Подборка неравенств по теме: "Решение логарифмических неравенств"

Решение логарифмических неравенств методом рационализации.

Иногда требуется решить неравенство, которое достаточно сложно решить стандартным методам. Существует способ сведения неравенств к неравенствам для рациональных функций, которые решаются, намного  проще. Речь идёт о методе рационализации.

Таблица часто встречающихся замен

№	Исходное выражение	Выражение после замены
1
2
3
где

Приведём обоснование корректности замен, предложенных в таблице.

Ключевыми являются два следующих утверждения.

Утверждение 1  Если функция  строго возрастает, то для любых двух значений  и  знак выражения  совпадает со знаком выражения

.

Доказательство. Если , тогда , но в этом случае  (то есть ) по определению строго возрастающей функции. Если , тогда  и  (то есть ). Если же , то  (очевидно для любой функции).

Утверждение 2  Если функция  строго убывает, то для любых двух значений  и  знак выражения  совпадает со знаком выражения .

Доказательство. Можно доказать аналогично предыдущему утверждению, а можно получить требуемое, рассмотрев функцию , которая в этом случае является строго возрастающей.

1.         Рассмотрим выражение .

Выполним следующие преобразования:

Знак полученного выражения совпадает со знаком выражения   или  (утверждение 1)

2.                 Аналогично рассуждая, получаем, что

,

а знак этого выражения совпадает со знаком выражения .

3.         Заметим, что . При этом выражение  имеет тот же знак, что и выражение .

Пример 1 Решите неравенство

.

Решение.

Воспользуемся первой заменой из представленной таблицы.

Получим, что на ОДЗ данное неравенство равносильно неравенству

  

   .

С учетом ОДЗ получим решение исходного неравенства:

 (см. рисунок 1).

Рисунок 1

Ответ: .

Пример 2 Решите неравенство

.

Решение. Представим правую часть как 1.

Данное неравенство равносильно системе:

Рисунок 2

4.    

Рисунок 3

Решение системы (рисунок 4 ):

Рисунок 4

Ответ: .

Пример 3 Решите неравенство

Решение.

Исходное неравенство равносильно системе неравенств:

Покажем решение системы на числовой прямой (рис. 5):

Рисунок 5

Ответ:

Пример 4. Решите неравенство

.

Решение.

Найдем ОДЗ неравенства:

            

На ОДЗ преобразуем выражение, записанное в левой части неравенства:

.

Тогда, исходное неравенство равносильно неравенству

,

Решив это неравенство методом интервалов, получим

.

С учётом ОДЗ решением исходного неравенства является

 (см. рисунок 6).

Рисунок 6

Ответ: .

Пример 5 Решите неравенство

.

Решение.

Где ОДЗ:

            

	1	-4	-2	12	9	-       корень -       корень
-1 -1	1 1	-5 -6	3 9	9 0	0

Рисунок 7

.

Ответ: .

Пример 6 Решите неравенство

Решение.

ОДЗ:  

Рисунок 8

Учитывая ОДЗ, получаем  

Ответ:

Пример 7 Решите неравенство:  2

Решение.

Найдем ОДЗ неравенства:

            

(х+2-(х-1)0,

((х-1)

(х+1))х-2)(х-1)

С учетом ОДЗ, получаем:   Ответ: (0;1)(2;

Краткое описание документа:

Решение логарифмических неравенств иногда достаточно сложно поддается стандартным методам. Тогда на помощь может придти метод рационализации. В данном материале приведены краткая теория и примеры решения логарифмических неравенств, которые можно использовать при подготовке к ЕГЭ по математике.