Научная работа "Сакральная геометрия"

Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение

Самарской области                                                                              

средняя общеобразовательная школа №10                                        

г.о. Чапаевск Самарской области                                                 

Сакральная геометрия

Тема работы:

       "Сакральная геометрия"

Оглавление:

1. Введение                                                                          3-5 стр.                                                                     

2.Основная часть                                                                 5-7 стр.                                                       

          2.1. Числа                                                                        5-7 стр.

          2.2. Число Фи                                                                  7 стр.

          2.3.  Платоновы тела                                                      7-8 стр.

          2.4. Фрактальная геометрия                                          9 стр.

          2.5. Теорема Пифагора                                                  9-10 стр.

     2.6. Божественная пропорция                                       10-15 стр.

3. Выводы                                                                             16 стр.

4.Заключение                                                                       16-18 стр.

5. Список использованных источников и литературы    18 стр.

6. Приложения (описание проделанной работы)             19-26 стр.

«Геометрия имеет два больших сокрови­ща: теорему Пифагора и деление отрезка в среднем и крайнем отношении. Первое моле­но сравнить с мерой золота; второе мы мо­жем назвать драгоценным камнем».

И. Кеплер

1. Введение

Сакральная геометрия — путь познания Вселен­ной и человека. Пифагор относился к священной гео­метрии, как «к самой сокровенной науки Бога». В ней исследуются не только пропорции и отношения форм, являющихся матрицами законов и структур мироз­дания, но и динамические процессы жизни, отража­ющие взаимодействие энергий и различных планов сознания. Она воплотила в себе открытия многих по-священческих школ и метафизических традиций. Гар­монично соединяя в себе различные виды искусства и науки, прозрения мистиков и принципы кванто­вой физики, сакральная геометрия доказывает, что форма — это сосредоточение психической энергии, генератор силы, врата в другие пространства.

Используя язык сакральной геометрии, великие мудрецы оставили для нас важные послания, запе­чатленные в архитектурных, музыкальных и живо­писных произведениях, а также составляющие осно­ву мистериальных действ. «Поистине видимое есть образ невидимого». Научившись расшифровывать эти по­слания, можно найти многие ключи к пониманию бытия, поскольку геометрические образы взаимосвя­заны со всеми элементами существования.

В школьном курсе геометрии с понятием сакральная геометрия не знакомят. Однако, изучая материал о такой геометрии при подготовке к геометрическому форуму, мы поняли, что Пифагор – ярчайший представитель сакральной геометрии. С помощью теоремы Пифагора решаются не только математические задачи, она применяется и практически. Нас заинтересовал вопрос о применении теоремы Пифагора при решении математических задач.

 В связи с этим, целью нашей работы было выяснить: что наши одношкольники знают о сакральной геометрии и насколько нравится применение теоремы Пифагора обучающимся.

         В настоящее время всеобщее признание получило то, что успех развития многих областей науки и техники зависит от развития различных направлений математики. Важным условием повышения эффективности производства является широкое внедрение математических методов в технику и народное хозяйство, что предполагает создание новых,

эффективных методов качественного и количественного исследования, которые позволяют решать задачи, выдвигаемые практикой.                         

Гипотеза:

В сакральной геометрии исследуются не только пропорции и отношения форм, являющихся матрицами законов и структур мироз­дания, но и динамические процессы жизни, отража­ющие взаимодействие энергий и различных планов сознания.

По данной исследовательской работе определена следующая цель:

Выяснить области применения сакральной геометрии, в частности теорема Пифагора.

Исходя из вышеназванной цели, были обозначены следующие задачи:

1.     Собрать информацию о сакральной геометрии.

2.     Изучить некоторые исторические сведения о Пифагоре и о его теореме.

3.     Показать применение теоремы при решении исторических задач.

4.     Обработать собранные данные по теме.

5.     Оформить наработанный материал в виде проекта.

   Решению названных задач было посвящено наше исследование, которым мы занимались 2 месяца. Мы занимались поиском и сбором информации – изучали печатный материал, работали с материалом в интернете, обработкой собранными данными. Решали исторические задачи и занимались задачами по применению теоремы Пифагора.  Провели анкетирование учащихся и обработали результаты. Для своего исследования мы вначале изучил вопрос о теореме Пифагора по школьным учебникам «Геометрия 7-9» Атанасяна Л.С. и Руденко В.Н., а также по учебнику Погорелова А.В. «Геометрия 7-11». Рассмотрели в данных учебниках задачи по теореме Пифагора. В Интернете мы ознакомились с историческими задачами. Вопрос о практическом применении теоремы Пифагора и о самом Пифагоре в школьном учебнике геометрии Атанасяна, по которому занимаемся мы, не освещен. Упоминается лишь немного о биографии Пифагора и о том, как древние египтяне строили прямые углы с помощью веревки, разделенной на 12 равных частей (3,4,5). Это же упоминается и в учебнике геометрии Погорелова А.В. А вот в учебнике геометрии Руденко В.Н. по практическому применению теоремы решаются некоторые интересные задачи, хотя вопрос можно сказать, также не освещен. Вопрос о некоторых исторических сведениях, о Пифагоре и его теореме мы доработали по книгам Волошинова А.В. «Пифагор» и «Математика и искусство».

Нас заинтересовала архитектура с точки зрения сакральной геометрии и применения теоремы Пифагора

Нам было интересно знать, знают ли теорему Пифагора ученики после того, как они прошли данный материал

Методика исследования:

1.     Изучение теоретического материала.

2.     Изучение методик исследования.

3.     Практическое выполнение исследования.

4.     Коммуникативный (метод измерения, анкетирование).

2. Основная часть

Мир эволюционирует по законам чисел. В значках, обозначающих цифры, которые мы видим тысячу раз в день и даже не задумываемся о них, заключается все знание мира. Их придумали индийцы. Изогнутая линия

символизирует любовь, горизонтальная – привязанность, скрещение их – выбор. Единица – это уровень минералов.

Единица возвышается неподвижно, словно монолит. Она ничего не чувствует, она просто присутствует. Нет ни изогнутых, ни горизонтальных линий, нет скрещиваний

Двойка – это уровень растений. Изогнутый стебель и горизонтальная черта корня.

Тройка – уровень животных. Двумя изогнутыми линиями, вверху и внизу, она любит и небо, и землю.

Четыре - стадия человека. Ее символизирует крест, скрещение дорог. Перекресток – это выбор. Если мы сумеем сделать правильный выбор, перекресток поможет нам покинуть животную стадию и перейти к следующему этапу.

Пять – это стадия духа. Эволюционировавший человек. У пятерки есть вверху горизонтальная линия, следовательно, она привязана к небу.

Существует группа пяти основных математических отношений, которые можно найти во всем мире: от японских пагод до храмов майя в Юкатане, от Стоунхенджа до Великой Пирамиды Гизы. Знание этих отношений является основой для понимания сакральной геометрии.

Число π (пи) - математическая константа, выражающая отношение длины окружности к длине её диаметра, иррациональное число, поскольку его значение не может быть точно выражено в виде дроби.

Число π (пи) можно найти в любом круге. В сакральной геометрии круг представляет «духовные царства». Одно из наиболее известных священных мест в форме круга - лабиринт на полу собора в Шартре.

Интересный факт: несмотря на относительно редкое использование числа Пи, оно является самой известной в мире математической константой. Полное значение числа Пи еще не удавалось высчитать. Примечательно, что число Пи и сам символ его обозначения используется в математическом мире уже более 250 лет.

Интересный факт: человечество никогда не сможет с точностью высчитать площадь или окружность фигуры круг, так как не знает полное и точное значение числа Пи. Примечательно, что первые 144 цифры после запятой в числе Пи заканчиваются тремя шестерками. Это упомянуто в Библии как число зверя.

Интересный факт: Гото Хирюки смог воспроизвести в уме более 42 тысяч цифр числа Пи после запятой в 1995 году. По сей день этот человек является чемпионом в области запоминания числа Пи.

Интересный факт: хотя число Пи используется в официальной математике не более 250 лет, впервые оно было упомянуто около 1650 года до нашей эры в Египте, писцом Ахмес. На данный момент документ с упоминанием этого числа называют числом Ахмеса или Ринда. В целом, число Пи изучается людьми более 4 тысяч лет.

В сакральной геометрии квадрат представляет физический мир. C V2 связано открытие несоизмеримых отрезков, которое привело математиков к разработке теории иррациональных чисел, и в конечном итоге к созданию современной математики. С V2 связаны почти все известные фигуры: треугольник, квадрат, шестиугольник.

Квадрат был обнаружен в одном из самых священных мест - в Храме Соломона, являющемся центральным символом масонства.

Исаак Ньютон посвятил вычислению устройства Иерусалимского храма все последние годы своей жизни. Для него Храм Соломона был чертежом Вселенной, носителем всех тайн мира, он верил, что законы природы закодированы в его строении и пропорциях между различными его частями.

Число Фи

Основополагающей константой в архитектуре, живописи и науке считается Золотое сечение. Фи – величина исчисления пропорций – трансцендентное число, поскольку выражается бесконечной десятичной дробью. С этого знака начинается название города Фив (Луксора) - одного из сакральных мест Древнего Египта. Находя частное между двумя рядом стоящими числами этого ряда, можно приблизиться к числу Фи - 1,618... -Золотому сечению, но никогда не достигнуть его. Число Фи присутствует, прежде всего, в человеке, «божественная пропорция» человеческого тела отображена на известном рисунке Леонардо да Винчи. Деления сферы ведет к созданию пяти правильных многогранников, так называемых «Платоновых тел»: тетраэдр, октаэдр, куб, икосаэдр и додекаэдр. Первые три были известны с незапамятных времен, другие были описаны пифагорейцами.

Платоновы тела

Все грани «Платоновых тел» имеют одинаковый размер (куб имеет каждой своей гранью квадрат, и все его грани - одинакового размера), все рёбра имеют одинаковую длину (все рёбра куба – одной длины), все внутренние углы между гранями имеют одинаковую величину (в случае куба, этот угол равен 90 градусам).

Если «Платоново тело» поместить внутрь сферы, то все вершины его будут касаться поверхности сферы. Таким определениям, кроме куба, отвечают только четыре формы, обладающие всеми этими характеристиками: тетраэдр (тетра означает «четыре»), октаэдр (окта значит «восемь»), икосаэдр - имеет 20 граней, имеющих вид равносторонних треугольников при одинаковой длине рёбер и углов, додeкаэдр (додэка - 12).

Фрактальная геометрия

Геометрия природы - фрактальная геометрия. Сама природа пользуется её достижениями и примеры этого можно найти повсюду: от спиралей раковины и цветков маргаритки до симметрии шестиугольных пчелиных сот. «Самоподобие» можно встретить, исследуя формы молекул или галактик.

Теорема Пифагора

Теорема Пифагора — одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника.

Пифагор много занимался пропорциями и прогрессиями и, вероятно подобием фигур, так как ему приписывают решение задачи: "По данным двум фигурам построить третью, равновеликую одной из данных и подобную второй". Пифагор и его ученики ввели понятие о многоугольных, дружественных, совершенных числах и изучали их свойства. Арифметика как практика вычислений не интересовала Пифагора, и он с гордостью заявил, что "поставил арифметику выше интересов торговца". Пифагор одним из первых считал, что Земля имеет форму шара и является центром Вселенной, что Солнце, Луна и планеты имеют собственное движение, отличное от суточного движения неподвижных звезд. Учение пифагорейцев о движении Земли Николай Коперник воспринял как предысторию своего гелиоцентрического учения. Недаром церковь объявила систему Коперника "ложным пифагорейским учением".

Мысли и афоризмы

На поле жизни, подобно сеятелю, ходи ровным и постоянным шагом.

Истинное отечество там, где есть благие нравы.

Не будь членом учёного общества: самые мудрые, составляя общество, делаются простолюдинами.

 

 

Почитай священными числа, вес и меру, как чад изящного равенства.

Измеряй свои желания, взвешивай свои мысли, исчисляй свои слова.

Ничему не удивляйся: удивление произвело богов.

Если спросят: что есть древнее богов? - ответствуй: страх и надежда.

И в наше время мыли Пифагора актуальны. Его теорема настолько широко используемая, что мы не представляем без нее своей жизни.

Божественная пропорция

Любое объективное наблюдение окружающей действительнос­ти, которое мы делаем, так или иначе содержит в себе упоминание пропорции мира, которая позволяет созерцать и постигать организо­ванную Вселенную и Вселенную в хаосе, рациональные и иррацио­нальные числа, гармонию и дисгармонию, истину и ложь. Все ха­рактеристики мира — просто эффект пропорциональности, которая свойственна всем вещам.

Мы видим гармонию, выраженную эмоциями, чувствами и ха­рактеристиками, заключенными непосредственно внутри самих себя. Эта гармония рассматривается в посвященческой науке как Боже­ственная Пропорция. Божественная Пропорция, свойственная наше­му состоянию бытия, выражается следующим образом. Для трех ве­личин — самая большая из них АВ, средняя СВ, меньшая АС — отношение большей к средней равняется отношению средней к мень­шей.

АВ/СВ = СВ/АС= 1.618 ...

Подтверждение гармоничности микромира отмечено в этом гео­метрическом принципе — принципе золотого отношения. Это уни­версальный принцип, который может быть найден на всех уровнях существования.

В эпоху итальянского Возрождения золотое отношение возво­дится в ранг основного эстетического принципа. В 1509 г. вышло сочинение Луки Пачоли, где автор называет это сечение Божествен­ным. Кеплер считал его бесценным сокровищем. Божественная Про­порция тщательно изучалась греческим скульптором Фидиасом, по­этому ей дали название фи (Ф). Она известна также как золотая середина, мистическое отношение, ряд Фибоначчи и так далее. Чис­ло Ф может быть найдено повсюду во Вселенной;

от спиралей галак­тик до спирали морской ракушки; от музыкальной гармонии до гармонии в искусстве. Ботаник увидит его в росте цветов и расте­ний, зоолог — в размножении кроликов. Энтомолог разглядит Божественную пропорцию в генеалогии пчелы, а физик будет наблюдать это отношение в пове­дении атомов. Эконо­мист — в повышении и падении курса цен­ных бумаг, програм­мист — в работе слож­ных процессоров.

Фи-отношение вы­зывает положительные эмоции и подъем эсте­тических чувств. Древ­ние египтяне использо­вали его при строитель­стве больших пирамид и в дизайне иерогли­фов, найденных на сте­нах гробниц.

За тысячи километ­ров от Египта, жители древней Мексики так­же использовали закон Ф при возведении Пи­рамиды Солнца. Греки

Египетские иероглифы — проекция фи-пропорции

изучали с помощью числа Ф математику и использовали получен­ные знания в архитектуре. Пантеон в Афинах — классический при­мер использования Золотого Прямоугольника. Платон рассматривал Ф как наиболее обязательное из всех математических отношений и делал ключом к

пониманию физики космоса. В эпоху Возрождения на основании фи-пропорции воздвигались потрясающие соборы и храмы. Известные мастера, такие как Микеланджело, Рафаэль, Лео­нардо да Винчи, сознательно использовали фи-пропорцию, поскольку знали о ее привлекательности для зрителей.

Фи следует рассматривать применительно к человеческой душе, поскольку именно душа интерпретирует любые явления. Хотя это отношение кажется установленным повсеместно в -природе, на самом деле это не совсем так. Единственная причина такого впечатления — его установленность в человеческом уме. Эта пропорция соответству­ет ментальным колебаниям, которые зарождаются в пределах орга­низма и диктуют ощущения удовольствия и боли, красоты и уродства, любви и ненависти. В результате человек становится пленником своих воспоминаний, установлений и, как результат, своего тела и ума. Таким образом, число Ф связывает человека с физическим ми­ром, но вместе с тем, именно оно способно вывести человека за ограниченные пределы этого мира и настроить на восприятие вибра­ций Божественной энергии.

Божественная пропорция заключена в самом физическом харак­тере Создания. На физическом плане она пребывает как высшая кра­сота и организация. Это гармония, которая определяет существова­ние и единство Вселенной для человеческого ума.

1.. 2 ... 3 ... 5 ... 8 ... 13 ... 21 ... 34 ... 55 ... 89 ... 144 ... 233 ... 377 ...

В 1850 г. немецкий ученый Цейзинг писал: «Для того, чтобы целое, разделенное на две неравные части, казалось прекрасным с точки зрения формы, между меньшей и большей частями должно быть такое же отношение, что и между большей частью и целым». Золотая пропорция знаменует собой вершины эстетических изыска­ний, предел гармонии Космоса. Она определяет закономерность раз­вития живых организмов, ее присутствие засвидетельствовали аст­рономы, химики, физики, биологи, географы...

Число 5 пифагорейцы почитали в качестве священного, оно служило символом их союза. Диагональ двойного квадрата относится к меньшей стороне так же, как V5 к 1. Среднее арифметическое 1 и корня из 5 (1+2,236):2=1,618 - Золотое сечение - φ (фи).  

Основополагающей константой в архитектуре, живописи и науке считается Золотое сечение. Фи – величина исчисления пропорций – трансцендентное число, поскольку выражается бесконечной десятичной дробью. С этого знака начинается название города Фив (Луксора) - одного из сакральных мест Древнего Египта. Находя частное между двумя рядом стоящими числами этого ряда, можно приблизиться к числу Фи - 1,618... -Золотому сечению, но никогда не достигнуть его. Число Фи присутствует, прежде всего, в человеке, «божественная пропорция» человеческого тела отображена на известном рисунке Леонардо да Винчи.

Кролики Фибоначчи

Все началось с того, что в 1202 году итальянский математик Леонардо из Пизы (Fibonacci — это сокращенное от filius Bonacci, сын Боначчи) исследовал возможность быстрого размножения кро­ликов в идеальных условиях. В книге «Liber abacci» он приводил пример решения следующей задачи: «Сколько пар кроликов в один год от одной пары рождается?»

Возьмем недавно рожденную пару кроликов, самца и самку. Кролики способны производить потомство уже в возрасте одного месяца, в конце вто­рого месяца самка может произвести другую пару кроликов. Предположим, что наши кролики никогда не умира­ют и что самка каждый месяц, начи­ная со второго, всегда производит новую пару (самца и самку). Вопрос Фибоначчи «сколько пар кроликов будет через год?» решается следующим образом:

 В конце первого месяца — 1 пара.

В конце второго месяца самка производит новую пару — теперь получаются 2 пары кроликов.

В конце третьего месяца самка производит вторую пару — полу­чаются 3 пары кроликов.

В конце четвертого месяца самка производит опять новую пару, а самка, рожденная два месяца назад, производит свою первую пару; получается 5 пар кроликов.

Число пар кроликов в начале каждого месяца — 1, I, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...

Ряд чисел Фибоначчи: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987 ..

Формула для этих чисел Фибоначчи:

Ф(0) = 0, Ф(1) = 1, Ф(п) = Ф(п-1) + Ф(п-2) для п > 1.

Такая последовательность, в которой каждый член является фун­кцией предыдущих, называется рекуррентной, или возвратной. Оп­ределим первые 100 чисел Фибоначчи.

Если у числа нет иного фактора, кроме как его самого и 1, такое число называется первичным.

п Ф (п) = факторизация

Приложение №1

класс	8 класс	9 класс	10 класс	11 класс
Интерес в использовании теоремы Пифагора	68%	87%	54%	81%

класс	8 класс	9 класс	10 класс	11 класс
Уровень решаемости задач по теореме Пифагора	68%	70%	71%	83%

класс	9 класс	11 класс
Интерес к задачам, присутствующих в ГИА/ЕГЭ, решаемых по теореме Пифагора	70%	83%

3.Выводы

В результате проделанной работы, мы узнали, что интерес к теореме Пифагора у учащихся нашей школы все-таки присутствует. По результату опроса мы узнали, что процент интереса в использовании теоремы Пифагора довольно высок. Особенно выделились 9-ые классы имея результат в 87%. По результатам следующего опроса мы узнала, что уровень решаемости задач по теореме Пифагора также довольно высок. В этом опросе снова выделились 9-ые классы. В нашем последнем опросе об интересе к задачам, присутствующих в ГИА и ЕГЭ, решаемых по теореме Пифагора, 11-ые классы набрали 83%.

4.Заключение

Термин сакральная геометрия используется археологами, антропологами, философами, культурологами и людьми, чья работа связана с духовной деятельностью. Его применяют для того, чтобы охватить систему религиозных, философских и духовных архетипов, которые наблюдаются в различных культурах на протяжении всей человеческой истории и так или иначе связаны с геометрическими воззрениями относительно устройства Вселенной и человека. Этот термин охватывает всю пифагорейскую геометрию, обращаясь также к геометрии вогнутых пространств и фракталов.

Сакральная геометрия объединяет мудрость многих мистических школ, как существовавших задолго до нашей эры, так и современных, связывающих эзотерику с последними достижениями квантовой физики. Эта удивительная наука признает все типичные формы проявления высшего знания, рассматривая их как чаши, содержащие информацию о проявленном мире и о месте человека в нем. Все есть энергия, вибрация, гармония и консонанс частоты; все есть геометрия.

Сакральные геометрические формы не являются просто произведениями искусства. Воспринимать их надо в связи с теми сокровенными явлениями, которые они помогают выразить и украсить.

Сакральная Геометрия - это учение о геометрических формах и их образного взаимоотношения с человеческой эволюцией; учение о плавных, текучих эволюционных изменениях разума, эмоций, духа и сознания, отраженных в последовательном переходе от одной формы Сакральной Геометрии или состояния сознания в другую.

Истинные Сакральные Геометрические формы никогда не являются жестко фиксированными. Напротив, они находятся в состоянии постоянного плавного перехода и изменения (эволюционного или регрессивного) от одной геометрической формы к другой со своей собственной скоростью или частотой.

Сакральная геометрия играла и играет основную роль в искусстве, архитектуре и философии многих культур на протяжении тысяч лет. Можно привести несколько примеров действия сакральной геометрии в различных эпохах и культурах.

Когда индусы собирались возвести какое-либо культовое сооружение, они сначала исполняли на земле простой геометрический чертеж, определяя должным образом направления на восток и запад и строя на их основании квадрат. После этого возводилось все здание. Геометрические расчеты сопровождались песнопениями и молитвами.

Христианская религия использует в качестве своего главного символа крест (в древние века он представал в форме развернутого куба). Многие готические соборы были построены с использованием расчетов, свойственных кубу.

Спирали на столбах древних греческих храмов были размещены по принципу вращающегося прямоугольника - это метод создания логарифмической спирали.

5.Список использованных источников и литературы    

1.      Атанасян Л.С. и др. «Геометрия 7-9», М. «Просвещение»,2002, с.383

2.      Волошинов А.В. «Математика и искусство», М. «Просвещение», 2000, с.117-119, с.399

3.      Волошинов А.В. «Пифагор», М. «Просвещение», 1993, с.223

4.      Погорелов А.В.«Геометрия 7-11», М.«Просвещение»1992, с.383  

5.      Руденко В.Н. «Геометрия 7-9», М. «Просвещение»1992,с.383

6.      Священная геометрия. Расшифрованный код (Стефен Скиннер)

7.      САКРАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ. ФИЛОСОФИЯ И ПРАКТИКА (Роберт Лолор)

8.      http://encyklopedia.narod.ru/bios/nauka/pifagor/pifagor.html

9.     Золотое сечение: как это работает
© Русская Семерка russian7.ru

10. Маврикиди Ф.И. Фрактальная математика и природа перемен // «Дельфис» — №54(2) — 2008.

Приложение №2

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛАТОНОВЫХ ТЕЛ

У каждого из пяти платоновых тел можно определить следующие математические характеристики:
1. Радиус сферы описанной вокруг многогранника;
2. Радиус сферы вписанной в многогранник;
3. Площадь поверхности многогранника;
4. Объем многогранника.

Тетраэдр:  Все четыре грани – равносторонние треугольники.

Радиус описанной сферы тетраэдра , где a - длина стороны.	Радиус вписанной сферы тетраэдра
Площадь поверхности тетраэдра Для нагладности площадь поверхности тетраэдра можно представить в виде площади развёртки.
Объем тетраэдра

Октаэдр:  Все восемь граней – равносторонние треугольники.

Радиус описанной сферы октаэдра , где a - длина стороны.	Радиус вписанной сферы октаэдра
Площадь поверхности октаэдра  Для нагладности площадь поверхности октаэдра можно представить в виде площади развёртки.
Объем октаэдра

Гексаэдр (куб):  Все шесть граней – квадраты.

Радиус описанной сферы куба , где a - длина стороны.	Радиус вписанной сферы куба
Площадь поверхности куба  Для нагладности площадь поверхности куба можно представить в виде площади развёртки.
Объем куба

Додекаэдр: Все 12 граней – правильные пятиугольники.

Радиус описанной сферыдодекаэдра , где a - длина стороны.	Радиус вписанной сферыдодекаэдра
Площадь поверхности додекаэдра Для нагладности площадь поверхности додекаэдра можно представить в виде площади развёртки.
Объем додекаэдра

Икосаэдр: Все 20 граней – равносторонние треугольники.

Радиус описанной сферыикосаэдра , где a - длина стороны.	Радиус вписанной сферыикосаэдра
Площадь поверхности икосаэдра Для нагладности площадь поверхности тетраэдра можно представить в виде площади развёртки.
Объем икосаэдра

Краткое описание документа:

Сакральная геометрия — путь познания Вселен­ной и человека. Пифагор относился к священной гео­метрии, как «к самой сокровенной науки Бога». В ней исследуются не только пропорции и отношения форм, являющихся матрицами законов и структур мироз­дания, но и динамические процессы жизни, отража­ющие взаимодействие энергий и различных планов сознания. Она воплотила в себе открытия многих по-священческих школ и метафизических традиций. Гар­монично соединяя в себе различные виды искусства и науки, прозрения мистиков и принципы кванто­вой физики, сакральная геометрия доказывает, что форма — это сосредоточение психической энергии, генератор силы, врата в другие пространства.