Методичка по решению дробно-рациональных неравенств методом интервалов Задание 15 (ЕГЭ)

Методичка по решению дробно-рациональных неравенств методом интервалов

Задание 15 (ЕГЭ)

Составила:

Мокина Вера

Сергеевна,

учитель математики

МАОУ гимназия №83

г. Тюмень

Содержание

1.   Общий метод решения неравенств вида > 0

2.    Алгоритм решения рациональных неравенств методом интервалов

3.     Решение дробно-рациональных неравенств.

4.    Решение неравенств смешанного типа.

5.     Задачи для самостоятельного решения.

       Данное пособие содержит методические рекомендации по решению неравенств методом интервалов.  На примерах раскрывается метод интервалов при решении неравенств, содержащих разные элементарные функции. Приводится алгоритм для решения методом интервалов, примеры решений разнообразных неравенств и задачи для дополнительного решения, снабженные ответами. Предназначено для учащихся старших классов.

1.    Общий метод решения неравенств вида > 0

Пусть заданное неравенство имеет вид > 0. Вместо знака > могут быть знаки <,≤, ≥, а функция в знаменателе может быть постоянной, либо оно приведено к этому виду с помощью правил преобразования неравенства в равносильное (основные свойства неравенств):

а) можно прибавлять (вычитать) одно и то же число к обеим частям неравенства;

б) обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же

положительное число. Неравенство при этом сохраняет свой знак;

в) обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же

отрицательное число. Неравенство при этом меняет свой знак на обратный;

г) если для одних и тех же значений х справедливы неравенства g(x)>0, q(x)>0 и g(x)> q(x), то для тех же значений x верно неравенство

 (g ( х))ⁿ > (q (х ))ⁿ.

2.     Алгоритм решения рациональных неравенств методом интервалов

1.            Переносим все в левую часть, справа оставляем только ноль;

2.            Находим ОДЗ;

3.            Разложим числитель и знаменатель на множители;

4.            Наносим на ось все числа, при которых каждый множитель обращается в ноль;

5.            Берем произвольный 𝑥 из одного из промежутков и определяем знак в интервале, чередуем знаки, обращая внимание на числа, при которых каждый множитель обращается в ноль, повторяющиеся в неравенстве несколько раз, от четности или нечетности количества раз их повторения зависит, меняется знак при прохождении через них или нет; можно не подставлять значения из каждого интервала для определения знака, а можно определить знак в одном из интервалов, а в остальных просто чередовать знаки;

6.            В ответ пишем интервалы, соблюдая выколотые и не выколотые точки (смотри ОДЗ), ставя необходимые виды скобок между ними.

Пример 1.

            ОДЗ: х 

,  

    ,      ,     ,

с          7

, 7         ,   у=                                                                                                                             

х               1                             

Ответ: (-

Пример 2

D =1, х₁ = 3, х₂ = 4

Ответ: [0;1], (3;4)

Пример 3

ОДЗ: Х, Х

Пусть с =, с

С =1                           2

 = 1                        2

Х = 0                         1

Ответ: , (1;

Пример 4

 = с, с

D = 81, с =-3, с = 6,

с

                        6

Х                          

Ответ: (-

Пример 5

ОДЗ: Х

Пусть у = ,  

 = 0

D = 64, у =7, у =15, = (у-7)(у -15)

У

                                       

                                                      

4 – х²                    4 – х²                                      4 – х²

Х²                        - 4 - х²                                     – х² 

Х или                   х                                х²

Х                     х                                 х = 0

Ответ: (-

Пример 5

ОДЗ: , Х

Пусть у =

D = 25, У = 1, У = ,  -3(У-1)(У-)

D = 9, у =2,у =5, 

1                          

1                           

0                  

Ответ: [0;

Реши самостоятельно:

1.  

2. 

3. 

4.  

Литература

1. ЕГЭ. Математика. Профильный уровень: типовые экзаменационные варианты: 36 вариантов / под ред. И.В. Ященко. - М.: Издательство «Национальное образование», 2019 256 с.

2.Открытый банк заданий ЕГЭ. Режим доступа: http://www.fipi.ru

Краткое описание документа:

Приводится алгоритм для решения методом интервалов, примеры решений разнообразных неравенств и неравенства для дополнительного решения. Данная работа будет интересна для учащихся старших классов.