кости выпадает число   4 ,   равна  .

      Теперь рассмотрим случайный эксперимент, описанный в примере 1, с другой стороны. Для этого

обозначим буквой   A   случайное событие, состоящее в том, что на синей игральной кости выпадает

число   3 ,   а буквой   B   - случайное событие, состоящее в том, что на красной игральной кости

выпадает число   4 .   События   A   и   B   являются независимыми событиями, а их вероятности

равны:

      Событие      состоит в том, что на синей игральной кости выпадет число   3  ,   а на красной

игральной кости выпадет число   4 .   Поскольку,

то в рассматриваемом случайном эксперименте по подбрасыванию двух игральных костей 

формула (4)верна.

      В заключение приведем ещё одну иллюстрацию применимости 

формулы для вероятности суммы двух событий и 

формулы для вероятности произведения двух независимых событий.

Пример 2. Два стрелка стреляют по мишени. Первый стрелок поражает мишень с вероятностью   

0,9 .   Второй стрелок поражает мишень с вероятностью   0,8 .   Найти вероятность того, что мишень

будет поражена.

      Решение. Обозначим буквой   A   случайное событие, состоящее в том, что в мишень попадает

первый стрелок, а буквой   B   обозначим случайное событие, состоящее в том, что в мишень

попадает второй стрелок. Тогда событие   A + B   означает, что мишень поражена, а событие    

  означает, что в мишень попали оба стрелка. По условиюP (A) = 0,9   и   P (B) = 0,8  а поскольку события   A   и   B   независимы, то в силу формулы (4)

      Воспользовавшись формулой (1), находим

      Ответ:   0,98

Контрольные вопросы:

1. 1. Какие события называют невозможными?

   2. Какие события называют достоверными?

   3. Какие события называют независимыми?

   4. Какие события называют несовместными?

   5. Сформулируйте и запишите теоремы сложения и умножения вероятностей.

(4)

Требования к содержанию отчета по работе:

Отчет о работе должен содержать тему и цель практического занятия.

В ходе работы должны быть выполнены предложенные задания.

Практическое занятие по теме:

Представление числовых данных. Прикладные задачи.

Цель: Закрепление теоретических знаний при решении задач на представление числовых данных. Решение прикладных задач.

Оборудование: Тетради для практических работ, раздаточный материал, мультимедийное оборудование, компьютерный класс с выходом в интернет.

Время выполнения: 1 час.

Содержание:

Задание 1:Вычислите плотность населения (с точностью до 1чел./км²) для различных континентов и в целом на планете и заполни таблицу. Численность населения (млн.чел.) и площадь (тыс.км²) для различных континентов представлена в таблице:

Плотность населения (чел./км²)

Европа

685

10532

Африка

510

30319

Азия

2700

44387

Северная и Центральная Америка

390

24249

Южная Америка

260

17832

Австралия

25

8510

Все континенты

Задание 2:При обработке статистических данных используются характеристики, для расчета которых применяют следующие формулы:

Среднее арифметическое

A_n=

Среднее геометрическое

G_n =

Среднее квадратичное

Q_n =

Среднее гармоническое

H_n=

Вычислите эти средние значения для рядов чисел, представленных в таблице ниже:

Задание 3:На рисунке изображена гистограмма числа учащихся, получивших данную оценку. Какие из утверждений, приведенных в таблице верны?

Теоретический материал:

Опр.Случайной величиной называется переменная величина, которая может принимать те или иные значения в зависимости от случая.

Опр.Функция, связывающая значения случайной величины с соответствующими им вероятностями, называется законом распределения дискретной случайной величины.

Опр.Полигоном частот называют зависимость, выражающую распределение величины Х по частотам или по относительным частотам.

Характеристики случайной величины:

Опр.Размах ( обозначается R ) - разница между наибольшим и наименьшим значениями случайной величины.

Опр.Мода ( обозначается М_о ) – наиболее часто встречающееся значение случайной величины.

Опр.Медиана ( обозначается М_е ) – это так называемое серединное значение упорядоченного ряда значений случайной величины.

ПримерВ детском обувном магазине за декаду было куплено 750 пар обуви. Кладовщик проводил статистическое исследование и с этой целью записывал размеры каждой пятой из затребованных пар. Эти числа составили следующий ряд данных: 23, 24, 16, 21, 18, 17, 20, 23, 18, 16, 19, 18, 22, 19, 21, 17, 24, 15, 23, 19, 16, 22, 18, 24, 19, 17, 22, 19, 15, 23, 21, 23, 19, 23, 17, 22,16, 19, 22, 18, 20, 15, 21, 23, 19, 18, 23, 22, 20, 17, 19, 23, 21, 24, 22, 23, 20, 22, 21, 18, 16, 19, 22, 23, 20, 24, 21, 19, 24, 16, 20, 23, 24, 18 22, 17, 15, 21, 24, 20, 19, 17, 21, 20, 15, 23, 24, 18, 16, 22, 23, 24, 21, 15, 23, 22, 20, 23, 19, 20, 17, 22, 19, 20, 24, 15, 23, 18, 22, 23, 15, 21, 24, 19, 18, 19, 17, 15, 19, 23, 20, 17, 22, 23, 20, 18, 22, 19, 20, 18, 19, 24, 18, 16, 21, 24, 17, 15, 20, 22, 21, 24, 22, 18, 22, 18, 24, 15, 21.

а) Постройте таблицу частот.
б) Определите моду ряда (самый распространенный размер).
в) Постройте диаграмму частот.
г) Найдите средний размер по этой выборке.

Решение.

а) Сначала при просмотре всей выборки выясним, какие в ней встречаются размеры, и расположим их в порядке возрастания: 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24. Далее подсчитаем количество пар каждого размера в выборке (т.е. частоту появления каждого размера) и сведем данные в таблицу

б) Мода данного ряда – число 23.

в) Воспользуемся данными таблицы для построения диаграммы частот, в которой по горизонтальной оси отложены номера имеющихся размеров, по вертикальной оси – количество пар каждого размера.

г) Найдем средний размер. Для этого сначала вычислим сумму всех членов ряда: 15 ·12 + 16 · 8 + 17· 11 + 18 · 16 + 19 · 19 + 20 · 15 + 21 · 13 + 22 · 19 + 23 · 20 + 24 ·16 = 3000, затем общее количество членов ряда. Это удобно сделать, сложив частоты: 12 + 8 + 11+ +16 + 19 + 15 + 14 + 19 + 20 + 16 = 150, далее, разделив первый результат на второй, получим средний размер: 3000 / 150= 20.

Примеры выполнения заданий:

Задание 1. На каждой из семи одинаковых карточек напечатана одна из следующих букв: Н, О, П, Р, С, Т, У. Найти вероятность того, что на пяти взятых наугад и расположенных в ряд карточках можно будет прочесть слово «СПОРТ» (события А).

Решение: общее число всевозможных исходов n=, а благоприятствует событию А лишь один, т.е. m=1, поэтому Р(А)=.

Задание 2. Найти математическое ожидание М(Х) дисперсию D(Х) и среднеквадратическое отклонение (Х) случайной величины Х, зная закон ее распределения:

Решение: математическое ожидание случайной величины Х:

По формуле вычисляем:

М(Х) = 0,2*0+0,4*1+0,3*2+0,08*3+0,02*4=0+0,4+0,6+0,24+0,08=0,42.

Дисперсия случайной величины Х:

D(Х) = М(Х²) – (М(Х))

Находим закон распределения для Х:

Математическое ожидание для Х:

М(Х²) = 0*0,2+1*0,4+4*0,3+9*0,08+16*0,02 = 0+0,4+1,2+0,72+0,32=2,64,

тогда по формуле дисперсия:

D(Х) = 2,64-(0,42)² = 2,4636.

Среднеквадратическое отклонение случайной величины Х:

(Х)=

По формуле вычисляем:

(Х)=

Статистические исследования числовых рядов.
Статистические характеристики числовых рядов

      Очень часто из-за дороговизны или слишком большого числа наблюдений невозможно получить полной информации об объектах, событиях или наблюдениях. По этой причине информацию получают на основе анализа части всего множества объектов, событий или наблюдений, называемой рядом числовых данных, рядом выборочных данных или, просто, выборкой.

      Выборка представляет собой конечный ряд чисел (выборочных данных), количество чисел в котором называют объемом выборки.

      Для обеспечения достоверности информации об объектах, событиях или наблюдениях, полученных на основе статистических исследований числовых рядов (анализа выборочных данных), отбор выборочных данных должен носить случайный характер и иметь достаточно большой объем, то есть выборка должны быть репрезентативной (представительной).

      Статистические исследования числовых рядов (рядов чисел, рядов выборочных данных) удобно проводить в соответствии со следующей схемой, которую мы изложим на примере следующей выборки   X :

Определяем объем выборки (число чисел в числовом ряде).

В числовом ряде (1) десять чисел, поэтому объем выборки равен   10.

2. Вычисляем среднее арифметическое числового ряда   X   (среднее выборочное значение), которое обозначают .

Для числового ряда (1)

3. Производим упорядочение числового ряда по возрастанию (ранжирование числовых данных). Полученный числовой ряд, который обозначим   X₁ ,   называют вариационным рядом.

Для числового ряда   X   вариационный ряд   X₁   имеет следующий вид:

X₁ = {3,12;   3,12;   3,12;   3,24;   3,24;   3,25;   3,34;   3,37;   3,44;   3,44}

4. Вычисляем размах числового ряда   X ,   то есть разность между наибольшим числом из числового ряда и наименьшим числом из числового ряда.

В числовом ряде   X ,  как и в вариационном ряде   X₁ ,   число   3,44   является наибольшим числом, а число   3,12   является наименьшим числом. Поэтому размах числового ряда   X   равен

3,44 – 3,12 = 0,32

5. Вычисляем медиану числового ряда.

В случае, когда объем выборки (число членов числового ряда) – чётное число, медианой числового ряда является число, равное половине суммы двух чисел, стоящих в середине вариационного ряда.

Число членов ряда   X   равно чётному числу   10 ,   а в середине вариационного ряда   X₁  стоят числа   3,24   и   3,25 .   Поэтому медиана числового ряда, которую обычно обозначают символом   Me ,   равна

В случае, когда объем выборки (число членов числового ряда) –нечётное число, медианой числового ряда является число, стоящее в середине вариационного ряда.

Например, медианой числового ряда{2;   3;   7;   9;   15}является число   7 .

6. Составляем таблицу частот числового ряда.

Если взглянуть на числа (выборочные данные), составляющие вариационный ряд   X₁ ,   то можно заметить, некоторые числа повторяются, а другие встречаются лишь по одному разу. Это наблюдение приводит к следующему определению.

Определение 1. Если выборочное данное встречается в вариационном ряде   m   раз, то число   m  называют частотой (абсолютной частотой) этого выборочного данного.

Воспользовавшись определением 1, сформируем для числового ряда   X   таблицу, содержащую две строки, которую называют таблицей частот (абсолютных частот) числового ряда. Для этого в первой строке таблицы запишем числа, составляющие вариационный ряд   X₁ ,   причем запишем числа в порядке возрастания и без повторений. Во второй строке таблицы запишем частоты (абсолютные частоты), соответствующие числам из первой строки таблицы.

Таблица частот числового ряда

Замечание. Сумма частот, то есть сумма чисел, записанных во второй строке таблицы частот числового ряда, равна объему выборки (числу чисел в числовом ряде). В рассматриваемом случае это число   10 .

7. Составляем таблицу относительных частот (в процентах).

Определение 2. Относительной частотой (в процентах) выборочного данного называют число процентов, которое составляет частота этого выборочного данного от всего объема выборки (количества членов числового ряда).

Для того, чтобы сформировать таблицу относительных частот числового ряда, заменим частоты, записанные во второй строке таблицы частот числового ряда, на соответствующие им относительные частоты. В результате получим следующую таблицу.

Таблица относительных частот (в процентах)

8. Находим моду числового ряда.

Определение 3. Модой числового ряда называют выборочное данное с наибольшей частотой.

Из таблицы частот числового ряда видно, что модой числового ряда   X   является число   3,12 ,  поскольку его частота   3   является наибольшей. Очевидно, что и относительная частота этого выборочного данного является самой большой   (30%) .

Замечание. Объем выборки, среднее выборочное значение, размах, медиана и мода числового ряда являются одними из статистических характеристик числовых рядов.

Контрольные вопросы:

1. Что называют случайной величиной?

2. Что представляет собой закон ее распределения?

3. Назовите числовые характеристики случайной величины, объясните, что они означают

Требования к содержанию отчета по работе:

Отчет о работе должен содержать тему и цель практического занятия.

В ходе работы должны быть выполнены предложенные задания.

Список используемой литературы:

Основные источники:

1. Башмаков М.И. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия: учебник для студентов профессиональных образовательных организаций, осваивающих профессии и специальности СПО. – М.,2017

2. Башмаков М.И. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия: Сборник задач профильной направленности: учеб. пособие для студентов профессиональных образовательных организаций, осваивающих профессии и специальности СПО. – М.,2017

3. Башмаков М.И. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия: Задачник: учеб. пособие для студентов профессиональных образовательных организаций, осваивающих профессии и специальности СПО. – М.,2017

Дополнительные источники

1. Башмаков М.И. Математика: алгебра и начала математического анализа,геометрия: Электронный учеб.- метод. комплекс для студентов профессиональных образовательных организаций, осваивающих профессии и специальности СПО. – М.,2017

2. Гусев В.А., Григорьев С.Г., Иволгина С.В. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия: учебник для студентов профессиональных образовательных организаций, осваивающих профессии и специальности СПО. – М.,2017

3. Математика: алгебра и начала анализа, геометрия: учебное пособие для студентов учреждений проф. Образования / М.И. Башмаков. – М. : Издательский центр «Академия», 2016.

4. Математика. Задачник: учеб. пособие для студ. учреждений сред. проф. образования/М.И. Башмаков. – М. : Издательский центр «Академия», 2014.

5. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни/[С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин] – М. : Просвещение, 2012.

6. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни//[С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин] – М. : Просвещение, 2012.

7. Геометрия. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни/[Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.] – М. : Просвещение, 2012.

Интернет-ресурсы

1. www.fcior.edu.ru (Информационные, тренировочные и контрольные материалы).

2. www.school-collection.edu.ru (Единая коллекции цифровых образовательных ресурсов).

23