План-конспект урока "Простейшие тригонометрические уравнения" (10 класс)

Образовательное учреждение: МБОУ СОШ №14 г. Азова.

Учитель: Панасюк Елена Витальевна, учитель математики I квалификационной категории.

Дата: 04.02.2015

Предмет:  Алгебра и начала анализа

Класс:  10

УМК: «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс».

Авторы УМК: Георгий Константинович Муравин – кандидат педагогических наук, Ольга Викторовна Муравина – кандидат педагогических наук, доцент.

Научное консультирование: Зевина Л.В. – научный руководитель областных экспериментальных и пилотных площадок по апробации УМК в школах Ростовской области, Master of education, кандидат педагогических наук, доцент, заведующая кафедрой математики и естественных дисциплин ГБОУ ДПО РО РИПК и ППРО.

Тема урока: «Простейшие тригонометрические уравнения».

Тип урока:  урок «открытия» нового знания.

Оборудование: УМК  «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторы Г. К. Муравин, О.В. Муравина, компьютер, проектор, карточки обратной связи.

Цель урока: организация продуктивной деятельности школьников, направленной на достижение ими следующих результатов:

·                    предметных:

- понимание смысла понятия «простейшие тригонометрические уравнения»;

- осознанное употребление уже известных  и новых  математических  понятия в устной и письменной речи;

- умение открывать алгоритм  решения простейших тригонометрических уравнений вида  ;

- умение использовать:

ü  имеющиеся знания по нахождению углов синусы и косинусы, которых известны;

ü  опыт выполнения действий с числами;

-  умение записывать:

ü решения простейших тригонометрических уравнений вида: ;

ü неизвестные углы с помощью новых символов (через «арки»);

- умение решать простейшие тригонометрические уравнения с табличными значениями углов, приводя аргументацию с использованием единичной окружности;

- умение выполнять задания на построение углов поворота;

• метапредметных:

освоение способов деятельности:

o   познавательной:

-        сравнение, сопоставление, классификация, ранжирование объектов по одному или нескольким признакам;

-        комбинирование известных алгоритмов деятельности в ситуациях, не предполагающих стандартного применения одного из них;

-        исследование несложных практических ситуаций,  выдвижение предположений, понимание необходимости их проверки на практике;

-        умение мотивированно отказаться от образца, искать оригинальное решение;

-        приобретение способности «открывать» новое математическое знание;

-        умение разделять процессы на этапы и звенья;

-        использование различных методов (наблюдение).

o   информационно – коммуникативной:

-        понимание сути и осознанное использование математических средства наглядности (рисунки и чертежи, схемы) для иллюстрации и аргументации собственных рассуждений и действий;

-        умение:

ü самостоятельно формулировать учебную тему и учебные задачи, используя математическую терминологию;

ü вступать в речевое общение, участвовать в диалоге;

ü работать с информацией в формате  таблиц, с текстовыми объектами;

ü перефразировать мысль, анализировать, аргументировать сделанный вывод;

ü отражать в устной и письменной форме результаты своей деятельности;

ü приводить примеры,  подбирать аргументы, формулировать выводы;

ü объяснять смысл фраз, в основе которых лежат математические термины;

ü проводить информационно – смысловой анализ задания.

o   рефлексивной:

-    фиксация затруднений,  поиск и устранение причин возникших трудностей;

-        оценивание собственных  учебных достижений;

-        организация работы в парах и индивидуально;

-        постановка личностных целей и умение оценивать степень их достижения;

·        личностных:

- приобрести способность иметь собственное мнение;

-  умение уверенно и легко выполнять математические операции;

-  умение точно и грамотно излагать свои мысли;

-  научиться ничего не принимать на веру;

- умение контролировать процесс и результат учебной математической деятельности;

- освоение приёмов самостоятельного «открытия» новых  знаний;

- приобретение опыта  по принятию ответственности за свои решения;

- получить хорошую отметку;

- подготовиться к успешной сдаче ЕГЭ.

Ход урока:

1. Организационный этап

Учитель:

Добрый день, уважаемые гости и ребята! За окном зима! Но я думаю, что сегодня  всем нам будет комфортно, отношения будут теплыми, а в таких условиях вы сможете открыть для себя новые знания, познакомиться с нашими гостями, приобретёте опыт работы под объективами телекамер.

Разрешите Вам представить наших гостей:

·        Зевина Любовь Васильевна – кандидат педагогических наук, доцент, заведующая кафедрой математики и естественных наук РИПК и ППРО, научный руководитель областных экспериментальных и пилотных площадок по апробации УМК авторов Муравина Г.К. и Муравиной О.В. в школах Ростовской области.

·        Учителя математики нашего города и других районов и городов Ростовской области.

• Администрация школы
• И, конечно, с нами держат виртуальную связь авторы учебника: Георгий  Константинович Муравин – кандидат педагогических наук, профессор;  Ольга Викторовна Муравина – кандидат педагогических наук, доцент.

Уже сложилась традиция, именно в этот день на базе нашей школы проводить открытый семинар для учителей математики, и сегодня мы поздравляем автора  учебника Георгия Константиновича с днем рождения. Желаем здоровья, творческих успехов и давайте  поприветствуем его дружными аплодисментами.

Мы с авторами  будем держать прямую связь по скайпу и обязательно после урока пообщаемся.

Юноши и девушки, желаю вам быть  активными, находчивыми, успешными исследователями, использовать свои знания и опыт для получения новых знаний.

Договариваемся: действовать и не бояться допустить  ошибку! Альберт Эйнштейн говорил: «Кто никогда не совершал ошибок, тот никогда не пробовал что-то новое». Вы знаете, кто такой Эйнштейн?

Предполагаемые ответы:

- знаменитый ученый;

- ученый – математик;

- ученый – физик

Учитель предлагает учащимся  посмотреть на слайд № 3               

Альберт Эйнштейн (1879–1955) - физик-теоретик, один из основателей современной теоретической физики, лауреат Нобелевской премии по физике 1921 года, общественный деятель -гуманист.

Напоминание для учеников.

Обратная связь на уроке осуществляется при помощи сигнальных карточек красного и зеленого цветов. Приготовьте свои сигнальные карточки. На каждый  прозвучавший ответ (или мнение) вы поднимаете сигнальные карточки,  показывая зелёным цветом, что у вас такое же мнение. В случае расхождения мнений вы показываете красную карточку, идёт обсуждение, выявляется  причина разногласия.

Успехов всем нам!

2.      Мотивационный этап

        2.1  Постановка личностных целей

Учитель: Задумывались ли вы, ребята, с какой целью пришли сегодня на урок?  Я постараюсь вам помочь в выборе. На экране Вы видите список личностных целей (слайд № 4).

Личностные  цели:

1.      Приобрести способность иметь собственное мнение

2.      Умение уверенно и легко выполнять математические операции

3.      Умение точно и грамотно излагать свои мысли

4.      Научиться ничего не принимать на веру

5.      Умение контролировать процесс и результат учебной математической деятельности

6.      Освоение приёмов самостоятельного «открытия» новых  знаний

7.      Приобрести опыт  по принятию ответственности за свои решения

8.      Получить хорошую отметку

9.      Подготовиться к успешной сдаче ЕГЭ.

Выберите из этого списка для себя одну - две цели.  Напишите на полях в тетради ее номер. Постарайтесь поработать на неё в течение всего урока. В конце урока  проанализируете,  достигли вы её или нет, и почему.

Примечание (для учителей)

В список личностных целей, который дублирует перечень личностных результатов, прописанных  в цели, есть смысл добавить еще две последние, чтобы проверить, сколько детей выберут только эти цели. Тогда можно будет поразмышлять над проблемой мотивации и о ценностных ориентирах десятиклассников и их родителей (вместе с родителями - на родительском собрании, с детьми - на следующих уроках, а с коллегами - на педсовете), чтобы оказывать влияние на формирующиеся приоритеты, ценностные установки и мотивы старшеклассников.

    2.2  Фронтальная   работа

Учитель: выполните устно  задания, представленные на слайде № 5 (ученики читают задание вслух (по желанию) и говорят полученный ответ, работают карточки обратной связи).

1)      Назовите радианную меру угла 0°;

2)      Даны координаты точки Рα (на единичной окружности. Вычислить tg;   

3)      Найдите значение  выражения:  ;

4)      В какой координатной четверти будет находиться конечная точка Рα при повороте на угол  - 210°;

5)      Найдите значение  выражения: .

Ответы учащихся учитель последовательно  записывает на доске, отделяя точкой единицы миллионов и десятки тысяч.

Посмотрите,  что получилось, на что похоже 04.02.2015? 

Примечание (для учителей)

Данный прием выявления даты урока на основе выполнения подобных упражнений впервые был применен Верой Борисовной Кручининой (учитель математики - учитель экспериментатор  МБОУ СОШ №32 г. Новочеркасска)

Запишите в тетрадях сегодняшнее число (04.02.2015) и слова: «Классная работа».

Тема урока…

Обратите внимание, что выделенное место для темы урока свободно. Как вы думаете, что бы это могло значить?

Предполагаемые варианты ответа: узнаем  и запишем тему урока  позже;  должны сформулировать тему самостоятельно; выполнив какое-то задание, сможем сформулировать тему и др.

Блез Паскаль - французский математик, механик, физик, литератор и философ, один из основателей математического анализа, теории вероятностей и проективной геометрии, создатель первых образцов счётной техники сказал: (Прочитайте написанное  на экране (Слайд №6 ))

«Случайные открытия делают только подготовленные умы»                                                                                                                      Блез Паскаль

Предлагаю это высказывание сделать  девизом нашего урока.

3. Актуализации субъектного опыта учащихся

3.1.           Работа с математическими объектами

На экране (слайд № 7) предлагается набор объектов.

	2.
4.	5.	6.
7.	8.	9.
10.	11.	12.
13.	14.	15.
16.	17.

1.      Как можно назвать объекты,  которые Вы видите на экране?

Предполагаемые варианты ответа:  изображения, рисунки, фотографии, равенства, уравнения,  математические объекты или математические записи; могут дать названия знакомых объектов (изображенных на рисунках), а также указать на незнакомые объекты.

2.      Что объединяет все эти объекты? (или какое общее название можно дать тому, что Вы видите на экране?)

Предполагаемые варианты ответа: математика и реальность.

 Идет работа с сигнальными карточками.

3.2.            Логические поисковые задания (группировка)

3.2.1.     Разбейте эти объекты на группы, как можно большим количеством способов. 

Дети предлагают свои способы разбиения (учитель записывает номера объектов по группам в таблице на доске), указывая признак, использованный при выполнении этого задания.

Предполагаемые варианты ответа:

1 группа – реальная жизнь (фотографии природы);

2 группа – уравнения (уравнения, содержащие неизвестное число под знаком синуса, косинуса, тангенса и котангенса; математические объекты, алгебраические объекты, равенства, новые (или неизвестные)  уравнения; уравнения, которые еще не решали; уравнения, определения которых  не знаем, тригонометрия);  

3        группа – геометрические объекты (геометрические фигуры).

Примечание (для учителей):

Ученики могут сразу назвать новые уравнения тригонометрическими, т.к. знают название изучаемой главы или просто сообразят. Тогда сразу целесообразно предложить им сформулировать тему урока.

3.2.2.     Постановка темы и цели урока

Задание 1.

Попробуйте, используя свой личный опыт и знания, дать название группе неизвестных уравнений, желательно с обоснованием.

 Предполагаемые варианты ответа:

- тригонометрические равенства, потому что…

- уравнения, содержащие тригонометрические выражения (хотя такого понятия до сегодняшнего урока у них не было, просто назывались – выражения) потому что…;

- тригонометрические уравнения, потому что…

 Задание 2.

Обобщите результаты своей деятельности и предположите, как будет звучать тема сегодняшнего урока?

             Предполагаемые варианты ответа:

«Решение новых уравнений», «Решение уравнений, содержащих  (они могут опять сказать: содержащих синусы, косинусы…)», «Тригонометрические уравнения», «Решение тригонометрических уравнений».

Учитель записывает на доске как вариант «… тригонометрические уравнения». Чего-то не хватает?

Учитель: Выпишите (см. слайд 7) примеры тригонометрических уравнений, а я запишу еще одно уравнение:         3

Соотнесите выписанные вами уравнения с моим уравнением. Что можете сказать?

Предполагаемые варианты ответа:

- это тригонометрическое уравнение, т.к. содержит неизвестное под знаком синуса и косинуса;

- Ваше  уравнение сложнее…

Учитель: Если это уравнение сложнее, то, как назвать группу тригонометрических уравнений, которые записаны у вас в тетради?

Предполагаемые варианты ответа: - несложные, простые, элементарные, простейшие  и другие (по смыслу)

Учитель: Допишем слово  «Простейшие …»

            Задание 3.

Ребята, вы смогли самостоятельно сформулировать тему урока. Теперь я вам предоставляю возможность сформулировать цель урока. Подумайте и предположите, какова цель урока?

Предполагаемые варианты ответа:

-  «открыть», как решать новые уравнения;

- «открыть», как решать простейшие тригонометрические уравнения;

- «открыть» или придумать способы решения новых уравнений;

- научиться составлять план (или алгоритм) решения и решать простейшие тригонометрические уравнения вида   и т.п.

Учитель: Молодцы, вы смогли сформулировать цель урока как учебную задачу.

4.      Этап «открытия» нового знания

Учитель: Ребята, а у Вас есть знания и опыт решения вообще уравнений?  Перечислите все, что Вы знаете.

Предполагаемые варианты ответа:

- знаем определение (это равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой)

- корень уравнения (это такое значение неизвестного, при котором это уравнение обращается в верное числовое равенство);

- что значит решить уравнение (это значит найти все его корни или установить, что их нет).

           Занимательная минутка 

(впервые предложена для решения десятиклассникам учителем-экспериментатором Кручининой В.Б.)

Загадка: раздел математики, который начинается на три «г».

Ситуация 1         

Используя математический язык и все имеющиеся у вас знания и опыт, составьте план решения одного из простейших тригонометрических уравнений:
       (работа в парах, обсуждение)   (слайд № 8).       

Все учащиеся работают в тетрадях, два ученик на крыльях доски, слайды открываются только после аргументации шага и обсуждения (используются сигнальные карточки обратной связи).

Примечание (для учителей):

1)В случае затруднений при решение простейших тригонометрических уравнений (в какой-нибудь из пар) можно использовать следующую переформулировку этой задачи: найти все углы, косинус которых равен .   

 2)Авторы УМК категорически против способа работы на уроке: один ученик – у доски, а все пишут в тетради, имея возможность «списать» с доски. Авторы настоятельно рекомендуют  «иной» способ работы: один или два ученика работают у доски «скрыто» (на крыльях доски), остальные в это время индивидуально – у себя в тетради, а затем идет проверка решения с использованием карточек обратной связи. Выясняются затруднения и их причины, учениками проговариваются теоретические обоснования своих действий, выявляются различные подходы к решению и т.п. На уроках математики нужна доска с крыльями.

Предполагаемые варианты ответа:

1. Надо отметить на оси Ох точку с абсциссой   .
2. Затем нужно провести через отмеченную точку вертикальную прямую (или прямую параллельную оси ординат, или перпендикулярную оси абсцисс), которая пересекает окружность в двух точках.

Примечание (для учителей)

Ученики  могут сами конкретизировать, что означают точки, в которых прямая пересекает окружность (это значения величин углов, косинусы которых равны ; это конечные точки углов поворота, косинус которых равен ). Если ученики этого не сделают, то учитель обратит на это внимание сам.

3. Записать корни или две серии корней (учащиеся высказывают мнение, что для каждой точки записывается общий вид углов поворота, поэтому в решении в записи указывается  две серии корней).
4.  Записывается ответ. Нужно обговорить способ записи ответа (в том числе возможность употребления разных и одинаковых  букв после числа «пи» в записи каждой серии корней)? (Потому что в разное время эти буквы принимают одни и те же значения  - целые числа)

Ситуация 2

Используя математический язык и все имеющиеся у вас знания, составьте план решения уравнения   (работа в парах, обсуждение)  (слайд №9).

Все учащиеся работают в тетрадях, два ученик на крыльях доски; во время проверки -  слайды открываются только после аргументации шага и обсуждения (используются сигнальные карточки обратной связи).

Предполагаемые варианты ответа:

1.      Необходимо отметить на оси Оу точку с ординатой  .

2.      Затем нужно провести через отмеченную точку горизонтальную прямую (прямую параллельную оси абсцисс),  которая пересекает окружность в двух точках, являющихся конечными точками углов поворота, синус которых равен .

3.      Записать корни или две серии корней (учащиеся высказывают мнение, что для каждой точки записывается общий вид углов поворота, поэтому в решении в записи указывается  две серии корней).

4.      Записать ответ (здесь нужно обговорить способ записи ответа,  в том числе возможность употребления разных и одинаковых букв в записи произведении второго слагаемого после числа «пи» для каждой серии корней).

Учитель: Ребята, сделаем вывод, обобщив результаты проведенной работы. Что вы смогли «открыть»?

Предполагаемые варианты ответа: Мы составили и записали план решения простейших тригонометрических уравнении.

Учитель: Как вы думаете, ребята, любое простейшее тригонометрическое уравнение можно решить по такому плану? (Вновь ученики возвращаются к  слайду с множеством математических объектов № 7)

Дети высказывают свои предположения (гипотезы), которые необходимо проверить.

Так появляется ситуация 3.

Ситуация 3

Вернемся к уравнениям ; , Опишите, как с помощью единичной  окружности можно решить такие уравнения (на слайде изображена единичная окружность).

Ученики повторяют свои действия по разработанному плану (используют печатные заготовки единичных окружностей) и сталкиваются с затруднением.

Предполагаемые варианты ответа :   

1.      Необходимо отметить на оси Оу (Ох) точку с ординатой (абсциссой)  0,3 (.

2.      Затем нужно провести через отмеченную точку горизонтальную (вертикальную) прямую,  которая пересекает окружность в двух точках, являющихся конечными точками углов поворота, синус которых равен 0,3 (косинус которых равен.

3.      Далее нужно записать корни или две серии корней (учащиеся высказывают мнение, что для каждой точки записываем общий вид углов поворота, поэтому в решении в записи ответа указывается две серии корней) и сталкиваются с затруднением.

Учитель: Задайте возникшие вопросы в ходе этой ситуации (например, как записать не табличные углы?)

Примечание  (для учителей)

Естественным путем возникает необходимость введения понятий арксинуса и арккосинуса для записи вне табличных углов.

Учитель:  Вернитесь к изображениям. Что объединяет все эти объекты? (слайд №11)

 

Предполагаемый вариант ответа:  дуга - угол – арка- изгиб

- Прочтите и переведите слово  « а » (слайд №12)

Предполагаемые варианты ответа: дуга синус которой равен а;  угол, синус которого равен а; арка, синус которой равен а.

- Что будет обозначать запись:  0,3.  

Предполагаемые варианты ответа:   

·           0,3 переводится как угол, синус которого равен 0,3;

·           0,3 переводится как дуга, синус которого равен 0,3.

- Проверьте перевод 0,3, открыв учебник на с. 121.

Ученики читают учебник (демонстрируется слайд №13 с этим же текстом).

- Посмотрите на информацию об истории этого понятия из сети Интернет (слайд №14)

http://ru.wiktionary.org/wiki/%D0%B0%D1%80%D0%BA%D1%81%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81

Происходит от лат. arcus «дуга» + sinus «изгиб, синус». Название тригонометрической функции восходит к санскр. jyā «тетива, хорда, струна», такжесанскр. jīvā «жизнь», когнат русск. живой, англ. quick, лат. vivus, др.-греч. βίος). Синус дуги образно представлялся как тетива лука; позже в целях удобства стало использоваться половинное значение (ardha-jyā, «полутетива»), но определитель ardha впоследствии обычно опускался

- Вернитесь к ситуации 3 (слайд №10).  Назовите  две серии корней каждого уравнения:

а) ;

б) .

Предполагаемый ответ:

а)  = 2; х2 =  +2, где n – целое число

б) = 2; х2 =  +2, где n – целое число

Полученные корни уравнений записываются учениками на доску и в  печатные заготовки.

Ситуация 4

Учитель: Осталось еще одно уравнение . Выскажите свое мнение о решении этого уравнения.

Предполагаемые ответы:

- кто-то может предположить ошибочное решение, как в ситуации №3 (что это не табличный угол);

- учитывая свой опыт и «новые» знания, дети могут сказать, что это уравнение не имеет корней, потому что…(различные варианты: потому что число 14 больше 1, число 14 по модулю больше 1, потому что точка с абсциссой 14 не лежит на единичной окружности).

Учитель: А если бы в этом уравнении в правой части было бы не число 14, а число, ему противоположное, изменился бы ответ? Почему?

Ситуация 5

Теперь у вас есть возможность составить алгоритм решения тригонометрического уравнения , где а – любое число.

На слайде появляются пошаговые этапы составленного выше алгоритма. Причем, следующий шаг появляется на слайде только после аргументации учащихся (идет работа с сигнальными карточками). Проверить на слайде № 15.

Для уравнения  записать алгоритм в рабочую тетрадь (в качестве домашнего задания).

Учитель: Я вас поздравляю! «Открытие» сделано (смотри цель урока).

5.      Домашнее задание (слайд №16).

Обязательное задание

1. Записать в тетради алгоритм решения уравнения , где а – любое число.

2. Выполнить письменно: № 256, 257 (скопировать в карточку основных углов (обратная сторона) и заполнить таблицу), 261 

3. Пункт 16 (1 часть).

Вариативное задание

№ 222  (вариативное задание – по желанию).

Примечание (для учителей)

Учащиеся   с 1-ого урока данной главы ведут справочные листы (карточки), на которых для себя записывают основной теоретический материал.

6.      Подведение итогов урока. Рефлексия.

            6.1. Достижение личностных результатов.

- Ребята, в начале урока Вы поставили личную цель. Достигли Вы её? (Продемонстрировать слайд №4  с личностными целям). Работают карточки обратной связи: зеленый цвет – достиг, «иной» результат – красная.

- Кто хочет, поделитесь своими выводами вслух?  (Можно посчитать количество учащихся, которые выбрали ту или иную цель, выслушать рассуждения желающих высказаться).

Примечание (для учителей)

Соблюдая Конвенцию о правах ребенка, нужно понимать, что дети имеют право не делиться вслух своими рассуждениями и оглашать свой выбор личностной цели. Это их личное дело.

6.2. Достижение предметных и метапредметных  результатов.

Учитель сразу же открывает слайд № 17-20   с планируемыми результатами: предметными, познавательными, информационно-коммуникативными, рефлексивными. Опираясь на них, дети отвечают на вопросы.

           Вопросы к учащимся:

1.      Что нового Вы узнали сегодня на уроке?

2.      Чему Вы научились?

3.      Что вызвало затруднение и почему?

4.      Как выходили из затруднений?

5.      Что Вам понравилось на уроке и почему?

6.      Оцените свою работу на уроке по пятибалльной шкале.

Учитель:

Ребята, сегодня самый важный первый урок по новой теме - урок «открытия» нового знания! Вы знаете, что главное на таком уроке – это понимание смысла новых понятий и осознанное применение имеющихся знаний и опыта, желание и умение активно участвовать в «открытии» новых знаний. Поэтому в журнал я выставлю только отличные и хорошие отметки.

На следующем уроке мы продолжим работу по «открытию» других новых математических понятий. А для этого вам необходимо  знать значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса  с табличными значениями углов.

А теперь, в конце урока хочется, чтобы вы выразили свое отношение к своей  сегодняшней работе и всему уроку в целом. Для этого прикрепите цветок, который соответствует выбранному варианту ответа на мое дерево рефлексии (1 – зеленый, 2 – желтый, 3 - красный) (слайд 21).

Подведем наглядно итог: посмотрите, как расцвело дерево, определите, какого цвета  больше, и переведите смысл полученного нами результата.

- Ребята, вы все хорошо сегодня поработали!        

- Спасибо Вам за урок!

- Надеюсь, что Вы хорошо подготовитесь к следующему уроку!

- До встречи!

Краткое описание документа:

Урок открытия нового знания. Разработан в логике ФГОС.

Цель урока: организация продуктивной деятельности школьников, направленной на достижение ими следующих результатов

Обратная связь на уроке осуществляется при помощи сигнальных карточек красного и зеленого цветов. Это одно из методических находок авторов учебника (учитель видит мнение учеников, согласие или другое, отличное от всех мнение, экономия времени при решении простейших вопросов)