Презентация к исследовательской работе по математике на тему "Треугольник загадочная фигура геометрии"

• 1 слайд

  ТРЕУГОЛЬНИК ЗАГАДОЧНАЯ ФИГУРА ГЕОМЕТРИИ.
  Обладая литературой более обширной, чем алгебра и арифметика вместе взятые и по крайней мере столь же обширной как и анализ, геометрия в большей степени, чем любой другой раздел математики, является богатейшей сокровищницей интереснейших, но полузабытых вещей, которыми спешащее поколение не имеет времени насладиться
  Е.Т. Белл
  

• 2 слайд

  Цель исследования: расширить представления о треугольнике; изучить подробно одну из знаменитых неразрешимых задач математики и то, что с ней связанно.
  
  Объект исследования: треугольник
  Предмет исследования: задача о трисектрисе угла треугольника.
  Гипотеза исследования: Если популярность треугольника определяется его триединством, то это простота, красота и значимость. Неразрешимая задача древности сыграла свою роль в развитии математики, результаты решения трисекции угла применимы на практике.
  
  

• 3 слайд

  Франк Морлей (англ. Frank Morley, 9 сентября 1860 — 17 октября 1937)
  

• 4 слайд

  Пусть ABC – произвольный треугольник. Хорошо известно, что биссектрисы его углов пересекаются в одной точке. А что произойдет, если биссектрисы заменить трисектрисами? Фрэнк Морлей рассмотрел такую ситуацию и доказал, что точки А1, В1, С1 при любом исходном треугольнике ABC являются вершинами равностороннего треугольника. Морлей рассказал об этом поразившем его факте своим друзьям, те – в свою очередь – своим, и вскоре "теорема о трисектрисах треугольника", ныне известная как теорема Морлея, распространилась по миру в качестве своеобразного математического фольклора.
  
  

• 5 слайд

  Деление прямого угла на три равные части.
  
  

• 6 слайд

  
  Построение трисектрисы угла методом вставок.
  
  

• 7 слайд

  
  
  Задача1. Биссектрисы треугольника АВС пересекаются в точке О. Докажите, что угол СОВ на 90° больше, чем половина угла А.
  
  Решение: Введем обозначение угол А=2α, угол В=2β, угол С=2γ. Ясно, что α+β+γ=90°. Тогда β+γ= 90°-α. Следовательно, угол СОВ = 180°-(β+γ) = 180°- (90°-α) = α+90°.
  
  

• 8 слайд

  
  Задача2(обратная к задаче 1). Внутри треугольника АВС взята точка О так, что угол СОВ на 90° больше, чем угол САО, а угол СОА на 90° больше, чем угол СВО. Докажите, что АО, ВО и СО являются биссектрисами углов данного треугольника.
  
  Решение: Обозначим уголСАО =α, уголСВО =β. Тогда, по условию, угол СОА =β+90°, уголСОВ =α+90°. То, что СО – биссектриса угла С, очевидно, так как в каждом из треугольников АСО и ВСО сумма двух углов одинакова ( каждая из них равна α+β+90°).
  Докажем теперь, что АО – биссектриса угла САВ.
  

• 9 слайд

  
  Задача 3. На сторонах ОА1 и ОВ1 равностороннего треугольника А1ОВ1 построим внешним образом треугольники А1ОА и В1ОВ так, что угол В1ОВ на 60° больше, чем угол А1АО , а угол А1ОА на 60° больше, чем угол В1ВО. Прямые АА1 и ВВ1 пересекаются в точке С. Докажите, что АО, ВО и СО являются биссектрисами углов треугольника АВС.
  
  Решение: Обозначим угол А1ОА =α, угол В1ВО=β. Ясно, что угол АА1О=угол ВВ1О. Получается, что угол СА1В1 =угол СВ1А1 ( так как угол ОА1В1=угол ОВ1А1=60°), т.к. треугольник А1СВ1 оказывается равнобедренным. Поэтому треугольники А1ОС и В1ОС равны ( по трем сторонам), и каждый из углов А1ОС и В1ОС равен 30°. При этом угол АОС=β+90°.
  
  

• 10 слайд

  ТЕОРЕМА МОРЛЕЯ.
  Пусть АВС – данный треугольник, а треугольник XYZ образован трисектрисами углов данного треугольника. Докажем, что треугольник XYZ равносторонний.
  Введем обозначения:
  угол А=3α,
  угол В=3β,
  угол С=3γ.
  

• 11 слайд

  Рассмотрим произвольный равносторонний треугольник А1В1С1. Построим на стороне В1С1 треугольник А2В1С1так, чтобы угол А2В1С1 = γ+60°, а угол А2С1В1 = β+60°. Очевидно, что
  угол В1 А2 С1 = α, так как α+ β+ γ=60°.
  
  

• 12 слайд

  
  
  Задача о построении треугольника, из всех углов которого проведены трисектрисы.
  
  Теорема. Пусть ближайшие к стороне ВС трисектрисы углов B и С пересекаются в точке A1; точки В1 и С1 определяются аналогично. Тогда треугольник А1В1С1 равносторонний, а отрезок С1С является перпендикуляром к основанию правильного треугольника.
  Решим следующую задачу: построим треугольник, из всех углов которого проведены трисектрисы.
  

• 13 слайд

  1.Построим два произвольных угла BAC1 и АВС1, одна сторона которых является общей.
  Построенные углы должны удовлетворять неравенству: ВАС1+ АВС1 < 60º
  

• 14 слайд

  
  2) Пусть луч АС1 – ось симметрии. Отразим угол ВАС1 относительно оси АС1. Аналогично, отразим относительно оси ВС1 угол АВС1.
  
  

• 15 слайд

  
  
  3) Пусть луч АС2 – ось симметрии. Отразим уголC1АC2 относительно оси АС2. Аналогично, отразим относительно оси ВС2 угол C1ВC2.
  
  

• 16 слайд

  4) Соединим точки пересечения трисектрис С1 и С2 отрезком С1С2.
  
  

• 17 слайд

  5) В теореме Морли сказано, что при пересечении трисектрис треугольника получается правильный треугольник, а отрезок С1С2 является перпендикуляром к основанию правильного треугольника и проходит через вершину этого треугольника.
  

• 18 слайд

  ЭТО ИНТЕРЕСНО.
  

• 19 слайд

  
  
  Бермудский треугольник.
  Бермудский треугольник один из самых загадочных и интересных треугольников . Еще это место называют аномальной зоной.
  
  

• 20 слайд

  
  Треугольник Паскаля
  Мартин Гарднер пишет в книге "Математические новеллы" (М., Мир, 1974): "Треугольник Паскаля так прост, что выписать его сможет даже десятилетний ребенок. В тоже время он таит в себе неисчерпаемые сокровища и связывает воедино различные аспекты математики, не имеющие на первый взгляд между собой ничего общего. Столь необычные свойства позволяют считать треугольник Паскаля одной из наиболее изящных схем во всей математике". 
  
  

• 21 слайд

  А еще проще объясняют устройство треугольника Паскаля слова: каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Все элементарно, но сколько в этом таится чудес.
  
  

• 22 слайд

  
  Музыкальный треугольник.
  Это ударный инструмент: стальной прут, согнутый в виде незамкнутого треугольника. Треугольник подвешивают (на ремешке или струне) и извлекают звук ударами металлического стерженька.
  Звук инструмента яркий, звенящий. Применяется в оркестрах и инструментальных ансамблях. Музыкальный треугольник должен быть обязательно равнобедренным.
  
  

• 23 слайд

  В 11 классе мы будем изучать интереснейший предмет-астрономию и узнаем о созвездии северного полушария неба, которое называется «Треугольник». В созвездии достаточно яркие звезды. Наилучшие условия для наблюдения за ними – в октябре месяце. В это время созвездие «Треугольник» видно на всей территории России.
  

• 24 слайд

  Заключение
  
  Итак, неразрешимые задачи на построение сыграли особую роль в истории математики. В конце концов, было доказано, что эти задачу невозможно решить, пользуясь только циркулем и линейкой. Но уже сама постановка задачи — «доказать неразрешимость» — была смелым шагом вперёд.
  Вместе с тем предлагалось множество решений при помощи нетрадиционных инструментов. Всё это привело к возникновению и развитию совершенно новых идей в геометрии и алгебре.