Презентация Элементы алгебры логики

• 1 слайд

  Что такое алгебра?
  

• 2 слайд

  2+2=4
  4-2=2
  

• 3 слайд

  Задача:
  Есть 2 пустых ведра: первое объемом 5 л, второе — 3 л. Как с их помощью отмерить 4 литра воды?
  
  

• 4 слайд

  ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ
  МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНФОРМАТИКИ
  

• 5 слайд

  Ключевые слова
  алгебра логики
  высказывание
  логическая операция
  конъюнкция
  дизъюнкция
  отрицание
  логическое выражение
  таблица истинности
  законы логики
  

• 6 слайд

  Клод Шеннон (1916-2001). Его исследования позволили применить алгебру логики в вычислительной технике
  Логика
  Аристотель (384-322 до н.э.). Основоположник формальной логики (понятие, суждение, умозаключение).
  Джордж Буль (1815-1864). Создал новую область науки - Математическую логику (Булеву алгебру или Алгебру высказываний).
  

• 7 слайд

  Алгебра - наука об общих операциях, аналогичных сложению и умножению, которые могут выполняться над разнообразными математическими объектами – числами, многочленами, векторами и др.
  Алгебра
  

• 8 слайд

  Высказывание - это предложение на любом языке, содержание которого можно однозначно определить как истинное или ложное.
  В русском языке высказывания выражаются повествовательными предложениями:
  Земля вращается вокруг Солнца.
  Москва - столица.
  Побудительные и вопросительные предложения высказываниями не являются.
  Без стука не входить!
  Откройте учебники.
  Ты выучил стихотворение?
  Высказывание
  Но не всякое повествовательное предложение является высказыванием:
  Это высказывание ложное.
  

• 9 слайд

  Высказывание или нет?
  Зимой идет дождь.
  Снегири живут в Крыму.
  Кто к нам пришел?
  У треугольника 5 сторон.
  Как пройти в библиотеку?
  Переведите число в десятичную систему.
  Запишите домашнее задание
  

• 10 слайд

  Алгебра логики определяет правила записи, вычисления значений, упрощения и преобразования высказываний.
  В алгебре логики высказывания обозначают буквами и называют логическими переменными.
  Если высказывание истинно, то значение соответствующей ему логической переменной обозначают единицей (А = 1), а если ложно - нулём (В = 0).
  0 и 1 называются логическими значениями.
  Алгебра логики
  

• 11 слайд

  Простые и сложные высказывания
  Высказывания бывают простые и сложные.
  Высказывание называется простым, если никакая его часть сама не является высказыванием.
  Сложные (составные) высказывания строятся из простых с помощью логических операций.
  

• 12 слайд

  Конъюнкция - логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум высказываниям новое высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания истинны.
  Другое название: логическое умножение.
  Обозначения:  , , &, И.
  Логические операции
  Таблица истинности:
  Графическое представление
  A
  B
  А&В
  

• 13 слайд

  ЛОГИЧЕСКОЕ УМНОЖЕНИЕ
  «Сегодня светит солнце и идет дождь»
  А – «Сегодня светит солнце»
  В – «Сегодня идет дождь»
  Логическое умножение (конъюнкция) образуется соединением двух (или более) высказываний в одно с помощью союза «и».
  

• 14 слайд

  ЛОГИЧЕСКОЕ УМНОЖЕНИЕ (КОНЪЮНКЦИЯ)
  Обозначение: &, ^, *.
  Союз в естественном языке: и.
  А ^ B – «Сегодня светит солнце и идет дождь»
  Таблица истинности
  Конъюнкция двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны, и ложна, когда хотя бы одно из высказываний ложно.
  

• 15 слайд

  Дизъюнкция - логическая операция, которая каждым двум высказываниям ставит в соответствие новое высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания ложны.
  Другое название: логическое сложение.
  Обозначения: V, |, ИЛИ, +.
  Логические операции
  Таблица истинности:
  Графическое представление
  A
  B
  АVВ
  

• 16 слайд

  ЛОГИЧЕСКОЕ СЛОЖЕНИЕ
  «На стоянке находится «Мерседес» или «Жигули»
  А – На стоянке находится «Мерседес»
  В – На стоянке находится «Жигули»
  Логическое сложение (дизъюнкция) образуется соединением двух (или более) высказываний в одно с помощью союза «или».
  

• 17 слайд

  ЛОГИЧЕСКОЕ СЛОЖЕНИЕ (ДИЗЪЮНКЦИЯ)
  Обозначение: +, V.
  Союз в естественном языке: или.
  А V B – На стоянке находится «Мерседес» или «Жигули»
  Дизъюнкция двух высказываний ложна тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны, и истинна, когда хотя бы одно из высказываний истинно.
  Таблица истинности
  

• 18 слайд

  Инверсия - логическая операция, которая каждому высказыванию ставит в соответствие новое высказывание, значение которого противоположно исходному.
  Другое название: логическое отрицание.
  Обозначения: НЕ, ¬ , ¯ .
  Логические операции имеют следующий приоритет:
  инверсия, конъюнкция, дизъюнкция.
  Логические операции
  Таблица истинности:
  Графическое представление
  A
  Ā
  

• 19 слайд

  ЛОГИЧЕСКОЕ ОТРИЦАНИЕ
  А – «Сегодня светит солнце»
  В – «Сегодня не светит солнце»
  Логическое отрицание (инверсия) образуется из высказывания с помощью добавления частицы «не» к сказуемому или использования оборота речи «неверно, что…».
  А – «У данного компьютера жидкокристаллический монитор»
  В – «Неверно, что у данного компьютера жидкокристаллический монитор»
  

• 20 слайд

  Физкультминутка
  

• 21 слайд

  Ходьба на месте
  Выше ноги! Стой, раз, два!
  Плечи выше поднимаем,
  А потом их опускаем.
  Руки перед грудью ставим
  И рывки мы выполняем.
  Десять раз подпрыгнуть нужно,
  Скачем выше, скачем дружно!
  Мы колени поднимаем —
  Шаг на месте выполняем.
  От души мы потянулись,
  И на место вновь вернулись.
  

• 22 слайд

  Пусть А = «На Web-странице встречается слово "крейсер"», В = «На Web-странице встречается слово "линкор"».
  В некотором сегменте сети Интернет 5 000 000 Web-страниц. В нём высказывание А истинно для 4800 страниц, высказывание В - для 4500 страниц, а высказывание АVВ - для 7000 страниц.
  Для какого количества Web-страниц в этом случае будут истинны следующие выражения и высказывание?
  а) НЕ (А ИЛИ В);
  б) А & B;
  в) На Web-странице встречается слово "крейсер" И НЕ встречается слово "линкор".
  Решаем задачу
  

• 23 слайд

  5000000 – 7000 = 4 993 000 Web-страниц НЕ (А ИЛИ В)
  A = 4800, B = 4500.
  4800 + 4500 = 9300
  4800 – 2300 = 2500 Web-страниц
  Представим условие задачи графически:
  На 2500 Web-страницах встречается слово "крейсер" И НЕ встречается слово "линкор".
  5 000 000
  7 000
  НЕ (А ИЛИ В)
  Сегмент Web-страниц
  A
  B
  A&B
  9300 – 7000 = 2300 Web-страниц A&B
  A
  И
  B
  А ИЛИ В
  

• 24 слайд

  Построение таблиц истинности для логических выражений
  подсчитать n - число переменных в выражении
  подсчитать общее число логических операций в выражении
  установить последовательность выполнения логических операций
  определить число столбцов в таблице
  заполнить шапку таблицы, включив в неё переменные и операции
  определить число строк в таблице без шапки: m =2n
  выписать наборы входных переменных
  провести заполнение таблицы по столбцам, выполняя логические
  операции в соответствии с установленной последовательностью
  

• 25 слайд

  А V A & B
  n = 2, m = 22 = 4.
  Приоритет операций: &, V
  Пример построения таблицы истинности
  

• 26 слайд

  Что изучает наука логика?
  В чем особенность алгебры логики?
  Какие выражения являются высказываниями, а какие нет?
  Какие возможные значения могут иметь логические выражения?
  Какие возможные обозначения применяют для логических выражений и их значений?
  Какие логические операции вы знаете?
  Как построить таблицу истинности сложного высказывания?
  Устное повторение:
  

• 27 слайд

  Расскажи, как бы ты упростил следующее алгебраическое выражение?
  ( a * b ) + ( a * c )
  a * ( b + c)
  Какой закон алгебры ты применил? Каковы его свойства?
  Распределительный закон
  Расскажи, как бы ты упростил следующее логическое выражение?
  (a & b) V (a & с)
  a & ( b V с )
  

• 28 слайд

  Что ты можешь сказать о свойствах алгебраических и логических выражений?
  

• 29 слайд

  Тема урока:
  «Свойства логических операций.
  «Логические законы»
  

• 30 слайд

  Задачи урока:
  Научиться :
  доказывать справедливость законов логики.
  Узнать:
  о свойствах логических операций.
  

• 31 слайд

  Свойства логических операций
  Законы алгебры логики
  A & B = B & A
  A V B = B V A
  A&(BVC)= (A&B) V (A&C)
  AV(B&C) = (AVB)&(AVC)
  (A & B) & C = A & ( B & C)
  (A V B) V C =A V ( B V C)
  Переместительный
  Сочетательный
  Распределительный
  Закон двойного
  отрицания
  Ā = A
  A & Ā = 0
  A V Ā = 1
  A & 0=0; A &1 = A
  A V 0 = A; A V 1 = 1
  A & A = A
  A V A = A
  Закон исключения
  третьего
  Закон повторения
  Законы операций
  с 0 и 1
  Законы общей
  инверсии
  A & B = Ā V B
  A V B = Ā & B
  

• 32 слайд

  Распределительный закон для логического сложения:
  A v (B & C) = (A v B) & (A v C).
  Доказательство закона
  Умножаем В на С и выводим результат.
  0
  0
  0
  0
  0
  0
  1
  1
  Складываем А и В и выводим результат.
  0
  0
  0
  1
  1
  1
  1
  1
  Складываем А и (В&С) и выводим результат.
  0
  0
  1
  1
  1
  1
  1
  1
  Складываем А и C и выводим результат.
  0
  0
  1
  1
  1
  1
  1
  1
  Умножаем (АvB) на (AvC )и выводим результат.
  0
  0
  0
  1
  1
  1
  1
  1
  Равенство выделенных столбцов доказывает распределительный закон.
  

• 33 слайд

  Решение логических задач
  

• 34 слайд

  Этапы решения логических задач:
  1) внимательно изучить условие;
  2) выделить простые высказывания и обозначить их латинскими буквами;
  3) записать условие задачи на языке алгебры логики;
  4) составить конечную формулу, для этого объединить логическим умножением формулы каждого утверждения, приравнять произведение единице;
  5) упростить формулу, проанализировать полученный результат или составить таблицу истинности, найти по таблице значения переменных, для которых F = 1, проанализировать результаты.
  
  

• 35 слайд

  Задача. Коля, Вася и Серёжа гостили летом у бабушки. Однажды один из мальчиков нечаянно разбил любимую бабушкину вазу.
  Решение логических задач
  На вопрос, кто разбил вазу, они дали такие ответы:
  Серёжа: 1) Я не разбивал. 2) Вася не разбивал.
  Вася: 3) Серёжа не разбивал. 4) Вазу разбил Коля.
  Коля: 5) Я не разбивал. 6) Вазу разбил Серёжа.
  Бабушка знала, что один из её внуков (правдивый), оба раза сказал правду; второй (шутник) оба раза сказал неправду; третий (хитрец) один раз сказал правду, а другой раз - неправду. Назовите имена правдивого, шутника и хитреца.
  Кто из внуков разбил вазу?
  

• 36 слайд

  С
  В
  К
  С
  Решение. Пусть К =«Коля разбил вазу»,
  В =«Вася разбил вазу»,
  С =«Серёжа разбил вазу».
  Представим в таблице истинности высказывания каждого мальчика. Так как ваза разбита одним внуком, составим не всю таблицу, а только её фрагмент, содержащий наборы входных переменных: 001, 010, 100.
  Исходя из того, что знает о внуках бабушка, следует искать в таблице строки, содержащие в каком-либо порядке три комбинации значений: 00, 11, 01 (или 10). Это первая строка.
  Вазу разбил Серёжа, он - хитрец. Шутником оказался Вася. Имя правдивого внука - Коля.
  

• 37 слайд

  Рассмотрим применение данного алгоритма на решении задачи:
  Внимательно читаем условие задачи:
  Виктор, Роман, Леонид и Сергей заняли на математической олимпиаде четыре первых места.
  Когда их спросили о распределении мест, они ответили так:
  а) Сергей — первый, Роман - второй;
  б) Сергей — второй, Виктор - третий;
  в) Леонид — второй, Виктор - четвертый.
  Известно, что в каждом ответе
  только одно утверждение верно.
  Как распределились места?
  
  

• 38 слайд

  2) Выделяем простые высказывания и обозначаем их буквами.
  
  
  
  
  
  3) записываем условие задачи на языке алгебры логики:
  А) А V B
  Б) A V C
  С)B V C
  4) составим конечную формулу, для этого объединим логическим умножением формулы каждого утверждения, приравниваем произведение единице;
  

• 39 слайд

  1 способ. Упрощение логического выражения:
  

• 40 слайд

  2 способ. Построим таблицу истинности для нашего выражения:
  Смотрим значения переменных и получаем тот же результат, что и при первом способе решения.
  

• 41 слайд

  Работа в группах
  При составлении расписания на вторник  в 11 классе преподаватели высказали просьбы завучу.
  Учитель математики: «Желаю иметь первый или второй урок».
  Учитель истории : «Желаю иметь первый или третий урок».
  Учитель литературы: «Желаю иметь второй или третий урок».
  Какое расписание будет составлено, если по каждому предмету может быть только один урок.
  

• 42 слайд

  a
  F
  a
  b
  F
  Переключательные схемы
  Последовательное соединение
  Параллельное соединение
  

• 43 слайд

  Логический элемент – устройство, которое после обработки двоичных сигналов выдаёт значение одной из логических операций.
  &
  А
  В
  И (конъюнктор)
  1
  А
  В
  ИЛИ (дизъюнктор)
  НЕ (инвертор)
  А
  Логические элементы
  

• 44 слайд

  Какой сигнал должен быть на выходе при каждом возможном наборе сигналов на входах?
  Анализ электронной схемы
  Решение. Все возможные комбинации сигналов на входах А и В внесём в таблицу истинности. Проследим преобразование каждой пары сигналов при прохождении их через логические элементы и запишем полученный результат в таблицу. Заполненная таблица истинности полностью описывает рассматриваемую электронную схему.
  А 0010
  В 0101
  &
  0010 F
  1010
  В инвертор поступает сигнал от входа В.
  В конъюнктор поступают сигналы от входа А и от инвертора. Таким образом, F = A & B.
  

• 45 слайд

  Высказывание — это предложение на любом языке, содержание которого можно однозначно определить как истинное или ложное.
  Основные логические операции, определённые над высказываниями: инверсия, конъюнкция, дизъюнкция.
  Таблицы истинности для основных логических операций:
  При вычислении логических выражений сначала выполняются действия в скобках. Приоритет выполнения логических операций: ¬, &, V.
  Самое главное
  

• 46 слайд

  Вопросы и задания
  Объясните, почему следующие предложения не являются высказываниями.
  
  1) Какого цвета этот дом?
  2) Число Х не превосходит единицы.
  3) 4Х +3.
  4) Посмотрите в окно.
  5) Пейте томатный сок!
  6) Эта тема скучна.
  7) Рикки Мартин - самый популярный певец.
  8) Вы были в театре?
  Приведите по одному примеру истинных и ложных высказываний из биологии, географии, информатики, истории, математики, литературы.
  В следующих высказываниях выделите простые высказывания, обозначив каждое из них буквой. Запишите с помощью букв и знаков логических операций каждое составное высказывание.
  1) Число 376 чётное и трёхзначное.
  2) Зимой дети катаются на коньках или на лыжах.
  3) Новый год мы встретим на даче или на Красной площади.
  4) Неверно, что Солнце движется вокруг Земли.
  5) Земля имеет форму шара, который из космоса кажется голубым.
  6) На уроке математики старшеклассники отвечали на вопросы учителя, а также писали самостоятельную работу.
  Постройте отрицания следующих высказываний.
  
  1) Сегодня в театре идёт опера «Евгений Онегин».
  2) Каждый охотник желает знать, где сидит фазан.
  3) Число 1 есть простое число.
  4) Натуральные числа, оканчивающиеся цифрой 0, не являются простыми числами.
  5) Неверно, что число 3 не является делителем числа 198.
  6) Коля решил все задания контрольной работы.
  7) Во всякой школе некоторые ученики интересуются спортом.
  8) Некоторые млекопитающие не живут на суше.
  Пусть А = «Ане нравятся уроки математики», а В = «Ане нравятся уроки химии». Выразите следующие формулы на обычном языке:
  Рассмотрите представленные на рисунке электрические
  схемы:
  Проведите аналогию между элементами электрических схем и объектами и операциями алгебры логики:
  220 В
  A и B
  A
  B
  220 В
  A или B
  A
  B
  Выясните, какой сигнал должен быть на выходе электронной схемы при каждом возможном наборе сигналов на входах. Составьте таблицу работы схемы. Каким логическим выражением описывается схема?
  1
  F
  А
  В
  

• 47 слайд

  Вопросы и задания
  Разбирается дело Джона, Брауна и Смита. Известно, что один из них нашёл и утаил клад. На следствии каждый из подозреваемых сделал два заявления:
  Смит: «Я не делал этого. Браун сделал это».
  Джон: «Браун не виновен. Смит сделал это».
  Браун: «Я не делал этого. Джон не делал этого».
  Суд установил, что один из них дважды солгал, другой дважды сказал правду, третий один раз солгал, один раз сказал правду.
  Кто из подозреваемых должен быть оправдан?
  Алёша, Боря и Гриша нашли в земле старинный сосуд. Рассматривая удивительную находку, каждый высказал по два предположения:
  
  1) Алеша: «Это сосуд греческий и изготовлен в V веке».
  2) Боря: «Это сосуд финикийский и изготовлен в III веке».
  3) Гриша: «Это сосуд не греческий и изготовлен в IV веке».
  
  Учитель истории сказал ребятам, что каждый из них прав только в одном из двух предположений. Где и в каком веке изготовлен сосуд?
  

• 48 слайд

  Опорный конспект
  Инверсия
  Конъюнкция
  Дизъюнкция
  Высказывание – это предложение на любом языке, содержание которого
  можно однозначно определить как истинное или ложное.
  Приоритет выполнения логических операций: ¬, &, V.
  Основные логические
  операции