Опорный конспект по геометрии "Объем пирамиды" (11 класс)

Объем пирамиды

Определение:

Итак, рассмотрим многоугольник  и точку , не лежащую в плоскости этого многоугольника. Соединим точку  отрезками с вершинами многоугольника. В итоге получим  треугольников: , , … , . Многогранник, составленный из  -угольника  и этих  треугольников, называется пирамидой.

Многоугольник  называется основанием пирамиды.

Треугольники , , … ,  называются боковыми гранями пирамиды.

Точка  – вершиной пирамиды, а отрезки , , … ,  – её боковыми рёбрами.

Пирамиду с вершиной  и основанием  называют  -угольной пирамидой и обозначают так: .

Отрезок, соединяющий вершину пирамиды с плоскостью её основания и перпендикулярный к этой плоскости, называется высотой пирамиды.

Теорема.

Объём пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту.

.

Следствием из этой теоремы будет формула для вычисления объёма усечённой пирамиды.

Прежде чем сформулировать это следствие, давайте вспомним, какую пирамиду мы называем усечённой.

Пусть нам дана пирамида . Проведём секущую плоскость , параллельную плоскости основания пирамиды и пусть эта плоскость пересекает боковые рёбра в точках , , …, . Плоскость  разбивает пирамиду на две фигуры: пирамиду  и многогранник.

Определение:

Многогранник, гранями которого являются   и , расположенные в параллельных плоскостях и  четырехугольников ,  и так далее  называется усечённой пирамидой.

 -угольники  и  называются соответственно верхним и нижним основанием.

Четырёхугольники ,  и так далее  называются боковыми гранями.

,  и так далее  называются боковыми рёбрами усечённой пирамиды.

Усечённую пирамиду обозначают так .

Возьмём на верхнем основании произвольную точку  и из этой точки опустим перпендикуляр на нижнее основание. Этот перпендикуляр называется высотой усечённой пирамиды.

Объём усечённой пирамиды, высота которой равна , а площадь оснований равны  и , вычисляется по формуле:

Задача: найти объём правильной треугольной пирамиды, высота которой равна , а сторона основания равна .

Решение: поскольку пирамида правильная, значит, в основании лежит правильный, то есть равносторонний треугольник.

Площадь равностороннего треугольника со стороной 13 см равна .

Применим формулу для вычисления объёма, подставим числа, выполним элементарные преобразования и получим, что объём призмы равен .

Задача: в правильной усечённой четырёхугольной пирамиде стороны основания равны  и , а площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани, равна . Найти объём усеченной пирамиды.

Решение: воспользуемся формулой для вычисления объёма усечённой пирамиды.

Площадь оснований этой пирамиды найти нетрудно, эти площади равны  и .

Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани. Этим сечением будет трапеция, причем высота этой трапеции будет высотой усечённой пирамиды, потому что высотой усечённой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный на нижнее основание.

Высоту мы найдём пользуясь формулой для вычисления площади трапеции.

Основания трапеции – диагонали квадратов, то есть основания трапеции соответственно равны  и . Получим, что высота трапеции равна .

Подставив найденные значения в формулу для вычисления объёма усечённой пирамиды, мы получим, что объём усечённой пирамиды равен .

Краткое описание документа:

Опорные конспекты по геометрии "Объем пирамиды" (11 класс) помогают учащимся эффективно усваивать новый учебный материал и упорядочить самостоятельную работу по устранению пробелов в математической подготовке. Конспекты содержат теоретический материал по данной теме, образцы решений типовых примеров и упражнений, дается алгоритм выполнения элементарных операций для решения любой из задач, принадлежащих данному типу.