Методика введения темы "Параллельные прямые в пространстве". Геометрия. (10 класс)

Параллельные прямые в пространстве

Введем понятие параллельных прямых в пространстве.

Определение. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Параллельность прямых a и b обозначается так: .

На рисунке a и b параллельны,
а прямые a и c, a и d не параллельны.

Докажем теорему о параллельности прямых.

Теорема. Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

Доказательство.
Рассмотрим прямую а и точку M, не лежащую на этой прямой.
Через прямую а и точку М проходит плоскость, и притом только одна (Следствие 1).
Обозначим эту плоскость буквой .

Прямая, проходящая через точку  параллельно прямой , должна лежать в одной плоскости с точкой  и прямой , т.е. должна лежать в плоскости . Но в плоскости , как известно из курса планиметрии, через точку М проходит прямая, параллельная прямой а, и притом только одна.
На рисунке эта прямая обозначена буквой b.
Итак, b – единственная прямая, проходящая через точку М параллельно прямой а.
Теорема доказана.

В дальнейшем нам понадобятся также понятия параллельных отрезков, параллельных отрезка и прямой, параллельных лучей.
Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых. Аналогично определяется параллельность отрезка и прямой, а также параллельность двух лучей.

На рисунке отрезки CD и EF параллельны , а отрезки AB и CD не параллельны, отрезок AB параллелен прямой а .

Параллельность трех прямых

Лемма о пересечении плоскости параллельными прямыми.
Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

Из курса планиметрии известно, что если 3 прямые лежат в одной плоскости и две из них параллельны третьей прямой, то эти две прямые параллельны. Аналогичное утверждение имеет место и для трех прямых в пространстве. Сформулируем и докажем это утверждение.

Теорема. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Доказательство.
Пусть  и . Докажем, что .
Для этого нужно доказать, что прямые а и b:
1) лежат в одной плоскости;
2) не пересекаются.
1. Отметим какую-нибудь точку К на прямой b и обозначим буквой  плоскость, проходящую через прямую а и точку К.

Докажем, что прямая b лежит в этой плоскости.
Действительно, если допустить, что прямая b пересекает плоскость , то по лемме о пересечении плоскости параллельными прямыми прямая c  также пересекает плоскость .
Но так как прямые а и с параллельны, то и прямая а пересекает плоскость , что невозможно, ибо прямая а лежит в плоскости .
2. Прямые а и b не пересекаются, так как в противном случае через точку их пересечения проходили бы две прямые (а и b), параллельные прямой с, что невозможно.
Теорема доказана.

Методика введения темы «Параллельные прямые в пространстве»

Деятельность учителя	Деятельность ученика
Введем понятие параллельных прямых в пространстве. Определение. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Параллельность прямых a и b обозначается так: .
Какие прямые на рисунке параллельны, а какие не параллельны?	На рисунке прямые a и b параллельны, а прямые a и c, a и d не параллельны.
Докажем теорему о параллельности прямых. Теорема. Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна. Что нам дано? Что нужно доказать? Доказательство: 1) Каким следствием из аксиомы мы воспользуемся, чтобы доказать, что существует единственная плоскость, которая проходит через прямую и точку, не лежащую на прямой? Запишем:  (по ) 2) Прямая, проходящая через точку  параллельно прямой , должна лежать в одной плоскости с точкой  и прямой , т.е. должна лежать в плоскости . Запишем: Что из этого следует? 3) Но в плоскости , как известно из курса планиметрии, через точку М проходит прямая, параллельная прямой а, и притом только одна. На рисунке эта прямая обозначена буквой b. . Итак, b – единственная прямая, проходящая через точку М параллельно прямой а. Теорема доказана.	Дано: a – прямая Доказать: 1) 2) b – единственная Доказательство: 1) Аксиома 1: через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна. Следовательно .
В дальнейшем нам понадобятся также понятия параллельных отрезков, параллельных отрезка и прямой, параллельных лучей. Какие два отрезка называются параллельными? Аналогично определяется параллельность отрезка и прямой, а также параллельность двух лучей.	Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.
Какие отрезки на рисунке параллельны, а какие не параллельны?	На рисунке отрезки CD и EF  параллельны , а отрезки AB  и CD не параллельны, отрезок AB параллелен прямой а .
Лемма о пересечении плоскости параллельными прямыми. Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.
Из курса планиметрии известно, что если 3 прямые лежат в одной плоскости и две из них параллельны третьей прямой, то эти две прямые параллельны. Аналогичное утверждение имеет место и для трех прямых в пространстве. Попробуйте сформулировать это утверждение.	Теорема. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
Что нам дано? Что требуется доказать?	Дано: Доказать:
Доказательство: 1) Докажем, что прямые a и b лежат в одной плоскости. Отметим какую-нибудь точку К на прямой b и обозначим буквой  плоскость, проходящую через прямую а и точку К. 2) Пусть прямая b пересекает плоскость . Значит, по лемме о пересечении плоскости параллельными прямыми, прямая c  также пересекает плоскость . Запишем: Пусть          Что следует из этих утверждений? 3) Но так как прямые а и с параллельны, то и прямая а пересекает плоскость , что невозможно, ибо прямая а лежит в плоскости . Запишем: Следовательно? Получаем противоречие, т.к. . 4) Докажем теперь, что прямые а и b не пересекаются. Предположим, что они пересекаются. Запишем: . Из этого следует, что через точку их пересечения проходят две прямые (а и b), параллельные прямой с: Получаем противоречие. Теорема доказана.	Следовательно  (по лемме) Следовательно  (по лемме).
Упражнение 1. Какие две прямые на плоскости называются параллельными? Какие две прямые в пространстве  называются параллельными?
Упражнение 2. Что означают слова: «Прямые лежат в одной плоскости»?
Упражнение 3. Покажите рукой в аудитории прямые, через которые нельзя провести плоскость.
Упражнение 4. Сколько плоскостей можно провести через две параллельные прямые?
Упражнение 5. Прямая . Верно ли, что ?
Упражнение 6. В параллелепипеде A… перечислите все пары параллельных ребер.
Упражнение 7. Даны две параллельные прямые. Будут ли все прямые, пересекающие обе данные прямые, лежать в одной плоскости? Почему?
Упражнение 8. Верно ли для пространства утверждение, справедливое на плоскости: «Две прямые, перпендикулярные двум параллельным прямым, параллельны»?
Упражнение 9. Сколько пар параллельных ребер имеет: а) тетраэдр; б) треугольная призма; в) октаэдр?
Упражнение 10. Даны две параллельные прямые и точка, не принадлежащая им. Установите, принадлежит ли точка плоскости этих прямых.