Практическая работа по информатике на тему "Смешанные системы счисления. Арифметика в позиционных системах счисления" (1 курс СПО)

Практическая работа

Тема: Смешанные системы счисления. Арифметика в позиционных системах счисления.

Цель: научиться переводить смешанные числа из одной системы счисления в другую и выполнять арифметические операции в позиционных системах счисления.

Ход работы 1) Название и цель работы.

2)  Работа над теоретическим материалом.

3)  Рассмотреть предложенные примеры.

4)  Выполнить практическое задание по вариантам.

5)  Оформить отчет.

6)  Ответить на контрольные вопросы.

Теоретическое обоснование

Перевод смешанного числа в десятичную систему счисления из любой другой.

Для перевода смешанного числа (число с целой и дробной частью) в десятичную систему из любой другой следует пронумеровать разряды числа, начиная с нуля, справа налево от младшего целого разряда. 

Разряды дробной части нумеруются слева направо от -1 в убывающем порядке. Теперь представим число в виде суммы произведений его цифр на основание системы в степени разряда числа и ответ готов.

Пример 1. Переведите число 101,011 из двоичной системы в десятичную.

Решение: пронумеровав целые разряды числа справа налево от 0, дробные – слева направо от -1, получим:

101,011₂ = (1*2²⁺ 0*2¹+1*2⁰), (0*2^-1 + 1*2^-2 + 1*2^-3) = (5), (0 + 0,25 + 0,125) =

5,37510

Ответ: 5,375₁₀

Пример 2. Переведите число 105,4 из восьмеричной системы в десятичную.

Решение: пронумеруем целые разряды числа справа налево от 0, дробные – слева направо от -1:

2     1    0     -1

1  0  5,  4₈

Посчитаем сумму произведений цифр числа на 8 (основание системы) в степени разряда числа: 1*8²+0*8¹+5*8⁰+4*8^-1= 64+0+5+0,5=69,5₁₀ Ответ: 69,5₁₀

Пример 3. Переведите число 29A,516  в десятичную систему счисления.

Решение: пронумеровав целые разряды числа справа налево от 0, дробные – слева направо от -1, получим:

29A,5₁₆ = 2 • 16² +9 • 16¹ + 10 • 16⁰ +  5 • 16 ^{- 1} == 512+ 144 +10+ 0,3125 = 656,3125₁₀.

Ответ: 656,3125₁₀.

Перевод десятичных дробей из десятичной системы счисления в любую другую

Для перевода десятичной дроби из десятичной системы в любую другую следует умножать дробь, а затем дробные части произведений, на основание новой системы пока дробная часть не станет равной 0 или до достижения указанной точности. Затем целые части выписать, начиная с первой.

Пример 4. Переведите десятичное число 0,816 в двоичную систему с точностью до сотых.

Решение: умножаем дробь 0,816, а затем дробную часть произведения (0,632) на 2 и выписываем целые части, начиная с первой:

 Ответ: 0,816₁₀=0,11₂ 

Пример 5. Переведите десятичное число 0,8125 в восьмеричную систему.

Решение: умножаем дробь 0,8125, а затем дробную часть произведения (0,5) на 8 и выписываем целые части, начиная с первой:

                       Ответ: 0,8125₁₀=0,64₈ 

Перевод смешанных чисел из десятичной системы счисления в любую другую

Если необходимо перевести смешанное число из десятичной системы в любую другую, следует перевести целую и дробную части, а затем записать, разделив десятичной запятой.

Пример 6. Перевести данное число 380,1875 из десятичной системы счисления в двоичную (получить пять знаков после запятой в двоичном представлении).

Решение:

380 | 0      |1875

190 | 0    0|375  

 95 | 1    0|75      

 47 | 1    1|5        

 23 | 1    1|0        

 11 | 1                   

   5 | 1                   

   2 | 0

   1 | 1

Ответ: 380,1875₁₀ = 101111100,0011₂

Пример 7. Сколько единиц в двоичной записи десятичного числа 14,125?

Решение: переведем целую и дробную части числа в двоичную систему:

                                                       

Соединим целую и дробную части: 14,125₁₀ = 1110,001₂

Количество единиц равно 4.

Ответ: 4  

Арифметические операции в позиционных системах счисления

В основе арифметических операций сложения, вычитания, умножения и деления, выполняемых в двоичной системе счисления, лежат таблицы сложения и умножения:

 

Сложение. В таблице сложения важно отметить, что при сложении двух единиц величина разряда становится равной (в других системах может быть и большей) основанию, происходит переполнение разряда и производится перенос в старший разряд (1 + 1 = 10₂).

Пример 8. Используя таблицу сложения, сложить два двоичных числа 101₂,

11₂, или десятичные 5 и 3, и проверить правильность вычисления.

101₂

⁺ 11₂

1000₂

Правильность сложения двоичных чисел проверяется сложением соответствующих десятичных чисел: 5₁₀ + 3₁₀ =  8₁₀ = 1000₂.

                Вычитание.    Операция    вычитания    одного    числа     —    вычитаемого

(например, 3) из большего другого — уменьшаемого (например, 5) путем сложения выполняется так: отрицательное число (вычитаемое) преобразуется в число, которое дополняет его до полного разряда (для 3 это будет 7 = 10 - 3), затем происходит суммирование (5 + 7 = 12), после чего у результата отбрасывается высший разряд (получается 2).

Пример 9. Из двоичного числа 101₂ (десятичного 5) вычесть двоичное число 11₂ (десятичное 3). Дополним вычитаемое 11₂ до полного разряда: представим число 11₂ в виде четырехразрядного числа 0011₂, для которого определим обратный код 1100₂ (заменой 0 на 1 и 1 на 0) и дополнительный код 1101₂ = 1100₂ + 1 (добавлением 1 к младшему разряду). Производим сложение двоичных (десятичных) чисел:

Решение:

0101₂       5

⁺1101₂    ⁺7

10010₂    12

Удаление высшего разряда 1 из двоичного числа 10010₂ дает 10₂, а из десятичного 12 — дает 2. Ответ: 10₂, 2.

Примечание: Операцию вычитание одноразрядных двоичных чисел можно выполнять и по следующему правилу:

0-0=0

1 - 0 = 1

0   - 1 = (заем из старшего разряда) 1

1   - 1 = 0

Пример:

  1110₂

-   101₂

  --------

  1001₂

Пример 11. Умножить двоичные числа 110₂ и 11₂. Решение: 110₂

^Х 11₂

110

⁺110

10010₂

Ответ: 10010₂.

Операция деления двоичных чисел подобна операции деления десятичных чисел.

Пример 12. Разделить число 110₂ на 11₂.

 

Ответ: 10₂.

Аналогичным способом арифметические операции выполняются в восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления.

Пример 12. Найдите основания системы счисления, если известно, что 23x=1510 Решение:

Так как мы переводим из какой-то системы счисления в десятичную, то перевод будет выглядеть следующим образом:

2*х¹+3*х⁰=15₁₀

2х+3=15 2х=12 х=6 Ответ: 6.

Задания к практической работе по вариантам Без описанного процесса решения ответ не засчитывается!

Перевод десятичной дроби из десятичной системы в любую другую выполнить с точностью до тысячных!

ВАРИАНТ № 1		ВАРИАНТ № 2
1.	Перевести число из двоичной системы счисления в десятичную: 1011,1011	1.	Перевести число из двоичной системы счисления в десятичную:101101,1101
2.	Перевести число из восьмеричной системы счисления в десятичную: 125,3	2.	Перевести число из восьмеричной системы счисления в десятичную: 214,5
3.	Перевести число из 16-ричной системы счисления в десятичную: 35C,2	3.	Перевести число из 16-ричной системы счисления в десятичную: 4D1,5
4.	Перевести число из 10-ой с-мы счисления в 2-ную:     0,917.	4.	Перевести число из 10-ой с-мы счисления в 2-ную: 0,254
5.	Перевести число из 10-ой с-мы счисления в 8-ичную:  0,2547	5.	Перевести число из 10-ой с-мы счисления в 8-ичную:  0,3254
6.	Сколько единиц в двоичной записи десятичного числа 15,132?	6.	Сколько единиц в двоичной записи десятичного числа 31,541?
7.	Сложить два числа в двоичной системе счисления:      1100111.1012+1110001.0112 =	7.	Сложить два числа в двоичной системе счисления:      1110011.1112+11100101.0112 =
8.	Выполнить вычитание  11010101.1012-1101101.0112 =	8.	Выполнить вычитание  11010111.1012-1101101.0012 =
9.	Выполнить умножение  11012*11102 =	9.	Выполнить умножение  10012*10102 =
10.	Выполнить деление (записать с точностью до сотых) 111012 ÷1012 =	10.	Выполнить деление (записать с точностью до сотых) 101012÷1012 =
11.	Найдите основания системы счисления, если известно, что   304x=7910	11.	Найдите основания системы счисления, если известно, что   104x=6810

ВАРИАНТ № 3		ВАРИАНТ № 4
1.	Перевести число из двоичной системы счисления в десятичную: 1010101,011	1.	Перевести число из двоичной системы счисления в десятичную: 11011010,0101
2.	Перевести число из восьмеричной системы счисления в десятичную: 201,7	2.	Перевести число из восьмеричной системы счисления в десятичную: 115,6
3.	Перевести число из 16-ричной системы счисления в десятичную: 21F,6	3.	Перевести число из 16-ричной системы счисления в десятичную: 32E,8
4.	Перевести число из 10-ой с-мы счисления в 2-ную: 0,598	4.	Перевести число из 10-ой с-мы счисления в 2-ную:    0,365
5.	Перевести число из 10-ой с-мы счисления в 8-ичную:  0,6541	5.	Перевести число из 10-ой с-мы счисления в 8-ичную:  0,3258
6.	Сколько единиц в двоичной записи десятичного числа 24,326?	6.	Сколько единиц в двоичной записи десятичного числа 34,256?
7.	Сложить два числа в двоичной системе счисления:      1110111.1012+10100101.0112 =	7.	Сложить два числа в двоичной системе счисления:      1110101.0012+10100111.1112 =
8.	Выполнить вычитание  11110111.1112-11001101.1012 =	8.	Выполнить вычитание  11110111.0012-10001110.1012 =
9.	Выполнить умножение  10112*11102 =	9.	Выполнить умножение  10112*1012 =
10.	Выполнить деление (записать с точностью до сотых) 101112÷1112 =	10.	Выполнить деление (записать с точностью до сотых) 111112÷1012 =
11.	Найдите основания системы счисления, если известно, что   30x=1810	11.	Найдите основания системы счисления, если известно, что   30х=2710

ВАРИАНТ № 5		ВАРИАНТ № 6
1.	Перевести число из двоичной системы счисления в десятичную: 101011,01101	1.	Перевести число из двоичной системы счисления в десятичную: 10101011,011
2.	Перевести число из восьмеричной системы счисления в десятичную: 214,51	2.	Перевести число из восьмеричной системы счисления в десятичную: 261,24
3.	Перевести число из 16-ричной системы счисления в десятичную: 63A,7	3.	Перевести число из 16-ричной системы счисления в десятичную: 65B,4
4.	Перевести число из 10-ой с-мы счисления в 2-ную:    0,684	4.	Перевести число из 10-ой с-мы счисления в 2-ную: 0,6521
5.	Перевести число из 10-ой с-мы счисления в 8-ичную:  0,2541	5.	Перевести число из 10-ой с-мы счисления в 8-ичную:  0,3695
6.	Сколько единиц в двоичной записи десятичного числа 83,521?	6.	Сколько единиц в двоичной записи десятичного числа 36,954?
7.	Сложить два числа в двоичной системе счисления:      1110101.1112+10100001.1112 =	7.	Сложить два числа в двоичной системе счисления:      11010101.102+1010001.1112 =
8.	Выполнить вычитание  11110101.1012-10000110.1002 =	8.	Выполнить вычитание  0110101.1112-10001110.1012 =
9.	Выполнить умножение   11112*10012 =	9.	Выполнить умножение  10112*10112 =
10.	Выполнить деление (записать с точностью до сотых) 111012÷1102 =	10.	Выполнить деление (записать с точностью до сотых) 100012÷1102 =
11.	Найдите основания системы счисления, если известно, что   111x=1310	11.	Найдите основания системы счисления, если известно, что   54x=8410

ВАРИАНТ № 7		ВАРИАНТ № 8
1.	Перевести число из двоичной системы счисления в десятичную: 101001,01101	1.	Перевести число из двоичной системы счисления в десятичную: 101010,0011
2.	Перевести число из восьмеричной системы счисления в десятичную: 145,23	2.	Перевести число из восьмеричной системы счисления в десятичную: 264,21
3.	Перевести число из 16-ричной системы счисления в десятичную: 81C,6	3.	Перевести число из 16-ричной системы счисления в десятичную: 41F,3
4.	Перевести число из 10-ой с-мы счисления в 2-ную:    0,234	4.	Перевести число из 10-ой с-мы счисления в 2-ную:    0,723
5.	Перевести число из 10-ой с-мы счисления в 8-ичную:  0,2478	5.	Перевести число из 10-ой с-мы счисления в 8-ичную:  0,3654
6.	Сколько единиц в двоичной записи десятичного числа 26,328?	6.	Сколько единиц в двоичной записи десятичного числа 61,254?
7.	Сложить два числа в двоичной системе счисления:      1001010.0112+11010.112=	7.	Сложить два числа в двоичной системе счисления:      11000101.102+1010011.1112 =
8.	Выполнить вычитание  11111101.1112-11001110.1112 =	8.	Выполнить вычитание  111011101.1112-11001010.1012 =
9.	Выполнить умножение  10012*10012 =	9.	Выполнить умножение  10112*11012 =
10.	Выполнить деление (записать с точностью до сотых) 101012÷1012 =	10.	Выполнить деление (записать с точностью до сотых) 101112÷1112 =
11.	Найдите основания системы счисления, если известно, что  46x=5810	11.	Найдите основания системы счисления, если известно, что   14x=910

ВАРИАНТ № 9		ВАРИАНТ № 10
1.	Перевести число из двоичной системы счисления в десятичную: 110110,111	1.	Перевести число из двоичной системы счисления в десятичную: 101011,0101
2.	Перевести число из восьмеричной системы счисления в десятичную: 214,32	2.	Перевести число из восьмеричной системы счисления в десятичную: 174,65
3.	Перевести число из 16-ричной системы счисления в десятичную: 21B,9	3.	Перевести число из 16-ричной системы счисления в десятичную: 32D,9
4.	Перевести число из 10-ой с-мы счисления в 2-ную:    0,365	4.	Перевести число из 10-ой с-мы счисления в 2-ную:    0,574
5.	Перевести число из 10-ой с-мы счисления в 8-ичную:  0,3236	5.	Перевести число из 10-ой с-мы счисления в 8-ичную:  0,2458
6.	Сколько единиц в двоичной записи десятичного числа 63,541?	6.	Сколько единиц в двоичной записи десятичного числа 71,235?
7.	Сложить два числа в двоичной системе счисления:      11100101.1102+100011.1112 =	7.	Сложить два числа в двоичной системе счисления:      11100101.1112+110011.0112 =
8.	Выполнить вычитание  111011111.1112-11011010.1012 =	8.	Выполнить вычитание  11101101.1112-1111010.1012 =
9.	Выполнить умножение  10112*11002 =	9.	Выполнить умножение   10102*11012 =
10.	Выполнить деление (записать с точностью до сотых) 111012÷1112 =	10.	Выполнить деление (записать с точностью до сотых) 101012÷1102 =
11.	Найдите основания системы счисления, если известно, что   2002x=13010	11.	Найдите основания системы счисления, если известно, что   100x=4910

ВАРИАНТ № 11		ВАРИАНТ № 12
1.	Перевести число из двоичной системы счисления в десятичную: 101,00101	1.	Перевести число из двоичной системы счисления в десятичную: 0,111001
2.	Перевести число из восьмеричной системы счисления в десятичную: 254,32	2.	Перевести число из восьмеричной системы счисления в десятичную: 216,54
3.	Перевести число из 16-ричной системы счисления в десятичную: A12,5	3.	Перевести число из 16-ричной системы счисления в десятичную: 65C,8
4.	Перевести число из 10-ой с-мы счисления в 2-ную:    0,674	4.	Перевести число из 10-ой с-мы счисления в 2-ную:    0,329
5.	Перевести число из 10-ой с-мы счисления в 8-ичную:  0,3287	5.	Перевести число из 10-ой с-мы счисления в 8-ичную:  0,6912
6.	Сколько единиц в двоичной записи десятичного числа 32,415?	6.	Сколько единиц в двоичной записи десятичного числа 36,254?
7.	Сложить два числа в двоичной системе счисления:      11000111.1112+1101101.0012 =	7.	Сложить два числа в двоичной системе счисления:      11010101.1012+1101101.0112 =
8.	Выполнить вычитание  10101101.0112-110010.1012 =	8.	Выполнить вычитание  111011011.0112-1000100.1012 =
9.	Выполнить умножение  10112*10012 =	9.	Выполнить умножение  11112*11012 =
10.	Выполнить деление (записать с точностью до сотых) 101112÷1102 =	10.	Выполнить деление (записать с точностью до сотых) 101112÷1012 =
11.	Найдите основания системы счисления, если известно, что   101x=3710	11.	Найдите основания системы счисления, если известно, что   56x=7110

Дополнительное задание 12. 

а) Сколько значащих нулей в двоичной записи значения выражения 1473₁₆ – 1473₈?

б) Вычислите сумму чисел x и y при x = D2₁₆, y = 37₈. Результат представьте

в двоичной системе счисления.

Пример 13. На вход алгоритма подаётся натуральное число N. Алгоритм строит по нему новое число R следующим образом.

1)     Строится двоичная запись числа N.

2)     К этой записи дописываются справа ещё два разряда по следующему правилу:

    а) если N чётное, в конец числа (справа) дописывается сначала ноль, а затем единица.

    б) если N нечётное, справа дописывается сначала единица, а затем ноль.

Например, двоичная запись 100 числа 4 будет преобразована в 10001, а двоичная запись 111 числа 7 будет преобразована в 11110.

Полученная таким образом запись (в ней на два разряда больше, чем в записи исходного числа N) является двоичной записью числа R — результата работы данного алгоритма.

Укажите минимальное число R, которое больше 102 и может являться результатом работы данного алгоритма. В ответе это число запишите в десятичной системе счисления.

Решение.

Рассмотрим числа, большие 102, и найдем минимальное число, которое является результатом работы алгоритма.

103₁₀ = 1100111₂ — не может являться результатом работы алгоритма.

104₁₀ = 1101000₂ — не может являться результатом работы алгоритма.

105₁₀ = 1101001₂ — является результатом работы алгоритма; получено в результате обработки четного числа 11010₂=26₁₀.

Ответ: 105.

Дополнительное задание 13. На вход алгоритма подаётся натуральное число N. Алгоритм строит по нему новое число следующим образом.

1)     Строится двоичная запись числа N.

2)     К этой записи дописываются справа ещё два разряда по следующему правилу: — если N чётное, в конец числа (справа) дописываются два нуля, в противном случае справа дописываются две единицы.

Например, двоичная запись 1001 числа 9 будет преобразована в 100111.

Полученная таким образом запись (в ней на два разряда больше, чем в записи исходного числа N) является двоичной записью числа – результата работы данного алгоритма.

Укажите минимальное число N, для которого результат работы алгоритма будет больше 134. В ответе это число запишите в десятичной системе счисления.

Контрольные вопросы

1.                   Как переводить целые числа из двоичного представления в восьмеричное и шестнадцатеричное представления и обратно?

2.                   Какое двоичное представление отрицательных целых чисел используется в вычислительной технике?

3.                   Чему равны веса разрядов слева от точки, разделяющей целую и дробную части, в двоичной системе счисления (восьмеричной, шестнадцатеричной)?

4.                   Чему равны веса разрядов справа от точки, разделяющей целую и дробную части, в двоичной системе счисления (восьмеричной, шестнадцатеричной)?

5.                   Каковы правила выполнения арифметических операций над числами в двоичном представлении?

Список использованной литературы

1.                  Семакин, И.Г. Информатика. Углубленный уровень: учебник для 10 класса в двух частях / И.Г. Семакин,  Е.К. Хеннер, Т.Ю. Шеина. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2014.

2.                  https://inf-ege.sdamgia.ru/ 3. Гальченко, Г. А. Информатика для колледжей : учебное пособие / Г. А. Гальченко, О. Н. Дроздова. — Ростов-на-Дону : Феникс, 2017. — 380 с.

Краткое описание документа:

Перевод смешанных чисел из одной системы счисления в другую и арифметические операции в позиционных системах счисления