Презентация "Геометрический смысл производной"

• 1 слайд

  Геометрический смысл производной.
  Тема урока:
  

• 2 слайд

  Домашнее задание:
  №859(5,6),
  860(2,4,6,8)
  
  2
  

• 3 слайд

  Геометрический смысл производной
  k = f '(x₀)=tg
  значение производной в точке х₀
  
  тангенс угла наклона касательной к положительному направлению оси ОХ
  
  угловой коэффициент касательной
  
  

• 4 слайд

  8
  2
  a
  На рисунке изображены график функции у =f(x) и касательная к этому графику, проведенная в точке с абсциссой х0. Найдите значение производной функции у =f(x) в точке х0.
  х
  х0
  у
  O
  у =f(x)
  -3
  -7
  1
  Еще удобный треугольник…
  2
  8
  tga=
  a
  a
  3). Найдем тангенс угла – это отношение 4:1. Тангенс тупого, смежного угла равен – 4.
  a
  

• 5 слайд

  В данных заданиях всегда есть удобные точки.
  Этим можно воспользоваться.
  х
  х0
  у
  O
  у =f(x)
  -3
  -7
  2 способ
  Решение:
  Уравнение прямой у = kx + b.
  В этом уравнении угловой коэффициент k - искомая величина.
  f/(xo)=k
  k=tgα
  у = kх + b
  Подставим координаты удобных точек в уравнение прямой.
  (-1; -3)
  (0; -7)
  – 7 = b.
  – 3 = – 1k + b.
  – 4 = k
  k = – 4
  –
  

• 6 слайд

  Самостоятельная работа
  по материалам КИМов ЕГЭ
  

• 7 слайд

  Дана функция y=f(x) непрерывная и дифференцируемая в точке (x0; f(x0)).
  Составим уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке
  (x0; f(x0)).
  Уравнение прямой (касательной) имеет вид: y=kx+b (1), где k – угловой коэффициент прямой (касательной).
  По геометрическому смыслу производной: kкас= f ′(x0), где x0 – абсцисса точки касания.
  Вывод уравнения касательной
  

• 8 слайд

  Вывод уравнения касательной
  Подставим в уравнение y=kx+b (1) вместо k выражение kкас= f ′(x0).
  Получим: y= f ′(x0)∙x+b (2).
  Точка с координатами (x0; f(x0)) принадлежит касательной, значит её координаты удовлетворяют уравнению касательной, то есть уравнению (2).
  Следовательно уравнение касательной (2) принимает вид: f(x0) = f ′(x0) ·x0 +b (3).
  

• 9 слайд

  Выразим из уравнения (3) коэффициент b.
  Получим: b = f(x0) - f ′(x0) ·x0 . Подставим это значение во (2) уравнение.
  Тогда y= f ′(x0)·x+ f(x0) - f ′(x0) ·x0 .
  После преобразования уравнение принимает вид: y= f ′(x0)·(x- x0)+ f(x0).
  Это и есть уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке
  (x0; f(x0)).
  Вывод уравнения касательной
  

• 10 слайд

  Уравнение касательной
  y= f ′(x0)·(x- x0)+ f(x0)
  
  угловой коэффициент касательной (значение производной в точке x0, тангенс угла наклона касательной к оси абсцисс
  ордината точки касания (значение функции y=f(x) в точке x0)
  абсцисса точки касания
  

• 11 слайд

  Алгоритм составления уравнения касательной
  Запишите уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой в общем виде.
  Найдите производную функции
  Вычислите значение производной
  
  4. Вычислите значение функции в точке
  
  5. Подставьте найденные значения в уравнение касательной
  
  

• 12 слайд

  Составить уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке x0 .
  f(x0)= f(e)=ln2e=1
  f ′(x)= 2lnx·x-1
  f ′(x0)= f ′(e)= 2lne·e-1 = =2e-1
  Подставим в уравнение касательной:
  y= 2e-1·(x- e)+ 1
  y= 2e-1·x -1
  
  y=ln2x, x0=e.
  y= f ′(x0)·(x- x0)+ f(x0)
  

• 13 слайд

  Составить уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке графика с ординатой y0 .
  Подставим в уравнение касательной:
  y= -1 ·(x - 1)+ 1
  y= - x+2
  y0=1.
  y= f ′(x0)·(x- x0)+ f(x0)
  

• 14 слайд

  Составить уравнение касательной к графику функции y=f(x), образующей с осью Ox угол α.
  Подставим в уравнение касательной и получим:
  у= x - 3, y = x+1
  y= f ′(x0)·(x- x0)+ f(x0)
  

• 15 слайд

  Составить уравнение касательной к графику функции y=f(x), параллельной прямой y=kx+b.
  f ′(x)=2e2x-1
  kкас=2= f ′(x0)
  2e2x-1 =2,
  то есть x0=0,5
  Подставим в уравнение касательной и получим:
  y= 2x
  у = e2x-1, y=2x+7
  y= f ′(x0)·(x- x0)+ f(x0)
  

• 16 слайд

  Решаем в классе:
  № 860(чет.)