Научная работа по теме "фракталы"

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Школа №185»

Научное общество учащихся

Секция «Геометрия»

К вопросу о Фрактале в окружающем нас мире

                                                          Выполнила:

                                                     Королева

                                                                                Анастасия Романовна,

                                                                      ученица 8г класса.

Научный руководитель:

                                                                                        Белова Ольга

                                                                                         Вячеславовна,

                                                                                         учитель математики

Нижний Новгород

2017

Содержание:

Введение………………………………………………………………………….3

Глава 1. Фрактал и его появление ……………………………...…….......…..4-8

1.1   Фрактал…………………………………………………………....…….…4-5

1.2   Кривая Пеано и «Пыль Кантора» ……………………………..……......….6

1.3   Бенуа Мандельброт………...………………...…………………………..….7

1.4 Размерность…………………………………………….…………………….8

Глава 2 Применение фракталов…………………………….…………..……9-14

2.1 Природные фракталы…………………………………………………….9-10

2.2 Фрактальная графика…………………………………………….……..11-14

Глава 3. Построение фракталов……………………………………………15-16

3.1 Построение фрактала в программе UltraFractal………………………….16

Заключение……………………………………………………..…………   ….17

Источники………………………………………………………………………18Приложение…………………………………………………….……...……19-29

Приложение CD диск: Программа «Ultra Fractal 5.04»

Введение

Фрактал - математическое множество, обладающее свойством самоподобия. Это математическое понятие возникло ещё в 19 веке, но до сих пор не известно множеству людей. Моё знакомство с ним произошло примерно год назад, на курсах по математике. Именно тогда мне стало интересно для чего же нужен фрактал и где его можно встретить в повседневной жизни. Чтобы ответить на эти вопросы я решила провести эту исследовательскую работу

Цель работы – изучение и обобщение знаний о фрактале

Методы исследования: Сбор материала; анализ; обобщение.

В ходе работы были поставлены следующие задачи:

1.   Собрать материал по теме Фрактал

2.   Проанализировать и обобщить собранный материал.

3.   Распространить понятие «Фрактал» среди моих одноклассников

4.   Определить важность этой темы

5.   Ответить на поставленные вопросы

Практическая значимость: При решении олимпиадных задач мне не хватает только школьных знаний. Я хочу расширить свои знания на более высоком уровне. Дополнительные знания помогут мне при подготовке к математическим олимпиадам, при подготовки к ОГЭ и ГИА , на уроках алгебры и геометрии

Глава 1. Фрактал и его появление

1.1Фрактал

Фрактал (лат. fractus — дробленый, сломанный, разбитый) — термин, означающий сложную геометрическую фигуру, обладающую свойством самоподобия, то есть составленную из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком. В более широком смысле под фракталами понимают множества точек в евклидовом пространстве, имеющие дробную метрическую размерность (в смысле Минковского или Хаусдорфа) , либо метрическую размерность, строго большую топологической.

Фрактал - это математическое понятие многолокального и многоуровнего подобия самому себе. В частности, для геометрических фигур, понятие фрактал означает бесконечное подобное повторение исходной фигуры как равного размера, так и постройка подобных фигур меньших и больших масштабов из исходного геометрического элемента через наращивание подобными же элементами. Матрёшка - всем доступный вариант геометрического фрактала.

Слово «фрактал» употребляется не только в качестве математического термина. Фракталом может называться предмет, обладающий, по крайней мере, одним из указанных ниже свойств:

·        Обладает нетривиальной структурой на всех масштабах. В этом отличие от регулярных фигур (таких как окружность, эллипс, график гладкой функции): если рассмотреть небольшой фрагмент регулярной фигуры в очень крупном масштабе, то он будет похож на фрагмент прямой. Для фрактала увеличение масштаба не ведёт к упрощению структуры, то есть на всех шкалах можно увидеть одинаково сложную картину.

·        Является самоподобным или приближённо самоподобным.

·        Обладает дробной метрической размерностью или метрической размерностью, превосходящей топологическую.

В прошлом математики концентрировали внимание на множествах и функциях, для которых могут быть применены методы классических вычислений. Функции, которые не являются достаточно гладкими или регулярными, часто игнорировались как "патологические" и не стоящие изучения.

В последние годы отношение к негладким функциям (или нерегулярным множествам) изменилось, ибо нерегулярные функции (множества) обеспечивают значительно лучшее представление многих природных явлений, чем те, которые дают объекты классической геометрии.

Фрактальная геометрия связана с изучением таких нерегулярных множеств. Основной объект фрактальной геометрии - фракталы - находят применение, например, в компьютерном дизайне, в алгоритмах сжатия информации. Столь популярные ныне фрактальные объекты - порождение нашего компьютерного мира, и их сфера применения еще до конца не раскрыта.

В последние 20 лет фракталы стали очень популярны. Большую роль в этом сыграла книга франко-американского математика Бенуа Мандельброта "Фрактальная геометрия природы". Что же такое фрактал? В настоящее время нет однозначного определения "фрактала". Следуя Лаверье, фрактал - это геометрическая фигура, в которой один и тот же фрагмент повторяется при каждом уменьшении масштаба. Фракталы, обладающие этим свойством и получающиеся в результате простой рекурсивной процедуры (комбинации линейных преобразований), будем называть конструктивными фракталами. Таким образом, конструктивный фрактал - это множество, получающееся в результате линейных (аффинных) сжимающих отображений подобия. Результирующее сжимающее отображение обладает устойчивой неподвижной "точкой" - фракталом.

Наряду с конструктивными фракталами были обнаружены множества, которые похожи на фракталы. Как правило, подобные множества возникают в нелинейных динамических системах и, в первую очередь, в дискретных динамических системах. Их построение не так просто, как в случае конструктивных фракталов, и они могут обладать масштабной инвариантностью лишь приближенно. Подобные множества будем называть динамическими фракталами. В связи с этим Мандельброт ввел другое определение фрактала. Фрактал - это такое множество, которое имеет хаусдорфову (или фрактальную) размерность, большую топологической.

Естественно, это определение требует уточнения. В первом определении слово "фрактал" - это от латинского "fractus", означающее изломанный, Во втором определении оно связано с английским "fractional" - дробный.

Говоря о фракталах, довольно часто используют термины: "компьютерное искусство", "художественный дизайн", "эстетический хаос".

1.2 Кривая Пеано и «Пыль Кантора»

Первые идеи фрактальной геометрии возникли в 19 веке. Кантор с помощью простой рекурсивной (повторяющейся) процедуры превратил линию в набор несвязанных точек (так называемая Пыль Кантора). Он брал линию и удалял центральную треть и после этого повторял то же самое с оставшимися отрезками. Пеано нарисовал особый вид линии (см. приложение 1). Для ее рисования Пеано использовал следующий алгоритм.

Построение кривой Пеано 1,2,3, 4,...6 итерации.

На первом шаге он брал прямую линию и заменял ее на 9 отрезков длинной в 3 раза меньшей, чем длинна исходной линии (Часть 1 и 2 приложение 1 ). Далее он делал то же самое с каждым отрезком получившейся линии. И так до бесконечности. Ее уникальность в том, что она заполняет всю плоскость. Доказано, что для каждой точки на плоскости можно найти точку, принадлежащую линии Пеано. Кривая Пеано и пыль Кантора выходили за рамки обычных геометрических объектов. Они не имели четкой размерности. Пыль Кантора строилась вроде бы на основании одномерной прямой, но состояла из точек (размерность 0). А кривая Пеано строилась на основании одномерной линии, а в результате получалась плоскость. Во многих других областях науки появлялись задачи, решение которых приводило к странным результатам, на подобие описанных выше (Броуновское движение, цены на акции).

1.3           Бенуа Мандельброт

Вплоть до 20 века шло накопление данных о таких странных объектах, без какой-либо попытки их систематизировать. Так было, пока за них не взялся Бенуа Мандельброт - отец современной фрактальной геометрии и слова фрактал. Работая в IBM математическим аналитиком, он изучал шумы в электронных схемах, которые невозможно было описать с помощью статистики. Постепенно сопоставив факты, он пришел к открытию нового направления в математике - фрактальной геометрии.

Что же такое фрактал. Сам Мандельброт вывел слово fractal от латинского слова fractus, что означает разбитый (поделенный на части). И одно из определений фрактала - это геометрическая фигура, состоящая из частей и которая может быть поделена на части, каждая из которых будет представлять уменьшенную копию целого (по крайней мере, приблизительно).

Чтобы представить себе фрактал понаглядней рассмотрим пример, приведенный в книге Б.Мандельброта "The Fractal Geometry of Nature" ("Фрактальная геометрия природы") ставший классическим - "Какова длина берега Британии?". Ответ на этот вопрос не так прост, как кажется. Все зависит от длины инструмента, которым мы будем пользоваться. Померив берег с помощью километровой линейки мы получим какую-то длину. Однако мы пропустим много небольших заливчиков и полуостровков, которые по размеру намного меньше нашей линейки. Уменьшив размер линейки до, скажем, 1 метра - мы учтем эти детали ландшафта, и, соответственно длина берега станет больше. Пойдем дальше и измерим длину берега с помощью миллиметровой линейки, мы тут учтем детали, которые больше миллиметра, длина будет еще больше. В итоге ответ на такой, казалось бы, простой вопрос может поставить в тупик кого угодно - длина берега Британии бесконечна.

1.4            Размерность

В своей повседневной жизни мы постоянно встречаемся с размерностями. Мы прикидываем длину дороги, узнаем площадь квартиры. Это понятие вполне интуитивно ясно и, казалось бы, не требует разъяснения. Линия имеет размерность 1. Это означает, что, выбрав точку отсчета, мы можем любую точку на этой линии определить с помощью 1 числа - положительного или отрицательного. Причем это касается всех линий - окружность, квадрат, парабола и т.д.

Размерность 2 означает, что любую точку мы можем однозначно определить двумя числами. Не надо думать, что двумерный - значит плоский. Поверхность сферы тоже двумерна (ее можно определить с помощью двух значений - углов наподобие ширины и долготы).

Если смотреть с математической точки зрения, то размерность определяется следующим образом: для одномерных объектов - увеличение в два раза их линейного размера приводит к увеличению размеров (в данном случае длинны) в два раза (2^1).

Для двумерных объектов увеличение в два раза линейных размеров приводит к увеличению размера (например, площадь прямоугольника) в четыре раза (2^2).

Для 3-х мерных объектов увеличение линейных размеров в два раза приводи к увеличению объема в восемь раз (2^3) и так далее.

Попробуем посчитать размерность для кривой Пеано. Итак, у нас исходная линия, состоящая из трех отрезков длинны Х, заменяется на 9 отрезков втрое меньшей длинны. Таким образом, при увеличении минимального отрезка в 3 раза длина всей линии увеличивается в 9 раз и =2 - двумерный объект!!!

Глава 2 Применение фракталов

2.1 Природные фракталы

Природные объекты часто имеют фрактальную форму. Для их моделирования могут применяться стохастические (случайные) фракталы.

Примеры стохастических фракталов:

а) Траектория броуновского движения на плоскости и в пространстве;

Граница траектории броуновского движения на плоскости. В 2001 году Лоулер, Шрамм и Вернер доказали предположение Мандельброта о том, что её размерность равна 4/3.

б) Эволюции Шрамма-Лёвнера — конформно-инвариантные фрактальные кривые, возникающие в критических двумерных моделях статистической механики, например, в модели Изинга и перколяции.

Различные виды рандомизированных фракталов, то есть фракталов, полученных с помощью рекурсивной процедуры, в которую на каждом шаге введён случайный параметр. Плазма — пример использования такого фрактала в компьютерной графике (см. приложение 1 )

Так же, существуют природные объекты, обладающие фрактальными свойствами:

а)В живой природе: (см. приложения 1 )

·        Кораллы

·        Морские звезды и ежи

·        Морские раковины

·        Цветы и растения (брокколи, капуста )

·        Кроны деревьев и листья растений

·        Плоды (ананас)

·        Кровеносная система и бронхи людей и животных

б)В неживой природе: (см. приложения 1 )

·        Границы географических объектов (стран, областей, городов)

·        Береговые линии

·        Горные хребты

·        Снежинки

·        Облака

·        Молнии

·        Морозные узоры на оконных стёклах

·        Кристаллы

·        Сталактиты, сталагмиты, геликтиты

2.2 Фрактальная графика

Фрактальная графика является на сегодняшний день одним из самых быстро развивающихся и перспективных видов компьютерной графики. (см. приложение 1)

Математической основой фрактальной графики является фрактальная геометрия. Здесь в основу метода построения изображений положен принцип наследования от, так называемых, «родителей» геометрических свойств объектов-наследников.

Понятия фрактал, фрактальная геометрия и фрактальная графика, появившиеся в конце 70-х, сегодня прочно вошли в обиход математиков и компьютерных художников. Слово фрактал образовано от латинского "fractus" и в переводе означает «состоящий из фрагментов». Оно было предложено математиком Бенуа Мандель-Бротом в 1975 году для обозначения нерегулярных, но самоподобных структур, которыми он занимался.

Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому. Одним из основных свойств фракталов является самоподобие. Объект называют самоподобным, когда увеличенные части объекта походят на сам объект и друг на друга. Перефразируя это определение, можно сказать, что в простейшем случае небольшая часть фрактала содержит информацию обо всем фрактале.

Фрактальный треугольник, самоподобие, фрактал В центре фрактальной фигуры находится её простейший элемент — равносторонний треугольник, который получил название «фрактальный». Затем, на среднем отрезке сторон строятся равносторонние треугольники со стороной, равной (1/3a) от стороны исходного фрактального треугольника. В свою очередь, на средних отрезках сторон полученных треугольников, являющихся объектами-наследниками первого поколения, выстраиваются треугольники-наследники второго поколения со стороной (1/9а) от стороны исходного треугольника.

Таким образом, мелкие элементы фрактального объекта повторяют свойства всего объекта. Полученный объект носит название «фрактальной фигуры». Процесс наследования можно продолжать до бесконечности. Таким образом можно описать и такой графический элемент как прямая.

Изменяя и комбинирую окраску фрактальных фигур, можно моделировать образы живой и неживой природы (например, ветви дерева или снежинки), а также составлять из полученных фигур «фрактальную композицию». Фрактальная графика, так же как векторная и трёхмерная, является вычисляемой. Её главное отличие в том, что изображение строится по уравнению или системе уравнений. Поэтому в памяти компьютера для выполнения всех вычислений ничего, кроме формулы, хранить не требуется.

Только изменив коэффициенты уравнения, можно получить совершенно другое изображение. Эта идея нашла использование в компьютерной графике благодаря компактности математического аппарата, необходимого для ее реализации. Так, с помощью нескольких математических коэффициентов можно задать линии и поверхности очень сложной формы.

Итак, базовым понятием для фрактальной компьютерной графики являются «Фрактальный треугольник». Затем идет «Фрактальная фигура», «Фрактальный объект», «Фрактальная прямая», «Фрактальная композиция», «Объект-родитель» и «Объект наследник». Следует обратить внимание на то, что фрактальная компьютерная графика как вид компьютерной графики двадцать первого века получила широкое распространение не так давно.

Фрактальная структура, зеленая, самоподобие

Её возможности трудно переоценить. Фрактальная компьютерная графика позволяет создавать абстрактные композиции, где можно реализовать множество приёмов: горизонтали и вертикали, диагональные направления, симметрию и асимметрию и др. Сегодня немногие компьютерщики в нашей стране и за рубежом знают фрактальную графику. С чем можно сравнить фрактальное изображение? Ну, например, со сложной структурой кристалла, со снежинкой, элементы которой выстраивается в одну сложную композицию. Это свойство фрактального объекта может быть удачно использовано для создания орнамента или декоративной композиции. Сегодня разработаны алгоритмы синтеза коэффициентов фрактала, позволяющего воспроизвести копию любой картинки сколь угодно близкой к исходному оригиналу.

С точки зрения машинной графики, фрактальная геометрия незаменима при генерации искусственных облаков, гор, поверхности моря. Фактически, благодаря фрактальной графике, найден способ эффективной реализации сложных неевклидовых объектов, образы которых весьма похожи на природные. Геометрические фракталы на экране компьютера — это узоры, построенные самим компьютером по заданной программе. Помимо фрактальной живописи существуют фрактальная анимация и фрактальная музыка.

Создатель фракталов — это художник, скульптор, фотограф, изобретатель и ученый в одном лице. Вы сами задаете форму рисунка математической формулой, исследуете сходимость процесса, варьируя его параметры, выбираете вид изображения и палитру цветов, то есть творите рисунок «с нуля». В этом одно из отличий фрактальных графических редакторов (и в частности — Painter) от прочих графических программ.

Например, в Adobe Photoshop изображение, как правило, «с нуля» не создается, а только обрабатывается. Другой самобытной особенностью фрактального графического редактора Painter (как и прочих фрактальных программ, например, Art Dabbler) является то, что реальный художник, работающий без компьютера, никогда не достигнет с помощью кисти, карандаша и пера тех возможностей, которые заложены в Painter программистами.

Глава 3. Построение фракталов

Существует простая рекурсивная процедура получения фрактальных кривых на плоскости. Зададим произвольную ломаную с конечным числом звеньев, называемую. Далее заменим в ней каждый отрезок генератором (точнее, ломаной, подобной генератору). В получившейся ломаной вновь заменим каждый отрезок генератором. Продолжая до бесконечности, в пределе получим фрактальную кривую.

Примерами таких кривых служат: (см. приложение 1 )

·        Кривая Коха (снежинка Коха),

·        Кривая Леви,        

·        Кривая Минковского,

·        Кривая Гильберта

·        Ломаная (кривая) дракона (Фрактал Хартера-Хейтуэя),

·        Кривая Пеано.

·        Кривая Мякишева

·        Дерево Пифагора.

Построение кривой  Коха

Кривая Коха является типичным геометрическим фракталом. Процесс её построения выглядит следующим образом: берём единичный отрезок, разделяем на три равные части и заменяем средний интервал равносторонним треугольником без этого сегмента. В результате образуется ломаная, состоящая из четырёх звеньев длины 1/3. На следующем шаге повторяем операцию для каждого из четырёх получившихся звеньев и т. д… Предельная кривая и есть кривая Коха.

3.1 Построение фрактала в программе UltraFractal

Открыть программу UltraFractal. Экране множество Мандельброта и окно настроек справа.

1)      Первый шаг в построении фрактала- выбор формулы (вкладка Formula, → «Brows…»)

На экране есть огромный набор формул, из которых нужно выбрать подходящую.

2)      В окне, которое находится справа представлены параметры для выбранной формулы. Для изменения параметров фрактала обратиться к строке «Parameter (Re)». При нажатии правой кнопкой мыши появляются 2 значка «Explore» и «Eyedropper». Нажать на значок «Explore» и задать нужные параметры.

3)      Следующий шаг: Придание цвета фракталу. Для этого нужно перейти во вкладку «Outside». Следуя примеру из первого шага нажать на значок «Brows…» и выбрать параметры.

Далее нажать на кнопу «Gradient» в левом верхнем углу и корректировать цвет.

На этом построение фрактала законченно.

Заключение

Фрактальная наука еще очень молода, ей предстоит большое будущее. Задачи, которые открываются перед новой областью математики-фрактальной геометрией, -сложны и многообразны.

Если раньше ученым приходилось иметь дело, в основном, с числами и формулами, то теперь их работа стала гораздо интереснее. С помощью компьютеров они могут рисовать большие, красивые картинки изучаемых явлений. Не которые из ученых так увлеклись этим, что стали художниками, и сегодня простая любопытность математиков, коей являлись фракталы еще в начале 80-х, превратилась в уважаемый вид искусства. Выставки фрактальных изображений проходят в музеях всего мира, большое количество конкурсов проводятся в компьютерной с ети Интернет.

Фракталы стали незаменимыми помощникам астрофизиков, медиков, геологов. Фрактальное моделирование как инструмент для изучения неупорядоченных систем, каковыми являются нефтегазовые месторождения, стало технологической потребностью. Фрактальные модели упрощают анализ движения жидкости или газа, что важно для индустриальных технологий разработки месторождений нефти и газа. Модели, построенные на основе фрактальных изображений, позволяют с большой точностью моделировать космическое пространство и ткани внутренних органов живых организмов.

Фракталам посвящены тысячи публикаций и огромные ресурсы в международной компьютерной сети Интернет, однако для многих специалистов, далеких от информатики, данный термин представляется абсолютно новым. Поэтому фракталы, как объекты, представляющие интерес для специалистов различных отраслей знаний, должны получить надлежащее место в курсах математики и информатики.

Источники:

1.     А.А Кириллов Повесть о двух фракталах. – Летняя школа «Современная математика». – Дубна: 2007

2.     Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. – М.: «Институт компьютерных исследований», 2002

3.     Пайтген Х. –О. , Рихтер П. Х. Красота фракталов. – М.: «Мир», 1993

4.     Федер Е. Фракталы. – М: «Мир», 1991

5.     http://nsportal.ru/ap/library/nauchno-tekhnicheskoe-tvorchestvo/2014/02/09/fraktaly-v-okruzhayushchem-nas-mire

6.     http://www.codenet.ru/progr/fract/Fractals-Around/

7.     https://otvet.mail.ru/question/38262088

8.     http://translate.academic.ru/%D0%A4%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%B0%D0%BB/ru/

9.     http://esate.ru/article/cg/fraktalnaya_grafik

10. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%B0%D0%BB

Приложение

1)   Иллюстративный материал

Построение кривой Пеано

 

Рандомизированный фрактал на основе множества Жюлиа

Кораллы

Морские звезды и ежи

Морские раковины

Цветы и растения (брокколи, капуста)

Кроны деревьев и листья растений

Плоды (ананас)

Снежинки

Облака

Молнии

Морозные узоры на оконных стёклах

Кристаллы, Сталактиты, сталагмиты, геликтиты.

Кривая Коха (снежинка Коха),

Способ построения снежинки Коха

Кривая Леви,      

Кривая Минковского,

Кривая Гильберта

Ломаная (кривая) дракона (Фрактал Хартера-Хейтуэя),

Кривая Пеано.

Дерево Пифагора.

Самоподобный фрактал

2) CD Диск: Программа «Ultra Fractal 5.04»

 Построение фракталов