Инфоурок / Математика / Конспекты / Открытый урок по теме: решение комбинаторных задач
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Педагогическая деятельность в соответствии с новым ФГОС требует от учителя наличия системы специальных знаний в области анатомии, физиологии, специальной психологии, дефектологии и социальной работы.

Только сейчас Вы можете пройти дистанционное обучение прямо на сайте "Инфоурок" со скидкой 40% по курсу повышения квалификации "Организация работы с обучающимися с ограниченными возможностями здоровья (ОВЗ)" (72 часа). По окончании курса Вы получите печатное удостоверение о повышении квалификации установленного образца (доставка удостоверения бесплатна).

Автор курса: Логинова Наталья Геннадьевна, кандидат педагогических наук, учитель высшей категории. Начало обучения новой группы: 27 сентября.

Подать заявку на этот курс    Смотреть список всех 216 курсов со скидкой 40%

Открытый урок по теме: решение комбинаторных задач

библиотека
материалов

Урок №3 по комбинаторике в 9-м классе "Решение комбинаторных задач ."



Задачи урока:

Обучающие:

  • знакомство учащихся с комбинаторными задачами, и научить учащихся решать комбинаторные задачи ,

  • познакомить учащихся с правилом умножения при решении комбинаторных задач,

Развивающие:

  • развитие комбинаторного мышления учащихся,

  • формирование интеллектуальных умений: анализировать, выделять главное, сравнивать, обобщать и систематизировать, разрешать проблемы,

  • развитие умений владеть собой,

  • развитие инициативы, уверенности в своих силах, умения преодолевать трудности в учении.

Воспитывающие:

  • содействовать формированию основных мировоззренческих идей,

  • содействовать профориентации учащихся.

Тип урока. Урок изучения нового материала.

Структура урока.

  1. Организационный момент.

  2. Мотивация и сообщение темы урока.

  3. Формирование новых понятий и способов действий.

  4. Применение знаний, умений и навыков в различных ситуациях (стандартных и нестандартных)

  5. Подведение итогов, задание на дом.

Ход урока

1.. Организационный момент. (Вступительное слово учителя)

Здравствуйте, ребята, садитесь. Сегодня у нас открытый урок. Мы на уроке продолжим отрабатывать навыки решения комбинаторных задач. К уроку я подготовила вам различные задачи по комбинаторике, которые предлагаю решить разными способами: каждый из Вас может высказать свою точку зрения на решение задач. Хотя в «споре рождается истина», но я Вас попрошу, быть очень внимательными друг к другу.





Мотивация и сообщение темы урока.

Вступление:

Переходим к уроку.

Презентация.

Тема нашего урока: "Решение комбинаторных задач

Проблемный вопрос: Почему нам нужно научиться решать комбинаторные задачи? Как вы думаете?

Кроме того, что задачи из комбинаторики находятся в разделе «Реальная математика» и входят в материалы ГИА? Где еще нам пригодятся такие знания ?

Может ли нам комбинаторика помочь в реальной жизни?

Ответ: Решение комбинаторных задач развивает творческие способности, помогает при решении олимпиадных задач.

В каких областях применяется комбинаторика?


Области применения комбинаторики:
-учебные заведения ( составление расписаний)

-сфера общественного питания (составление меню)

-лингвистика (рассмотрение вариантов комбинаций букв)

-спортивные соревнования (расчёт количества игр между участниками)

-агротехника (размещение посевов на нескольких полях)

-география (раскраска карт)

-биология (расшифровка кода ДНК)

-химия (анализ возможных связей между химическими элементами)

-экономика (анализ вариантов купли-продажи акций) азартные игры (подсчёт частоты выигрышей)

-криптография (разработка методов шифрования)

-доставка почты (рассмотрение вариантов пересылки)

-военное дело (расположение подразделений)


Учитель: Люди, которые умело владеют техникой решения комбинаторных задач, а следовательно, обладают хорошей логикой, умением рассуждать, перебирать различные варианты решений, очень часто находят выходы, казалось бы, из самых трудных безвыходных ситуаций.



2..Проверка домашнего задания.

Но, сначала, проверим домашнее задание. Я задавала вам решить дома №715 и №714 . кто пойдет к доске и кратко запишет д\з?

714 и №715

3. Фронтальный опрос

Пока они записывают домашнее задание на доске , ответим на вопросы

  1. Что такое комбинаторика?

  2. От какого слова произошло слово «комбинаторика»?

  3. Какие приемы решения комбинаторных задач вы знаете?



Задача 1. (желательно продемонстрировать.)

Итак, продолжим знакомство с новыми для вас понятиями начнем с двух простых задач.

В одной пачке лежит 10 тетрадей в клеточку, в другой – 15 тетрадей в линию. Сколькими способами можно выбрать 1 тетрадь в клетку или 1 тетрадь в линию?

Решение. Из первой пачки тетрадь в клетку можно взять 10 способами, а из второй – 15 способами. Значит, всего существует 10+15=25 способов.

Поэтому, если объект а можно выбрать п способами, а объект в – т способами, то выбор «или а или в» можно осуществить (п+т) способами.

Это правило в комбинаторике получило название «правило суммы».

Задача 2 ( желательно продемонстрировать.)

Мне подарили три книги. Сколькими способами можно расставить 3 различные книги на книжной полке?



hello_html_m6619f426.png Решение: 123; 132; 213;231; 312;321.

Ответ: 6 способов

А сейчас проверим, правильно ли ребята решили задачи?

Итак, первая задача №714 №715

У Ирины 5 подруг: Вера, Зоя, Марина, Полина и Светлана.

Она решила двух из них пригласить в кино.

Укажите все возможные варианты выбора подруг.

Сколько таких вариантов?

Обед



Борщ Рассольник

hello_html_m4e649fa8.jpg

4.Формирование новых понятий и способов действий.

Обратимся к презентации



Способ рассуждений, которым мы воспользовались при решении задачи, называют перебором возможных вариантов.

Рассмотрим еще одну задачу. На цветочной клумбе сидели шмель, жук, бабочка и муха. Два насекомых улетели. Какие пары насекомых могли улететь? Укажите все возможные варианты. Сколько таких вариантов?

Всего 3+2+1=6 Ответ:6 вариантов


Задача №2 Сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры 3; 5; 7?

Решение: Для того, чтобы не пропустить и не повторить ни одного из чисел, будем выписывать их в порядке возрастания:

33;35;37; (начали с 3)

53;55;57; (начали с 4)

73;75;77; (начали с 7)

Таким образом, из трёх данных цифр можно составить всего 9 различных двузначных чисел.

Ответ: 9 чисел.

Задача №3 Решим аналогичную задачу о составлении трехзначных чисел из цифр 1;4;7, так чтобы цифры не повторялись. Для её решения построим схему - дерево возможных вариантов.

Ответ: числа 147;174;417;471;714;741

Заметим, что ответ на вопрос, можно получить, не выписывая сами числа. Будем рассуждать так.

Первую цифру можно выбрать тремя способами. Так как после выбора первой цифры останутся две, то вторую цифру можно выбрать двумя способами. Остается приписать одну цифру. Следовательно, общее число искомых трехзначных чисел равно произведению

3х2х1=6

Мы нашли ответ на вопрос, используя так называемое комбинаторное правило умножения

«Если объект А можно выбрать m способами, а другой объект В можно выбрать k способами, то объект «А и В» можно выбрать m k способами».

Задача: У Куклы Светы 3 юбки и 5 кофт, удачно сочетающихся по цвету. Сколько различных комбинаций одежды имеется у Светы?

Решение. 3·5 = 15



Самостоятельная работа



Задача 1

Составляя расписание на понедельник в 9 классе, завуч может поставить 6 уроков: алгебра, физика, биология, труд, история, физкультура. Сколько существует вариантов расписания?

Задача 2

Сколько рукопожатий делают наши юноши каждое утро, учитывая, что их 17 человек?



Задача 3 Андрей, Борис, Виктор и Григорий играли в шахматы. Каждый сыграл с каждым по одной партии. Сколько партий было сыграно?

Решение: ребята найдут ответ, начертив граф. (Презентация, задача 1)

Задача решается с помощью полного графа с четырьмя вершинами А,Б,В,Г, обозначенными по первым буквам имён каждого из мальчиков. В полном графе проводятся всевозможные рёбра. В данном случае отрезки-рёбра обозначают сыгранные шахматные партии. Из рисунка видно, что граф имеет 6 рёбер, значит, и партий сыграно 6 партий.

Ответ: 6 партий.

Задание для самостоятельной работы: придумайте задачи с похожим условием.

Математика повсюду - 
Глазом только поведешь
И примеров сразу уйму
Ты вокруг себя найдешь:

Задача№4.

Андрей, Борис, Виктор и Григорий подарили на память друг другу свои фотографии. Причём каждый мальчик подарил каждому из своих друзей по одной фотографии. Сколько всего фотографий было подарено?

Решение: ребята легко найдут ответ, начертив граф. (Презентация, задача 2)

Решение.

  • 1 способ. С помощью стрелок на рёбрах полного графа показан процесс обмена фотографиями. Очевидно, что стрелок в 2 раза больше, чем рёбер, т.е. 12.

  • 2 способ. Каждый из 4 мальчиков подарил друзьям 3 фотографии, следовательно, всего было подарено 3*4=12 фотографий.

Ответ: 12 фотографий.

Задача №5

У Лёвы 2 конверта: обычный и авиа, и 3 марки: прямоугольная , квадратная и треугольная. Сколькими способами он может выбрать конверт и марку ,чтобы отправить письмо?

Решение задачи. (Презентация, задача 3)

Сначала выбирается конверт, а затем выбирается марка.

Ответ: 6 вариантов.

Отличается ли данный граф от- предыдущих? Он имеет внешнее сходство с деревом, поэтому он так и называется - граф-дерево. Рёбра графа- дерева иногда называют ветвями, а сам граф -деревом вариантов. Вычерчивать дерево полезно, когда требуется записать все существующие комбинации элементов.

Решим следующую задачу с помощью графа-дерева.

Задача №6

Ужасные грабители Кнопка и Скрёпка решили украсть из сейфа золотой ключик Буратино, который знает пока 4 цифры:1,2,3,4.Сколько вариантов придётся перебрать им, чтобы проникнуть в дом, подобрав двузначный код?

Решение .

(Презентация, задача 4)

Ответ: 16 вариантов.

Задача №7.

Сколько двузначных чисел можно составить из чисел 1,2,3.4 ,используя в записи числа каждую из них не более одного раза?

(Презентация, задача 5)

Решение задачи.

Ответ: 12 чисел.

Задача №8

Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 1,3,5,7, используя в записи числа каждую из них не более одного раза?

Решение. Первую цифру трёхзначного числа можно выбрать четырьмя способами. Так как после выбора первой цифры останутся три, то вторую цифру, из оставшихся, можно выбрать тремя способами. Наконец третью цифру можно выбрать, из оставшихся, двумя способами.

(Презентация, задача 6)

Ответ.24 числа.



Задача №9.

Антон, Борис и Василий купили 3 билета на 1-е, 2-е и 3-е места первого ряда на футбольный матч. Сколькими способами они могут занять имеющиеся места?

Решение.

(Презентация, задача 8)

Ответ: 6 способов.

Задача №10

В пятницу у вас 4 уроков: алгебра, русский, физика, история. Сколькими способами можно составить расписание на пятницу?

Решение.

(Презентация, задача 9)

Ответ. 24 способа.

5. Подведение итогов урока.

Ребята, на все ли поставленные вопросы мы ответили? Ещё раз обратим на них внимание и дадим на них ответы.

Дома вы решите похожие задачи и найдёте ответы на вопросы, поставленные в начале урока.

Задание на дом.

Подготовьте материал по темам:

История её возникновения комбинаторики и этапы её развития. Учёные, внёсшие вклад в развитие комбинаторики. Проблемы комбинаторики. История возникновения теории графов. Терминология теории графов. Некоторые задачи теории графов.

Решите задачи:

1. Сколько различных трёхзначных чисел можно записать с помощью цифр:1)1 и 2;2)0 и 1?

2. Сколько различных трёхзначных чисел можно записать с помощью цифр 5,6,7,8,9,если:

1) цифры в числе могут повторяться;

2) цифры в числе должны быть различны?

Надеюсь, что наш урок поможет вам в изучении комбинаторики и теории вероятностей и сдачи экзамена по математики. Спасибо вам за урок.

Презентация.

История: Комбинаторика является древнейшей наукой. Некоторые комбинаторные задачи решали еще в Индии во 2 веке до нашей эры, в древнем Китае, в Римской империи. Термин комбинаторика происходит от латинского слова «комбина», что в переводе на русский язык - «сочетать», «соединять». Элементарные сведения комбинаторного характера были известны очень давно, но они носили разрозненный характер. Определенный вклад в их систематизацию был сделан в 17 веке Блезом Паскалем и Пьером Ферма. В том же 17 веке попытку рассмотреть комбинаторику как единую теоретическую дисциплину предпринял Готфрид Лейбниц. (Слайд 4) Он отводил комбинаторике роль универсального математического аппарата логических рассуждений, кроме того, именно Лейбниц ввел в математику термин «комбинаторика». Немало для развития математики в целом и комбинаторики в частности сделали такие ученые как Рене Декарт, Леонард Эйлер и Даниил Бернулли. В результате деятельности таких крупных математиков комбинаторика получила успешное развитие, в это время были получены почти все формулы современной комбинаторики.

Общая информация

Номер материала: ДБ-107864

Похожие материалы