Нахождение площадей многоугольников, изображенных на клетчатой бумаге

Министерство образования и науки Республики Бурятия

МО «Прибайкальский район»

Муниципальное образовательное учреждение

«Таловская средняя общеобразовательная школа»

Нахождение площадей многоугольников, изображенных на клетчатой бумаге

Исполнитель:  Бодиев Александр

ученик 8 «А» класса

Научный руководитель: Громова Марина Александровна

учитель математики МОУ «Таловская СОШ»

2017

Оглавление

Введение	3
Глава 1.  Нахождение площадей многоугольников, изображенных на клетчатой бумаге	4
1.1  Способы нахождения площади многоугольника,                            изображенного на клетчатой бумаге	4
1.2  Нахождение площади многоугольников, используя формулы геометрии	4-5
1.3  Разбиение многоугольника на части. Площадь многоугольника как сумма площадей его частей	5-6
1.4  Площадь многоугольника как часть площади прямоугольника	6
1.5  Подсчет клеток	7
1.6  Формула Пика	7
Глава 2. Анализ способов нахождения площадей многоугольников, изображенных на клетчатой бумаге	8
2.1     Анализ заданий №12 из  основного государственного экзамена, заданий №8  базового и заданий №3 профильного уровней  единого государственного экзамена. Анализ типичных ошибок при сдаче экзамена по математике.	8
2.2             Выявление знаний о способах нахождения площадей многоугольников, изображенных на клетчатой бумаге	9
Заключение	10
Список использованной литературы	11
Приложения	12

Введение

Тема «Площади многоугольников» является неотъемлемой частью школьного курса математики. Нахождение площадей многоугольников используется в планиметрии и стереометрии при решении задач. Тема «Площади фигур» изучается в основной школе в 8-9 классах. Несмотря на достаточно серьезные исследования в области методики обучения математике, усвоение школьниками темы «Площадь» вызывает определенные трудности. Об этом свидетельствуют опыт работы учителей, систематическое изучение качества знаний учащихся и результаты выпускных экзаменов. Актуальность моей работы определяется тем, что учащихся школ необходимо вооружить эффективными методами нахождения площадей многоугольников, изображенных на клетчатой бумаге.

Цель исследования: найти эффективные способы решения задач на нахождение площадей многоугольников, изображенных на клетчатой бумаге.

Объект исследования: многоугольники, изображенные на клетчатой бумаге. Предмет исследования: нахождение площадей многоугольников, изображенных на клетчатой бумаге. Гипотеза исследования: умение применять разные способы нахождения площадей многоугольников, изображенных на клетчатой бумаге, позволит учащимся решать геометрические задачи правильно и быстрее.

Задачи исследования: Провести сравнительно-сопоставительный анализ: литературы по проблеме исследования, структуры КИМ ОГЭ и ЕГЭ  по математике,  результаты ОГЭ и ЕГЭ за 2015-2016 гг. Описать сущность способов нахождения площадей многоугольников, и найти площади многоугольников этими методами. Провести эксперимент и сделать выводы о способах нахождения площадей многоугольников.

Практическая значимость исследования состоит в том, способы нахождения площадей многоугольников, изображенных на клетчатой бумаге, пригодятся при выполнении  заданий ОГЭ и ЕГЭ по математике.

Глава 1.  Нахождение площадей многоугольников, изображенных на клетчатой бумаге

1.1 Способы нахождения площади многоугольника,                            изображенного на клетчатой бумаге

За единицу измерения площади многоугольника принимается квадрат со стороной, равной единице измерения его длины. Он называется единичным квадратом. Найти площадь произвольного многоугольника, изображенного с вершинами в узлах клеток, можно разными способами: 1. Нахождение площади многоугольников, используя формулы геометрии. 2. Разбиение многоугольника на части. Площадь многоугольника как сумма площадей его частей. 3.  Площадь многоугольника как часть площади прямоугольника. 4.Подсчет клеток. 5. Формула Пика. Рассмотрим данные способы подробнее.

1.2 Нахождение площадей многоугольников, используя формулы геометрии

Чтобы решить задачи по геометрии, надо знать формулы — такие, как площадь треугольника,  площадь параллелограмма, площадь трапеции и т.д. Основные формулы представлены в Приложении №1. Рассмотрим несколько задач и решим их с помощью этих формул.

Задача 1. На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1х1 изоб­ражён па­рал­ле­ло­грамм. Най­ди­те его пло­щадь.

Решение: Площадь параллелограмма находится по формуле: , где а- основание, а h- высота параллелограмма.

В нашем параллелограмме, а = 6 -  основание,

а h = 3 - высота. Следовательно,  площадь параллелограмма: 

 .            Ответ: 18.

Задача 2. На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1×1 изоб­ражён тре­уголь­ник. Най­ди­те его пло­щадь.

Решение: площадь произвольного треугольника находится по формуле: ,  где а – основание,  h – высота треугольника. В нашем треугольнике, а = 7 -  основание, а h = 4 - высота. Следовательно,  площадь треугольника:

                 Ответ: 14.

Задача 3. На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1х1 изоб­ра­же­на тра­пе­ция. Най­ди­те её пло­щадь.

Решение: площади трапеции находится по формуле: ,   где a и b – основания, h – высота трапеции

В нашей трапеции, а = 7, b =3  -  основания, а h = 2 - высота. Следовательно,  площадь трапеции: .               Ответ: 14.

1.3 Разбиение многоугольника на части. Площадь многоугольника как сумма площадей его частей

⇒

⇒

Площадь  многоугольника можно находить, разбивая его на части. Если линии разбиения проведена по линиям сетки, то площадь многоугольника будет равна сумме площадей  треугольников и прямоугольников. S_иск=S₁+S₂+S₃

a

Задача 4. Пло­щадь одной клет­ки равна 1. Най­ди­те пло­щадь за­кра­шен­ной фигу­ры.  

Решение: Разбить многоугольник на части удобнее  по линии a, то площадь многоугольника будет равна сумме площадей  трапеции и треугольника.

.     

      Ответ: 8.

1.4   Площадь многоугольника как часть площади прямоугольника

В некоторых случаях невозможно найти площадь многоугольника, используя только описанные выше формулы. И нахождение площади целой фигуры по сумме площадей ее частей оказывается слишком громоздким. Можно попытаться описать около данного многоугольника  - прямоугольник так, чтобы вершины прямоугольника совпадали с вершинами построенного прямоугольника или лежали на его сторонах. Площадь искомой фигуры будет равна разности площади построенного прямоугольника (квадрата) и площадей оставшихся частей.

Задача 5. На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1х1 изоб­ра­же­на фигура. Най­ди­те её пло­щадь.

Решение: Заключим нашу фигуру АВСD в квадрат. И из площади квадрата вычтем площади полученных фигур (1, 2 и 3):

                                              

1.5   Подсчет клеток

Подчитаем количество полных клеток внутри данного многоугольника. Дополним неполные клетки друг другом до полных клеток. Сложим полученные количества полных клеток.

Задача 6. На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1x1 изоб­ра­же­на фи­гу­ра. Най­ди­те её пло­щадь.

Решение: Подчитаем количество полных клеток внутри данного многоугольника, это и будет площадь. Получилось 11 клеток, значит                            Ответ: 11.

В данной задаче удобно было подсчитать клетки, потому что они целые, но не всегда данный способ удобен, на рисунке не целые клетки.

1.6  Формула Пика

Формула Пика была открыта австрийским математиком Георгом Пиком в 1899 году Приложении №2. Эта формула для нахождения площади многоугольника с вершинами, расположенными в узлах клетки. Узлами -  называются точки пересечения вертикальных и горизонтальных линий. Формула Пика связывает площадь  многоугольника с количеством узлов, лежащих внутри и на границе многоугольника. Данную формулу в школьном курсе геометрии не изучают.        Формула Пика:           где В— количество внутренних точек (узлов) многоугольника, Г— количество граничных точек (узлов) многоугольника.

Задача 7. На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1x1 изоб­ра­же­н треугольник. Най­ди­те его пло­щадь. Решение: Подчитаем количество внутренних узлов (В) – 12, количество граничных (Г) – 4,                           Ответ: 13.

Глава 2.  Анализ способов нахождения площадей многоугольников, изображенных на клетчатой бумаге

Мы убедились, что возможны различные способы нахождения фигур на клетчатой бумаге. Можно находить площади фигур, используя формулы геометрии (но для этого надо знать эти формулы и уметь ими пользоваться).  Можно находить площади частей фигур, а затем уже площадь целой фигуры. Можно дополнять фигуру до прямоугольника и из него вычитать «лишние»  части (в некоторых случаях эти способы применить очень трудно, да и вычисления занимают много  времени).

2.1   Анализ заданий №12 из  основного государственного экзамена, заданий №8  базового и заданий №3 профильного уровней  единого государственного экзамена. Анализ типичных ошибок при сдаче экзамена по математике

Проанализированы общие цифры ОГЭ и ЕГЭ по математике профильного и базового уровней, а также распределение заданий экзаменационной работы по содержательным блокам курса математики. Анализ текстов ОГЭ и ЕГЭ показал, что задания, по нахождению площадей многоугольников, изображенных на клетчатой бумаге, встречаются каждый год. В 2015-2016 году в контрольно-измерительных материалах по математике содержат задания: №12 из  ОГЭ, №8  базового и №3 профильного уровней  ЕГЭ, в которых нужно найти площадь многоугольников, изображенных на клетчатой бумаге. Задание не сложное, необходимо внимательно посчитать количество клеток и при необходимости выполнить действие.  Однако, проанализировав протоколы проверки государственного экзамена по математике за 2015-2016, можно сделать вывод, что процент выполнения заданий -  недостаточно высокий (70,2%). Анализ ответов участников экзамена показывает, что учащиеся часто выполняют  эти задания, используя формулы нахождения площадей, редко используют другие способы нахождения площадей. А часть учащихся, вообще данные задания не выполняют или выполняют, но допускают ошибки, так как плохо знают формулы площадей.

2.2 Выявление знаний о способах нахождения площадей многоугольников, изображенных на клетчатой бумаге

Изучив различные  способы  нахождения площадей фигур, изображенных на клетчатой бумаге, мы решили провести исследование и выяснить, с помощью какого способа находят площадь многоугольников, изображенных на клетчатой бумаге учащиеся нашей школы.  

Учащимся нашей школы 9 а, 9 б, 11 классов (16, 13 и 17 человек соответственно) нужно было решить семь задач. Приложение №3.   Выяснилось, что большинство учащихся находят площадь с помощью формул площадей и формул суммы площадей его частей.

Учащимся нашей школы 9 а, 9 б, 11 классов (16, 13 и 17 человек соответственно) мы напомнили и объяснили способы нахождения площадей фигур на клетчатой бумаге, описанные в пунктах 1.1-1.5. А также, познакомили старшеклассников с формулой Пика (пункт 1.6) и предложили решить те же самые задачи, но, уже используя, новую формулу. После чего мы проанализировали выполнение учащимися данных работ. Результаты эксперимента представлены в таблицах Приложении №4.  

Заключение

Практика преподавания в школе по различным учебникам, сменяющим друг друга, убеждает в том, что, степень усвоения материала учениками невысока.   Окончив девять классов и изучив планиметрию, ученик должен, казалось бы, решать любую задачу в данном курсе. Однако учащиеся не только не умеют решать задачи, но даже боятся за них браться, т.к. на экзаменах по математике задачи по геометрии являются самым сложным заданием. Проведенный эксперимент показал, что:

1)           ранее ни один из учащихся не был знаком с формулой Пика;

2)           при решении задач знакомыми  способами 56% учеников допустили ошибки;

3)           при решении задач, используя формулу Пика, ошибки допустили уже  32 %, тем самым снизив показатель «ошибочности»  на 24%, за первый раз;

Вывод: Существует несколько различных способов на нахождение площадей фигур, изображенных на клетчатой бумаге. Мы рассмотрели основные из них. В процесс работы над темой исследования мы выполнили цели и задачи, которые поставили перед собой в начале. Все задачи, представленные в нашей работе, взяты из открытого банка задач  для подготовки к ОГЭ и  ЕГЭ  «Открытый  банк заданий по математике».

Гипотеза, выдвинутая в начале исследования о том, что   умение применять разные способы нахождения площадей многоугольников, изображенных на клетчатой бумаге, позволит учащимся решать геометрические задачи правильно и быстрее получила положительные подтверждения.

 Таким образом, подтвердилась и актуальность нашей работы, она будет полезна при подготовке к  выпускным экзаменам  по математике в 9 и 11 классах (ОГЭ и ЕГЭ).

Список использованной литературы

1.      Смирнов В.А., Смирнова И.М., Ященко И.В. Наглядная геометрия. - М., МЦНМО, 2013.

2.      Открытый банк заданий ЕГЭ 2017 по математике http://85.142.162.119/os11/xmodules/qprint/index.php?proj=AC437B34557F88EA4115D2F374B0A07B

3.      Открытый банк заданий ЕГЭ 2016 по математике. – [Электронный ресурс] – URL: http://mathege.ru/or/ege/Main.html?level=2

4.      Смирнова И. М., Смирнов В. А. Геометрия на клетчатой бумаге. – М.: Чистые пруды, 2009.

5.      Смирнова И. М., Смирнов В. А. Геометрические задачи с практическим содержанием. – М.: Чистые пруды, 2010.

6.      Википедия. Формула Пика. – [Электронный ресурс] – URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D0%B0_%D0%9F%D0%B8%D0%BA%D0%B0

7.      Википедия. Пик. Георг. – [Электронный ресурс] – URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B8%D0%BA,_%D0%93%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B3 (дата обращения 20.01.2015г.)

8.      Рисс Е. А. , Жарковская Н. М. , Геометрия клетчатой бумаги. Формула Пика. - Москва, 2009, № 17, с. 24-25.

9.      Простая физика.– [Электронный ресурс] – URL: http://easy-physic.ru/ploshhadi-figur-po-formule-pika/

10. bitClass^β – [Электронный ресурс] – URL: http://www.bitclass.ru/math/theory/%D0%93%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F/%D0%A4%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D0%B0_%D0%9F%D0%B8%D0%BA%D0%B0

Приложение №1

Приложение №2

Георг Алекса́ндр Пик (10 августа 1859 — 13 июля 1942) — австрийский математик, родился в еврейской семье.

Георга, который был одарённым ребёнком, обучал отец, возглавлявший частный институт. В 16 лет Георг окончил школу и поступил в Венский университет. В 20 лет получил право преподавать физику и математику. 

16 апреля 1880 года Пик защитил докторскую диссертацию «О классе абелевых интегралов». В 1881 году он получил место ассистента у Эрнста Маха, который занял кафедру физики в Пражском университете. В Немецком университете в Праге в 1888 году Пик получил место экстраординарного профессора математики, затем в 1892-м стал ординарным профессором. В 1900—1901 годах занимал пост декана философского факультета. В 1910 году Георг Пик был в комитете, созданном Немецким университетом Праги для рассмотрения вопроса о принятии Альберта Эйнштейна профессором в университет. Пик и физик Антон Лампа  были главными инициаторами этого назначения, и благодаря их усилиям Эйнштейн, с которым Пик впоследствии сдружился, в 1911 году возглавил кафедру теоретической физики в Немецком университете в Праге. Круг математических интересов Пика был чрезвычайно широк. Широкую известность получила открытая им в 1899 году теорема Пика для расчёта площади многоугольника. В Германии эта теорема включена в школьные учебники. После того как Пик вышел в отставку в 1927 году, он получил звание почётного профессора и вернулся в Вену — город, в котором он родился. Однако в 1938 году 12 марта он вернулся в Прагу. За десять лет до того в 1928 году Пик был избран членом-корреспондентом Чешской академии наук и искусств, но в 1939-м, когда нацисты заняли Прагу, он был исключён из академии. 13 июля 1942 года Пик был депортирован в созданный нацистами в северной Чехии лагерь Терезиенштадт, где умер две недели спустя в возрасте 82 лет.

Приложение №3.  

1.            Найдите площадь трапеции ABCD.

2.            Найдите площадь трапеции ABCD.

3.            Найдите площадь четырехугольника ABCD.

4.            Найдите площадь четырехугольника ABCD.

5.   Найдите площадь параллелограмма ABCD.

      

6.   Найдите площадь треугольника ABC.

      

7.       Найдите площадь четырехугольника ABCD.

Приложение №4.  

Общие результаты  нашего исследования:

	Доля учеников, допустивших ошибки (%)
	решение  знакомым способом	решение по формуле Пика
9 а кл. (16 уч.)	55%	40%
9 б  кл. (13  уч)	60%	50%
11 кл. (17 уч)	52%	36%
Всего (46  уч)	56%	42%

	Количество ошибок, допущенных  учениками
	Решение знакомым способом, N	Решение по формуле Пика, n	N/n
9 а кл. (16 уч.)	34	16	2,1
9 б  кл. (13  уч)	37	13	2,8
11 кл. (17 уч)	24	12	2
Всего (46  уч)	32	14	2,3

	Количество, безошибочных работ
	Решение знакомым способом, P	Решение по формуле Пика, p	Р/p
9 а кл. (16 уч.)	8	6	1,3
9 б  кл. (13  уч)	5	4	1,3
11 кл. (17 уч)	9	7	1,3
Всего (46  уч)	22	17	1,3

Приложение №5.

Ответы к задачам из приложения №3

1.            Найдите площадь трапеции ABCD.

1 способ. S пр=3*4=12, Sтр=3*2:2=3  Sф=12-3=9

2 способ (формула Пика).  В=5 Г=10 S=5+10/2-1=9

2.            Найдите площадь трапеции ABCD.

1 способ. S пр = 4*5 =20

 Sтр1=2*2:2=2

Sтр2=2*1:2=1 

Sтр3=4*4:2=8

Sф= Sпр -Sтр1- Sтр2 –Sтр3=20-2-1-8=9

2 способ (формула Пика). В=5  Г=10 S=10:2+5-1= 9

3.            Найдите площадь четырехугольника ABCD

1 способ. S пр=4*4=16

Sтр1=3*2:2=3

Sтр2=1*2:2=1

Sтр3=1*2:2=1

Sтр4=3*2:2=3

Sф=Sпр- Sтр1- Sтр2- Sтр3- Sтр4=16-3-1-1-3=8

 2способ (формула Пика). В=7 Г=4 S=4:2+7-1=8

4.            Найдите площадь четырехугольника ABCD

1способ. S пр = 4*4=16

Sтр1= 4*1:2=2

Sтр2=2

Sтр3=1*2:2=1

Sтр4=1

Sкв=2*2=4

Sф=Sпр-Sтр1-Sтр2-Sтр3-Sкв=16-2-2-1-1-4=6

2 способ (формула Пика). В=5 Г=4 S=4:2+5-1=6

5.   Найдите площадь параллелограмма ABCD

1способ. S=a*h=2*4=8

2способ (формула Пика). В=5 Г=8 S=8:2+5-1=8

6.            Найдите площадь треугольника ABC

1способ.S=a*h:2=3*4:2=6

2способ (формула Пика). В=3 Г=8 S=8:2+3-1=6

7.            Найдите площадь четырехугольника ABCD

1способ S=4*4=16

Sтр1=3*3:2=4,5

Sтр2=3*1:2=1,5

Sтр3=4*1:2=2

Sф=Sпр- Sтр1- Sтр2- Sтр3=16-4,5-1,5-2=8

2способ (формула Пика). В=6 Г=6 S=6:2+6-1=8