Научно исследовательская работа по математике

МКУ «Управление образования Исполнительного комитета Елабужского муниципального района»

МБОУ «Гимназия №2 №» Елабужского муниципального района Республики Татарстан

Муниципальная ученическая научно-практическая конференция

«Поиск и творчество»

СЕКЦИЯ МАТЕМАТИКА

 Пифагоровы тройки чисел в заданиях ОГЭ

Исследовательская работа

Выполнена учеником

8 б класса

МБОУ «Гимназии № 2» ЕМР РТ

Галиуллиным Михаилом Ришатовичом

Научный руководитель –

учитель математики

МБОУ «Гимназии№ 2» ЕМР РТ

Димиева Зимфира Тимерхановна

Елабуга,2019

Оглавление

Введение­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­___________________________________________________2

Основная часть

1.Пифагоровы тройки________________________________________4

2.Отыскание примитивных  пифагоровых треугольников__________4

3.Составление пифагоровых троек различными способами________5

4.Свойство пифагоровых треугольников________________________8

Практическая часть

1.Применение при решении задач  ____________________________9

 Заключение_______________________________________________13

Список литературы_________________________________________14

« Всё сущее есть число»

Пифагор Самосский

Введение

 Геометрия — один из важнейших предметов, причем не только среди предметов математического цикла, но и вообще среди всех школьных предметов.

Основой курса геометрии является принцип доказательности всех утверждений. И это единственный школьный предмет полностью основанный на последовательном выводе всех утверждений. Людьми, понимающими, что такое доказательство, трудно и даже невозможно манипулировать. Именно поэтому, геометрия-мой любимый предмет, ведь любое , даже небрежно сказанное утверждение  на уроке,  нужно доказать,  применяя только известные факты. Когда мы на уроке прошли тему «Теорема Пифагора», и учитель рассказал нам про египетский треугольник, и сказал что это далеко не единственная пифагорова тройка чисел, я сильно заинтересовался этими числами. Сколько таких чисел существует, как их можно получить, для чего они нужны? А тот факт, что грамотное применение данных троек чисел при решении задач дает существенную экономию времени, что немало важно для меня, так как мне на следующий год сдавать ОГЭ, убедил подробно разобрать эту тему.

Ценность теоремы Пифагора и пифагоровых троек доказана многими учеными мира на протяжении многих веков.

В процессе изучения данной темы, я убедился, насколько интересно и полезно знать эти тройки чисел, они на самом деле упрощают и дают возможность решать некоторые  задачи  за считанные минуты.

 Данная  проблема представляет особую актуальность, так как в школьной программе по геометрии эта тема практически не рассматривается.

Цель данной работы – обосновать теоретическую и практическую значимость пифагоровых троек в области математики

Задачи:

   -установить способы  получения  пифагоровых чисел;

-изучить свойства примитивных пифагоровых троек;

- проанализировать задачи с применением пифагоровых троек, имеющиеся в школьных учебниках и встречающиеся в контрольно-измерительных материалах;

- оценить эффективность применения пифагоровых троек и их свойств при решения задач.

Объект исследования: пифагоровы тройки чисел.

Предмет исследования: способы получения пифагоровых  троек.

Актуальность исследования. Пифагоровы тройки часто используются в геометрии и тригонометрии, знание их избавит от ошибок в вычислениях и экономит время.

Гипотеза: Знание и применение пифагоровых троек чисел максимально упрощает решение   задач, тем самым избавляет от ошибок в вычислениях и сэкономит время для решения более трудных заданий.

Основная часть

1.ПИФАГОРОВЫ ТРОЙКИ.

 Прямоугольные треугольники, у которых  длины сторон   выражаются целыми числами называются пифагоровыми тройками.   Другими словами,

пифагорова тройка – это  упорядоченный набор натуральных чисел x, y, z, для которых выполняется равенство x² + y² = z² (1)

    Например, (3, 4, 5) является пифагоровой тройкой. Геометрический смысл пифагоровых троек состоит в том, что они выражают стороны прямоугольного треугольника. Прямоугольный треугольник, с катетами 3, 4 и гипотенузой 5 называется египетским треугольником. С помощью веревки разделенной узлами на 12 равных частей древние египтяне строили прямоугольный треугольник и прямой угол.

Следующие примеры (5,12,13),(7,24,25),(9,40,41),(11,60,61)(8,15,17)и.т.д.

    Ясно, что если (x, y, z) – пифагорова тройка, то для любого натурального п тройка (пx, пy, пz)также будет пифагоровой тройкой. В частности, (6, 8, 10), (9, 12, 15) и т.д. являются пифагоровыми тройками.
    Тройки, не имеющие общих делителей, больших 1, называются простейшими или примитивными. Нашей задачей является нахождение простейших пифагоровых троек.

2.Отыскание примитивных  пифагоровых треугольников.

Пусть треугольник (x, y, z,) – примитивный пифагоров треугольник. Числа х и у – взаимно простые, и потому не могут быть оба четными. Докажем, что они не могут быть оба и нечетными. Для этого заметим, что квадрат нечетного числа при делении на 4 дает в остатке 1. В самом деле, любое нечетное натуральное число можно представить в виде 2k-1, где k принадлежит N.

Отсюда: =-4k +1 = 4k(k-1)+1.

Числа  (k-1)  и k – последовательные, одно из них обязательно четное. Тогда выражение k(k-1) делится на 2, 4k(k-1)делится на 4, а значит, число при делении на 4 дает в остатке 1.

Сумма квадратов двух нечетных чисел дает при делении на 4 в остатке 2, следовательно, сумма квадратов двух нечетных чисел есть число четное, но не кратное 4, а потому это число не может быть квадратом натурального числа(так как полный квадрат четного числа на 4 делится без остатка)

Итак, равенство (1) не может иметь места, если xи у оба нечетны.

Таким образом, если пифагоров треугольник (x,у,z)- простой, то среди чисел х и у одно должно быть четным, а другое – нечетным. Пусть число у является четным. Числа х и z нечетны (нечетность z следует из равенства (1)

Из уравнения+= получаем, что= (z+x)(z-x)(3).

Числа  z+x и  z-x как сумма и разность двух нечетных чисел – числа четные, а потому (4):

z+x = 2a, z-x = 2b, где а и bпринадлежат N.

z+x =2a,   z-x = 2b,  откуда, складывая равенства и вычитая из одного другое, получаем:

z = a+b,     x = a-b.    (5)

Из этих равенств следует, что aи b – взаимно простые числа.

Докажем это, рассуждая от противного.

Пусть НОД (a,b)=d, где d>1.

Тогда d был бы общим делителем чисел zи x, а следовательно, и чисел z+xи  z-x. Тогда на основании равенства (3)  было бы делителем числа . В таком случае d был бы общим делителем чисел  у и  х, но числа у и х должны быть взаимно простыми.

Число у, как известно, четное, поэтому у = 2с, где с – натуральное число. Равенство (3) на основании равенства (4) принимает следующий вид: =2а*2b, или =ab.

Из арифметики известно, что если произведение двух взаимно простых чисел является квадратом натурального числа, то каждое из этих чисел также является квадратом натурального числа.

Значит, а = и b = , где m и n – взаимно простые числа, т.к. они являются делителями взаимно простых чисел а и b.

На основании равенства (5) имеем:

z = +,   x = -,= ab = *= ;     с = mn

Тогда у = 2mn.

Числа  mи  n, т.к. являются взаимно простыми, не могут быть одновременно четными. Но и нечетными одновременно быть не могут, т.к. в этом случае х =- было бы четным, что невозможно. Итак, одно из чисел, mили n четно, а другое нечетно. Очевидно, у = 2mn делится на 4. Следовательно, в каждом основном пифагоровом  треугольнике хотя бы один из катетов делится на 4. Отсюда следует, что нет пифагоровых треугольников, все стороны которого были бы простыми числами.

Полученные результаты можно выразить в виде следующей теоремы:

Все основные треугольники, в которых у является четным числом, получаются из формулы

х = -,   y =2mn,   z =+(m>n),  где m и n – все пары взаимно простых чисел, из которых одно является четным, а другое нечетным (безразлично, какое). Каждая основная пифагорова тройка (х, у, z), где у – четное,- определяется этим способом однозначно.

Числа mи n не могут быть оба четными или оба нечетными, т.к. в этих случаях х =были бы четными, что невозможно. Итак, одно из чисел m или nчетно, а другое нечетно (y = 2mnделится на 4).

3.Составление пифагоровых троек различными способами

1 способ

В  этих формулах m и n – взаимно простые, но могут быть числами произвольной четности и составлять пифагоровы тройки по ним достаточно тяжело. Поэтому попробуем найти другой подход к составлению пифагоровых троек.

=-= (z-y)(z+y),   где х – нечетное, y – четное, z – нечетное

v = z-y,      u = z+y

= uv,  где u – нечетное, v – нечетное (взаимно простые)

Т.к. произведение двух нечетных взаимно простых чисел является квадратом натурального числа, то u =, v = , где k и l – взаимно простые, нечетные числа.

z-y = z+y = k² ,  откуда, складывая равенства и вычитая из одного другое, получаем:

2z =+2y = -то есть x = klz = y =

Примеры составления пифагоровых троек по данным формулам можно посмотреть в таблице .Я взял значения k и l, нечетные числа от 1 до 15 и вычислил по формулам триады пифагоровых чисел. Попытался найти закономерности по строкам, по диагонали.

l\k	3	5	7	9	11	13	15
1	3,4,  5	5,12 13	7,24, 25	9,40, 41	11,60, 61	13,84, 85	15,112 113
3	*	15,8, 17	21,20 29	*	33,56, 65	39,80, 89	45,108, 117
5	*	*	35,12, 37	45,28, 53	55,48, 73	65,72, 97	*
7	*	*	*	63,16, 65	77,36, 85	91,60, 109	105,88, 137
9	*	*	*	*	99,20, 101	117,44, 125	*
11	*	*	*	*	*	143,24, 145	165,52, 173
13	*	*	*	*	*	*	195,28, 197

Выводы:

1.Можно заметить, что в первой строчке гипотенуза на единицу больше второго катета;

во второй строчке гипотенуза на 9 больше второго катета(это три в квадрате);

в третьей строчке гипотенуза на 25 больше второго катета( это пять в квадрате).и т.д.

Значит ,разница между гипотенузой и вторым ( четным )катетом- является полным квадратом,причем это

2.Можно заметить, по первой диагонали, что разница между нечетным катетом и гипотенузой равна двум, по второй диогонали-8,по третьей диогонали-18,и т.д.

2 способ

Пусть первое число триады (длина одного катета) – нечетное,

тогда, например, для триады

(3; 4; 5) наблюдаем: 3² =4+5,

(5; 12; 13) наблюдаем: 5² =12+13,

(7; 24; 25) -    7² =24+25 и т. д.

Итак нужно взять нечетное число , возвести его в квадрат и результат представить в виде суммы двух последовательных чисел; слагаемые будут вторым и третьим членами триады.

Пример: триада (13;84;85),
 13² = 84+85
 действительно 13² + 84² = 85²

3 способ

Пусть первое число триады –  четное. Тогда, например, для триады (3; 4; 5) наблюдаем: =2(3+5), для триады (8;15; 17)    =2(15+17) и т. д.
Наблюдения показывают прием подбора:  взять число, кратное 4, его квадрат разделить на 2 и результат представить как сумму двух последовательных нечетных чисел; слагаемые будут вторым и третьим членами триады.

Пример: (16; 63; 65)   16 ²=2(63+65)

4.Важное свойство пифагоровых треугольников

Теорема

В основном пифагоровом треугольнике один из катетов обязательно делится на 4, один из катетов обязательно делится на 3 и площадь пифагорова треугольника обязательно кратна 6.

Доказательство

Как нам известно, во всяком пифагоровом треугольнике хотя бы один из катетов делится на 4.

Докажем, что один из катетов делится и на 3.

Для доказательства предположим, что в пифагоровом треугольнике (x, y, z) ни одно из чисел xи y не делится на 3. Тогда имеем:

х = 3k±1,   y = 3l±1,    где kи l являются целыми числами и

Полученное выражение не может быть квадратом целого числа. Действительно, так как это число не делится на 3, то оно не может быть квадратом числа, кратного трем, оно не может быть и квадратом числа, некратного трем,так как квадрат числа равен

и при делении на 3 дает в остатке 1, тогда как при делении на 3 дает в остатке 2.                          

Итак, предположение, что ни один из катетов не делится на 3, приводит к противоречию.

Следовательно, одно из чисел xили y кратно 3.

Теперь докажем, что площадь пифагорова треугольника делится на 6.

Всякий пифагоров треугольник имеет площадь, выражаемую натуральным числом, кратным 6. Это следует из того, что хотя бы один из катетов делится на 3 и хотя бы один из катетов делится на 4. Площадь треугольника, определяемая полупроизведением катетов, должна выражаться числом, кратным 6.

Практическая часть

5.Применение при решении задач.

Практическое применение работы состоит в том, что приведенные доказательства и выведенные формулы можно использовать в ходе решения геометрических задач.

№1из заданий ФИПИ, где пифагоровы тройки прослеживаются сразу.

Решение:  ( Триада 5,12,13) АС= 12

№2Точка креп­ле­ния троса, удер­жи­ва­ю­ще­го флаг­шток в вер­ти­каль­ном по­ло­же­нии, на­хо­дит­ся на вы­со­те 15 м от земли. Рас­сто­я­ние от ос­но­ва­ния флаг­што­ка до места креп­ле­ния троса на земле равно 8 м. Най­ди­те длину троса

 Решение: Триада(8,15,17)  Ответ: 17 метров длина троса.

Дальше идут примеры,где пифагоровы тройки нужно выявлять(они не примитивные).

№3 В прямоугольнике ABCD найдите BC, если CD=1,5, AC=2,5.

 Решение. Рассмотрим прямоугольный треугольник АСD. Умножим длины на 2, получим два элемента из пифагоровой тройки 3 и 5, Недостающий элемент 4, который делим на 2. Ответ: 2.

№4Выясните, является ли треугольник прямоугольным, если его стороны выражаются числами:

а) 6,8,10 (пифагорова тройка 3,4.5) – да;

б)5,6,7

Один из катетов прямоугольного треугольника должен делиться на 4. Ответ: нет.

в) 9,12,15 (пифагорова тройка 3,4.5) – да;

г) 10,24,26 (пифагорова тройка 5,12.13) – да;

д) 11,9,13

Одно из пифагоровых чисел должно быть кратным пяти. Ответ: нет.

№5Катеты прямоугольного треугольника равны 9 и 40. Найдите медиану, проведенную к гипотенузе.

Решение. Медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине. Пифагорова тройка 9,40 и 41. Следовательно, медиана равна 20,5.

№5 По рисунку найти АС

Решение:1)НОД чисел 80 и 48 равен 16,значит80:16=5,48:16=3, (триада 3,4,5)

АС= 4*16=64

2) НОД(91,84)=7,значит 91:7=13,84:7=12,(триада 5,12,13), АС=5*7=35

№6Лестницу дли­ной 3 м при­сло­ни­ли к дереву. На какой вы­со­те (в метрах) на­хо­дит­ся верхний её конец, если ниж­ний конец от­сто­ит от ство­ла дерева на 1,8 м.

 Решение: Умножим 3 и1,8 на 10,получаем 18,30 .НОД (18,30)=6,значит 18:6=3,30:6=5 (триада 3,4,5),итак 4*6:10= 2,4м.

 №7 Длина стре­мян­ки в сло­жен­ном виде равна 1,85 м, а её вы­со­та в раз­ло­жен­ном виде со­став­ля­ет 1,48 м. Най­ди­те рас­сто­я­ние (в метрах) между ос­но­ва­ни­я­ми стре­мян­ки в раз­ло­жен­ном виде.

Решение:

185=5*37,148=4*37

Триада (3,4,5 )

Значит 3*37=111,т.е. 1,11*2= 2,22 м

№8Лестница со­еди­ня­ет точки A и B. Вы­со­та каж­дой сту­пе­ни равна 10,5 см, а длина равна 36 см. Рас­сто­я­ние между точ­ка­ми A и B со­став­ля­ет 7,5 м. Най­ди­те высоту, на ко­то­рую под­ни­ма­ет­ся лест­ни­ца (в метрах).

Решение: 1)Сначала нужно вычислить по теореме Пифагора гипотенузу по данным катетам 10,5и 36 см.

105= 15*7

360= 15*24

Триада (7,24,25),значит ,25*15=375,или 37,5 см

2) 750: 375= 20 ступенек

3)20*10,5=210 см=2,1 м

Ответ 2,1м

№9Девочка про­шла от дома по на­прав­ле­нию на запад 880 м. Затем по­вер­ну­ла на север и про­шла 900 м. После этого она по­вер­ну­ла на во­сток и про­шла ещё 400 м. На каком рас­сто­я­нии (в метрах) от дома ока­за­лась девочка?

Решение.

Восток и запад — про­ти­во­по­лож­ные направления, по­это­му де­воч­ка про­шла 880 − 400 = 480 м на запад. Пусть х — ги­по­те­ну­за пря­мо­уголь­но­го треугольника. По тео­ре­ме Пифагора,  нужно найти гипотенузу по катетам 900 и 480.

900=15*60

480=8*60

Триада(8,15,17)

Значит  17*60=1020 м.

Ответ: 1020 м

Заключение.

    Итак, теорема Пифагора - одна из главных и, можно сказать, самая главная теорема геометрии.

Теорема Пифагора настолько известна, что трудно представить себе человека, не слышавшего о ней, она занимает важное место в жизни и науке.  А пифагоровы тройки- это удивительные комбинации натуральных чисел, это- сама вершина понятия «числа» Эпиграфом моей исследовательской работы не зря является слова Пифагора Самосского:

« Всё сущее есть число!»

    В заключении хочется отметить, что работа над проектом позволила узнать материал, которого нет в школьной программе.

   Изначально были выявлены базовые теоретические знания, включающие описание общих понятий об уравнении Пифагора и пифагоровых тройках. На базе полученных знаний были выявлены способы их получения и свойства. Теоретическая и практическая значимость исследования состоит в том, что в нем на основе системного подхода представлена роль, которую играет открытие пифагоровых троек в науке и в жизнедеятельности человека.       Особенно хочется подчеркнуть актуальность исследованной темы. Всем хорошо известно, что в геометрических задачах часто приходится решать прямоугольные треугольники, иногда несколько раз. Проанализировав задания школьных учебников и материалов ОГЭ, можно сделать вывод, что в основном используются тройки:(3, 4, 5);( 5, 12, 13); (7, 24, 25); (9, 40, 41); (8,15,17)(12,35,37)  которые легко запомнить.  

  Наша гипотеза подтвердилась. На самом деле, при решении некоторых заданий классическое решение с помощью формул занимает время, а знание пифагоровых троек избавит от ошибок в вычислениях и сэкономит время для решения более трудных задач.

Список литературы

1.Геометрия: учеб. для 7-9 кл. сред.шк./авт.-сост.Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов и др.-4-е изд.-М.: Просвещение,1994.

2.Е.Е. Семенов «За страницами учебника геометрии» для учащихся 7-9 классов

3.В. Серпинский “Пифагоровы треугольники” М.:Учпедгиз, 1959.

4.3.   http://ru.wikipedia.org