Практикум по теме "трапеция"

Трапеция

Очень часто в задачах по планиметрии встречается такая геометрическая фигура, как трапеция. С трапециями связано много различных утверждений, каждое из которых помогает найти решения задачи. Рассмотрим некоторые свойства, связанные с трапецией.

Основные определения и свойства трапеции, изучаемые в школьном курсе планиметрии.

Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны. Параллельные стороны называются ее основаниями, а две другие стороны - боковыми сторонами.

ЕF – средняя линия трапеции, KL – отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции

1⁰ Средняя линия трапеции равна полусумме оснований (среднему арифметическому чисел а и b)

Задачи части B

·         Средняя линия и высота трапеции равны соответственно 3 и 2. Найдите площадь трапеции.

Ответ: 6

·         Высота трапеции равна 10, площадь равна 150. Найдите среднюю линию трапеции.

Ответ: 15

·         Средняя линия трапеции равна 12, площадь равна 96. Найдите высоту трапеции.

Ответ: 8

·         Найдите среднюю линию трапеции, если ее основания равны 30 и 16.

Ответ: 23

·         Средняя линия трапеции равна 28, а меньшее основание равно 18. Найдите большее основание трапеции.

Ответ: 38

·         Основания трапеции равны 4 и 10. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из ее диагоналей.

Ответ: 5

·         Перпендикуляр, опущенный из вершины тупого угла на большее основание равнобедренной трапеции, делит его на части, имеющие длины 10 и 4. Найдите среднюю линию этой трапеции.

Ответ: 10

·         Периметр трапеции равен 50, а сумма непараллельных сторон равна 20. Найдите среднюю линию трапеции.

Ответ: 15

·         Основания трапеции относятся как 2:3, а средняя линия равна 5. Найдите меньшее основание.

Ответ: 4

·         Периметр равнобедренной трапеции равен 80, ее средняя линия равна боковой стороне. Найдите боковую сторону трапеции.

Ответ: 20

·         Средняя линия трапеции равна 7, а одно из ее оснований больше другого на 4. Найдите большее основание трапеции.

Ответ: 9     

·         Средняя линия трапеции равна 12. Одна из диагоналей делит ее на два отрезка, разность которых равна 2. Найдите большее основание трапеции.

Ответ: 14

·         В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны. Высота трапеции равна 12. Найдите ее среднюю линию.

Ответ: 12

·         Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 3 и 5. Найдите среднюю линию трапеции.

Ответ: 4

·         Точки O(0, 0), A(10, 0), B(8, 6), C(2, 6) являются вершинами трапеции. Найдите длину ее средней линии DE.

        

       Ответ: 8

·         Найдите среднюю линию трапеции ABCD, если стороны квадратных клеток равны 1.

       Ответ: 3

·         Найдите среднюю линию трапеции ABCD , если стороны квадратных клеток равны .

     

       Ответ: 6

2⁰ Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен основаниям и равен их полуразности

Задачи части B

·         Основания трапеции равны 3 и 2. Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.

Ответ:0,5

·         Основания трапеции относятся как 2:3, а средняя линия равна 5. Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.

Ответ:1

·         Перпендикуляр, опущенный из вершины тупого угла на большее основание равнобедренной трапеции, делит его на части, имеющие длины 10 и 4. Найди отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.

Ответ:4

·         Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции равен 8, а меньшее основание равно 18. Найдите большее основание трапеции.

Ответ:34

·         Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции ABCD, если стороны квадратных клеток равны 1.

        

Отает:2

·         Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции ABCD , если стороны квадратных клеток равны .

Ответ: 2

·         Средняя линия трапеции равна 24, а меньшее основание равно13. Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.

Ответ:11

·         Средняя линия трапеции равна 29, а одно из ее оснований больше другого на 14. Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.

Ответ:7

·         В рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции  бо­ко­вая сто­ро­на равна 10, один из углов равен . Най­ди­те отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.

Ответ:5

        3⁰ Отрезок, проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции параллельно     основаниям, равен  (среднему гармоническому чисел a и b);

Задачи части B

·         Через точку пересечения диагоналей трапеции проведена прямая, параллельная основанию и пересекающая боковые стороны в точках E и F. Отрезок EF равен 2. Найдите большее основание, если их отношение равно 4

        Ответ: 5

·         Через точку пересечения диагоналей трапеции проведена прямая, параллельная основанию и пересекающая боковые стороны в точках E и F. Отрезок EF равен 2. Найдите меньшее основание, если их отношение равно 4

 Ответ: 1,25

·         Через точку пересечения диагоналей трапеции проведена прямая, параллельная основанию и пересекающая боковые стороны в точках E и F. Основания трапеции равны 5 и 1, 25. Найдите отрезок  EF 

        Ответ: 2

·         Найти отрезок, проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции параллельно     основаниям, если основания равны 16 и 24.

Ответ: 19,2

·         Найти отрезок, проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции параллельно     основаниям, если средняя линия трапеции равна 5, а отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции равен 1.

Ответ: 4,8

·         Найти утроенный отрезок, проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции параллельно основаниям, если стороны квадратных клеток равны 1

Ответ: 8

·         Найдите утроенное произведение отрезка, проходящего через точку пересечения  диагоналей параллельно основаниям трапеции ABCD , если стороны квадратных клеток равны .

Ответ: 16

·         Точки O(0, 0), A(10, 0), B(8, 6), C(2, 6) являются вершинами трапеции. Найдите отрезок, проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции параллельно     основаниям.

 Ответ: 7,5

 4⁰ Средняя линия трапеции делит пополам любой отрезок с концами на основаниях трапеции.

Задачи части B

·         Найдите отношение площадей трапеции, на которые она разбивается средней линией, если основания трапеции равны 2 и 4

Ответ:

·         Найдите отношение отрезков высоты, на которые она разбивается средней линией, если основания трапеции равны  

Ответ: 1:1

·         Ос­но­ва­ния тра­пе­ции равны 4 и 10, диагональ DB=12.Най­ди­те длину отрезка OB, где точка O является точкой пересечения  средней линией и диагонали трапеции.

   Ответ: 6

·        Найдите отношение отрезков диагонали AC, на которые она разбивается средней линией, если стороны квадратных клеток равны 1.

Ответ: 1:1

·        Найдите отношение отрезков высоты, на которые она разбивается средней линией, если стороны квадратных клеток равны .

   

Ответ: 1:1

·         Ос­но­ва­ния тра­пе­ции равны 4 и 10, диагональ DB=12.Най­ди­те длину отрезка DO, где точка O является точкой пересечения  средней линией и диагонали трапеции.

   

      Ответ: 6

5⁰  Отрезок разбивающий трапецию на две подобные трапеции, имеет длину равную среднему геометрическому длин оснований, т.е.

Задачи части B

·        Найдите произведение  на длину отрезка, разбивающего трапецию ABCD на две подобные, если стороны квадратных клеток равны 1.

 

Ответ: 6

·        Найдите отношение  к длине отрезка, разбивающего трапецию ABCD на две подобных, если стороны квадратных клеток равны .

 

Ответ: 4

·         Найти отрезок, разбивающий трапецию на две подобные, если основания трапеции равны 2 и 8.

Ответ: 4

·         Средняя линия трапеции равна 28, а меньшее основание равно 18. Найдите отношение  к длине отрезка, разбивающего  трапецию на две подобные трапеции.

Ответ:1

·         Средняя линия трапеции равна 7, а одно из ее оснований больше другого на 4. Найдите произведение на длину отрезка, разбивающего трапецию на две подобные трапеции.

Ответ:15

·         Точки O(0, 0), A(10, 0), B(8, 6), C(2, 6) являются вершинами трапеции. Найдите,где DE, отрезок, разбивающий трапецию на две подобные

       

Ответ: 2

·         Средняя линия трапеции равна 7, а одно из ее оснований больше другого на 4. Найдите , где MN - отрезок разбивающий трапецию на две подобные.

Ответ: 15        

6⁰ Высота  равнобедренной трапеции описанной около окружности, есть среднее геометрическое оснований трапеции. .

Задачи части B

·          Найти высоту  равнобедренной трапеции описанной около окружности, если основания трапеции равны 2 и 8.

Ответ: 4

·         Средняя линия трапеции равна 28, а меньшее основание равно 18. Найдите отношение  к  длине высоты равнобедренной трапеции, описанной около окружности.

Ответ: 1

·         Средняя линия трапеции равна 7, а одно из ее оснований больше другого на 4. Найдите произведение на длину высоты равнобедренной трапеции, описанной около окружности.

Ответ:15

·         Равнобедренная трапеция ABCD описана около окружности. Боковая сторона трапеции равна 10, а основания относятся как 1:4. Найдите высоту трапеции.

Ответ:8

·         Основания равнобедренной трапеции относятся как 2:3, а средняя линия равна 5. Найдите  , где s - площадь круга, описанной около трапеции.

Ответ: 6

·         Средняя линия равнобедренной трапеции равна 28, а меньшее основание равно 18. Найдите  , где C - длина окружности описанной около трапеции.

 Ответ:6

·         Найдите  , где C - длина окружности описанной около равнобедренной трапеции. Если стороны квадратных клеток равны .

 

Ответ: 4

·         Равнобедренная трапеция ABCD описана около окружности. Боковая сторона трапеции равна 10, а основания относятся как 1:4. Найдите радиус этой окружности трапеции.

Ответ:4

7⁰ Длина отрезка, делящего трапецию на две равновеликие, равна  (среднему квадратичному длин оснований).

Задачи части B

·        Найдите произведение  на длину отрезка, разбивающего трапецию ABCD на две равновеликие, если стороны квадратных клеток равны 1.

 

Ответ:10

·        Найдите отношение   к длине отрезка, разбивающего трапецию ABCD на две равновеликие, если стороны квадратных клеток равны .

Ответ: 0,5

·         Найти отрезок, разбивающий трапецию на две равновеликие, если основания трапеции равны  и 8.

Ответ: 7

·         Средняя линия трапеции равна 7, а меньшее основание равно 6. Найдите отношение  к длине отрезка, разбивающего  трапецию на две равновеликие трапеции.

Ответ:0,5

·         Средняя линия трапеции равна 7, а одно из ее оснований больше другого на 4. Найдите произведение на длину отрезка, разбивающего трапецию на две равновеликие трапеции.

Ответ:53

·         Точки O(0, 0), A(10, 0), B(8, 6), C(2, 6) являются вершинами трапеции. Найдите,где DE, отрезок, разбивающий трапецию на две равновеликие.

Ответ:2

8⁰ Около окружности можно описать трапецию тогда и только тогда, когда сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон.

Задачи части B

·         В трапецию ABCD вписана окружность, AB=5, CD=15. Найти периметр трапеции.

Ответ: 40

·         Периметр трапеции, описанной около окружности, равен 56, две его стороны равны 12 и 20. Найдите большую из оставшихся сторон.

Ответ: 16

·         Около окружности описана трапеция ABCD, AB=10, BC=6 и CD=16. Найдите четвертую сторону трапеции.

Ответ: 20

·         Точки O(0, 0), A(10, 0), B(8, 6), C(2, 6) являются вершинами трапеции, около которой можно описать окружность. Найти длину боковой стороны.

 

Ответ: 8

Найдите сторону АВ трапеции ABCD , если стороны квадратных клеток равны  и около этой трапеции можно описать окружность.

Ответ: 6

·         Найдите периметр трапеции ABCD , если стороны квадратных клеток равны  и около этой трапеции можно описать окружность.

Ответ: 24

9⁰ Площадь трапеции равна , где a,b – основания трапеции, h – высота трапеции, m – средняя линия трапеции

·         В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны. Высота трапеции равна 10.Найдите площадь трапеции.

       Ответ: 20

·         В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны. Средняя линия трапеции равна 12. Найдите площадь трапеции.

       Ответ: 24

·         Средняя линия и высота трапеции равны соответственно 3 и 2. Найдите площадь трапеции.

Ответ: 6

·        Найдите площадь трапеции ABCD, если стороны квадратных клеток равны 1.

       Ответ:12

·         Основания равнобедренной трапеции равны 14 и 26, а ее периметр равен 60. Найдите площадь трапеции.

·

Ответ:160

·         Основания равнобедренной трапеции равны 7 и 13, а ее площадь равна 40. Найдите периметр трапеции.

·

Ответ:30

·         Найдите площадь прямоугольной трапеции, основания которой равны 6 и 2, большая боковая сторона составляет с основанием угол 45°.

Ответ:16

·         Основания прямоугольной трапеции равны 12 и 4. Ее площадь равна 64. Найдите острый угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

·

Ответ: 45

·         Основания равнобедренной трапеции равны 7 и 13, а ее площадь равна 40. Найдите боковую сторону трапеции.

Ответ:5

·         Основания трапеции равны 18 и 6, боковая сторона, равная 7, образует с одним из оснований трапеции угол 150°. Найдите площадь трапеции.

Ответ: 42

·         Основания трапеции равны 27 и 9, боковая сторона равна 8. Площадь трапеции равна 72. Найдите острый угол трапеции, прилежащий к данной боковой стороне. Ответ выразите в градусах.

Ответ: 30

·         Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции, изоб­ра­жен­ной на ри­сун­ке.

       Ответ: 9

·         Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции, изоб­ра­жен­ной на клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1 см  1 см (см. рис.). Ответ дайте в квад­рат­ных сан­ти­мет­рах.

 

Ответ:2

9⁰ a)                  Дополнительные формулы для нахождения площади трапеции:

•  Если трапеция является равнобедренной (боковые стороны равны), то в нее можно вписать окружность. Если r — радиус вписанной окружности, α — угол при основании трапеции, то площадь трапеции определяется по формуле: 

  

·           где a,b,c,d – стороны трапеции, p – полупериметр трапеции.

·          , где d₁  и d_{2 –} диагонали трапеции,  - угол между диагоналями.

Задачи части B

·         Найти площадь описанной равнобедренной трапеции около окружности с углом при основании равным 30⁰, если основания трапеции равны 2 и 8.

Ответ: 32

·         Средняя линия равнобедренной трапеции, описанной около круга с углом равным 150⁰ равна 28, а меньшее основание равно 18. Найдите площадь трапеции

Ответ: 1368

·         Средняя линия равнобедренной трапеции, описанной около круга с углом равным 30⁰ равна 7, а одно из ее оснований больше другого на 4. Найдите площадь трапеции

Ответ:90

·         Найти  равнобедренной трапеции с углом при основании равным 30⁰, если основания трапеции равны 2 и 8.

Ответ: 45

·         Найти площадь трапеции с диагоналями  и 3, с углом между ними равным 45⁰.

Ответ:3

·         В равнобедренную трапецию, один из углов которой равен 60⁰, а площадь равна  вписана окружность. Найдите радиус этой окружности.

Ответ:  3

·         Найти площадь равнобедренной трапеции, описанной около окружности радиусом 4, если известно, что боковая сторона трапеции равна 10. Решить всеми возможными способами.

Ответ: 80

·         Около окружности с диаметром 15 описана равнобедренная трапеция с боковой стороной равной 17. Найдите площадь трапеции.

Ответ:255

·         В трапецию ABCD с основаниями BC и AD и боковыми сторонами AB  и CD вписана окружность с центром в точке O. Найдите площадь трапеции, если угол DAB прямой,  OC=2,OD=4.

Ответ: 14,4

·         A, B, C, D – последовательные вершины прямоугольника. Окружность проходит через A  и B и касается стороны CD в ее середине. Через D проведена прямая, которая касается той же окружности в точке E, а затем пересекает продолжение стороны  AB в точке K. Найдите площадь трапеции BCDK, если известно, что AB=10 и KE:KA=3:2

Ответ: 210

·         Окружность радиуса ,‍ проведённая через вершины A,‍ B‍ и C‍ прямоугольной трапеции ABCD(∠A = ∠B = 90‍∘)‍пересекает отрезки AD‍ и CD‍ соответственно в точках M‍ и N,‍ причём AM : AD = CN : CD = 1 : 3.‍ Найдите 3S, где S площадь трапеции.

Ответ: 20

·         В равнобедренную трапецию с боковой стороной, равной 9, вписана окружность радиуса 4. Найдите площадь трапеции.

Ответ: 72

·         Найдите площадь трапеции с основаниями 18 и 13 и боковыми сторонами 3 и 4.

Ответ:37,2

·          Найдите площадь трапеции с основаниями 11 и 4 и диагоналями 9 и 12.

Ответ: 54

·         Вычислите площадь трапеции по разности оснований, равной 14, и двум непараллельным сторонам, равным 13 и 15, если известно, что в трапецию можно вписать окружность.

Ответ: 168