Практическая работа "Алгебра логики"

Инструкционно-технологическая карта

Практическая работа

Тема: «Алгебра логики»

Цели:

1. Повторить этапы решения логических задач

2. Научиться применять основные законы логики

Краткие теоретические сведения:

Алгоритм решения логических задач с помощью алгебры логики:

1) внимательно изучить условие;

2) выделить простые высказывания и обозначить их латинскими буквами;

3) записать условие задачи на языке алгебры логики;

4) составить конечную формулу, для этого объединить логическим умножением формулы каждого утверждения, приравнять произведение единице;

5) упростить формулу, проанализировать полученный результат или составить таблицу истинности, найти по таблице значения переменных, для которых F = 1, проанализировать результаты.

Задача1 " Кто преступник"

  Определить участника преступления, исходя из двух 
посылок:

     1) "Если Иванов не участвовал или Петров участвовал, 

то Сидоров участвовал";

     2) "Если Иванов не участвовал, то Сидоров не 

участвовал".

   Рассмотрим решение  этой несложной задачи двумя способами: с помощью таблиц истинности и с помощью алгебраических преобразований.

1 способ

     Составим выражения:

     I - "Иванов участвовал в преступлении";

 P - "Петров участвовал в преступлении";

     S - "Сидоров участвовал в преступлении"

.
    Запишем посылки в виде формул:

¬I˅P→S и ¬I→¬S

Из таблицы видно, что совершил преступление Иванов

Способ 2

Применим для решения этой же задачи преобразования с

 помощью законов алгебры логики:

( ¬I˅P→S) &( ¬I→¬S)=(¬(¬I˅P)˅S) & (I˅¬S) =

= (I & ¬P ˅S) &(I ˅¬S) =  I&¬P˅ I & S˅  I &¬P &¬S ˅0= 

= I&¬P ˅ I & S =I & (¬P˅S)

Из последнего выражения видно, что выражение верно, если I=1, значит преступник - Иванов.

Задача 2 "Прогноз погоды"

     На вопрос, какая завтра будет погода, синоптик ответил:

1.              Если не будет ветра, то будет пасмурная погода без дождя.

2.              Если будет дождь, то будет пасмурно и без ветра.

3.              Если будет пасмурная погода, то будет дождь и не будет ветра.

Так какая же погода будет завтра? 

Решим эту задачу средствами алгебры логики.

Решение:

  1.         Выделим простые высказывания и запишем их через переменные:

       A – «Ветра нет»

       B – «Пасмурно»

   С – «Дождь»

   2.          Запишем логические функции (сложные высказывания) через введенные переменные:

     Если не будет ветра, то будет пасмурная погода без дождя: 

     A → B & C 
     Если будет дождь, то будет пасмурно и без ветра:
     С → B & A 
     Если будет пасмурная погода, то будет дождь и не будет ветра
     B → C & 

     в) Запишем произведение указанных функций:
    F=(A→ B & C) & (C→B & A) & (B→ C & A) 
    Упростим формулу (используются законы де Моргана, переместительный закон, закон противоречия):

F=(A→ B & ¬C) & (C→B & A) & (B→ C & A)

 = (¬A v B & ¬C) & (¬C v B&A) & (¬B v C&A) =

= (¬A v B & ¬C) & (¬B v C&A) & (¬C v B&A) =

= (¬A &¬ B v B&¬C&¬B v ¬A&C&A v B&¬C&C&A) &
 (C v B&A)=

= ¬A & ¬B &(C v B&¬A) =A&¬B&C v¬ A&¬B&B&¬A =

= ¬A&¬B&¬C

3.         Приравняем результат  единице, т.е. наше выражение должно быть истинным:F = ¬A &¬ B & ¬C = 1 и проанализируем результат:

Логическое произведение равно 1, если каждый множитель равен 1.

¬A = 1; ¬B = 1; ¬C = 1.значит: A = 0; B = 0; C = 0;

Ответ: погода будет ясная, без дождя, но ветреная.

Практическая часть:

Задание 1. Проверьте полученный ответ предложенной задачи, построив таблицу истинности для условий задачи и проанализируйте ее.

Три подразделения А, В, С торговой фирмы стремились получить по итогам года максимальную прибыль. Экономисты высказали следующие предположения:

1. А получит максимальную прибыль только тогда, когда получат максимальную прибыль В и С;

2. Либо А и С получат максимальную прибыль одновременно, либо одновременно не получат;

3. Для того, чтобы подразделение С получило максимальную прибыль, необходимо, чтобы и В получило максимальную прибыль.

По завершению года оказалось, что одно из трех предположений ложно, а остальные истинны. Какие из названных подразделений получили максимальную прибыль?

Простые высказывания:

А={А получит максимальную прибыль}

В={В получит максимальную прибыль}

С={С получит максимальную прибыль}

На языке алгебры логики прогнозы, высказанные экономистами:

a.

b.

c.

Задание 2. Проверьте, построив таблицы истинности, являются ли предложенные логические формулы тождественно истинными (тавтологиями):

§  

§  

§  

§  

§  

Оформите отчет о работе.