Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
1 слайд
Пространственная теорема Пифагора
2 слайд
В стеореометрии есть несколько аналогов теоремы Пифагора. Чаще всего, это теорема о квадрате диагонали прямоугольного параллелепипеда: в прямоугольном параллелепипеде квадрат любой диагонали равен сумме квадратов трех его измерений. Иногда --- это формула расстояния между двумя точками пространства в прямоугольных координатах. Есть и такой аналог: если боковые ребра тетраэдра попарно перпендикулярны, то квадрат площади основания равен сумме квадратов площадей боковых граней тетраэдра.
3 слайд
Пифагоровы штаны во все стороны равны
4 слайд
В прямоугольном параллелепипеде квадрат любой диагонали равен сумме квадратов трех его измерений.
5 слайд
Иллюстрация к теореме Пифагора
6 слайд
Рассмотрим чертеж слева. На нём мы построили квадраты на сторонах прямоугольного треугольника и провели из вершины прямого угла С луч s перпендикулярно гипотенузе AB, он рассекает квадрат ABIK, построенный на гипотенузе, на два прямоугольника — BHJI и HAKJ соответственно. Оказывается, что площади данных прямоугольников в точности равны площадям квадратов, построенных на соответствующих катетах.
7 слайд
Доказательство Евклида
8 слайд
Домик))))xDDD
9 слайд
Доказательство методом бесконечно малых
10 слайд
Следующее доказательство при помощи дифференциальных уравнений часто приписывают известному английскому математику Харди, жившему в первой половине XX века.
Рассматривая чертёж, показанный на рисунке, и наблюдая изменение стороны a, мы можем записать следующее соотношение для бесконечно малых приращений сторон с и a (используя подобие треугольников):
Доказательство методом бесконечно малых
Пользуясь методом разделения переменных, находим
Более общее выражение для изменения гипотенузы в случае приращений обоих катетов
Интегрируя данное уравнение и используя начальные условия, получаем
c2 = a2 + b2 + constant.
Таким образом, мы приходим к желаемому ответу
c2 = a2 + b2.
Как нетрудно видеть, квадратичная зависимость в окончательной формуле появляется благодаря линейной пропорциональности между сторонами треугольника и приращениями, тогда как сумма связана с независимыми вкладами от приращения разных катетов.
Более простое доказательство можно получить, если считать, что один из катетов не испытывает приращения (в данном случае катет b). Тогда для константы интегрирования получим
11 слайд
Вариации и обобщения
12 слайд
Теорема де Гуа
Теорема косинусов
В сферической геометрии, на единичной сфере, теорема Пифагора имеет вид
cosc = cosacosb.
См. также Теоремы косинусов (сферическая геометрия).
В геометрии Лобачевского, на плоскости кривизны - 1, теорема Пифагора имеет вид
Теорема де Гуа: Для треугольной пирамиды ABCD, такой, что три угла при вершине D ( , и ) — прямые, верно следующее соотношение: квадрат площади грани, противолежащей вершине D, равен сумме квадратов площадей граней, прилежащих к этому углу.
13 слайд
В любом равнобедренном треугольнике верно следующее соотношение (см. рисунок внизу справа)[3]:
Если вместо квадратов построить на катетах другие подобные фигуры, то верно следующее обобщение теоремы Пифагора: В прямоугольном треугольнике сумма площадей подобных фигур, построенных на катетах, равна площади фигуры, построенной на гипотенузе. В частности:
Сумма площадей правильных треугольников, построенных на катетах, равна площади правильного треугольника, построенного на гипотенузе.
Сумма площадей полукругов, построенных на катетах (как на диаметре), равна площади полукруга, построенного на гипотенузе. Этот пример используется при доказательстве свойств фигур, ограниченных дугами двух окружностей и носящих имя гиппократовых луночек.
В случае ортогональной системы векторов имеет место равенство, также называемое теоремой Пифагора:
Если — это проекции вектора на координатные оси, то эта формула совпадает с расстоянием Евклида и означает, что длина вектора есть корень квадратный из суммы квадратов его компонентов.
Аналог этого равенства в случае бесконечной системы векторов носит название равенства Парсеваля.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
Педагогами и психологами накоплено много рекомендаций для формирования и развития интереса к математике. Правда, из-за сложности психики и внутреннего мира ребенка эти рекомендации не всегда могут срабатывать, как хотелось бы. Эта же сложность служит главной причиной того, что в само понятие интереса часто вкладывается настолько разнообразный смысл, что трудно бывает найти общую основу этого понятия. И сами рекомендации настолько разнообразны, что трудно их «привести к общему знаменателю». Поэтому, каждый педагог старается собрать по крупицам все интересное и занимательное для лучшего усвоения материала по предмету.
6 671 622 материала в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Маркова Лидия Васильевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс повышения квалификации
36/72 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 180 ч.
Курс повышения квалификации
72 ч. — 180 ч.
Мини-курс
4 ч.
Мини-курс
5 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.