Презентация к уроку геометрии в 11 классе. Простейшие задачи в координатах

• 1 слайд

  Простейшие задачи
  в координатах
  

• 2 слайд

  Вычисление координат середины отрезка.
  Вычисление длины отрезка по его координатам.
  Сегодня на уроке:
  Вычисление расстояния между двумя точками.
  

• 3 слайд

  1. Определение координат середины отрезка
  𝐴( 𝑥 1 ; 𝑦 1 ; 𝑧 1 )
  𝐵( 𝑥 2 ; 𝑦 2 ; 𝑧 2 )
  𝐶
  𝑂𝐶 = 1 2 𝑂𝐴 + 𝑂𝐵
  𝑂𝐴 − радиус-вектор точки 𝐴
  𝑂𝐵 − радиус-вектор точки 𝐵
  𝑂𝐴 𝑥 1 ; 𝑦 1 ; 𝑧 1
  𝑂𝐵 { 𝑥 2 ; 𝑦 2 ; 𝑧 2 }
  𝑂𝐴 + 𝑂𝐵 { 𝑥 1 + 𝑥 2 ; 𝑦 1 + 𝑦 2 ; 𝑧 1 + 𝑧 2 }
  1 2 𝑂𝐴 + 𝑂𝐵 𝑥 1 + 𝑥 2 2 ; 𝑦 1 + 𝑦 2 2 ; 𝑧 1 + 𝑧 2 2
  𝑂𝐶 𝑥 1 + 𝑥 2 2 ; 𝑦 1 + 𝑦 2 2 ; 𝑧 1 + 𝑧 2 2
  Каждая координата середины отрезка
  равна полусумме
  соответствующих координат его концов.
  (?;?;?)
  𝐶 𝑥 1 + 𝑥 2 2 ; 𝑦 1 + 𝑦 2 2 ; 𝑧 1 + 𝑧 2 2
  𝑦
  𝑧
  𝑥
  𝑂
  𝑂𝐶 = 𝑂𝐴 + 𝐴𝐶
  𝑂𝐶 = 𝑂𝐵 + 𝐵𝐶
  2 𝑂𝐶 = 𝑂𝐴 + 𝐴𝐶 + 𝑂𝐵 + 𝐵𝐶
  2 𝑂𝐶 = 𝑂𝐴 + 𝑂𝐵
  𝑂𝐶 = 1 2 𝑂𝐴 + 𝑂𝐵
  

• 4 слайд

  Задача. Точка 𝑀− середина отрезка 𝐴𝐵.
  𝒙= 𝒙 𝟏 + 𝒙 𝟐 𝟐 𝒚= 𝒚 𝟏 + 𝒚 𝟐 𝟐 𝒛= 𝒚 𝟏 + 𝒚 𝟐 𝟐
  𝑥= 0+(−2) 2 𝑦= 3+2 2 𝑧= −4+0 2
  𝒙 𝟐 =𝟐𝒙− 𝒙 𝟏 𝒚 𝟐 =𝟐𝒚− 𝒚 𝟏 𝒛 𝟐 =𝟐𝒛− 𝒛 𝟏
  𝑥 2 =2∙3−14 𝑦 2 =2∙(−2)−(−8) 𝑧 2 =2∙ −7 −5
  𝑥 2 =−8 𝑦 2 =4 𝑧 2 =−19
  𝒙 𝟏 =𝟐𝒙− 𝒙 𝟐 𝒚 𝟏 =𝟐𝒚− 𝒚 𝟐 𝒛 𝟏 =𝟐𝒛− 𝒛 𝟐
  𝑥 1 =2∙(−12)−0 𝑦 1 =2∙3−0 𝑧 1 =2∙15−2
  𝑥 1 =−24 𝑦 1 =8 𝑧 1 =28
  𝑥=−1 𝑦=2,5 𝑧=−2
  

• 5 слайд

  2. Вычисление длины вектора по его координатам
  Длина вектора 𝑎 {𝑥;𝑦;𝑧} равна корню квадратному из суммы квадратов его координат.
  𝑦
  𝑧
  𝑥
  𝑂
  𝐴 1
  𝐴 2
  𝐴 3
  𝑎 {𝑥;𝑦;𝑧}
  𝒂
  𝐴
  𝑖
  𝑘
  𝑗
  𝑥 𝑖
  𝑦 𝑗
  𝑧 𝑘
  𝑂 𝐴 1 =𝑥 𝑖
  𝑂 𝐴 2 =𝑦 𝑗
  𝑂 𝐴 3 =𝑧 𝑘
  𝑂𝐴 = 𝑂 𝐴 1 + 𝑂 𝐴 2 + 𝑂 𝐴 3 =𝑥 𝑖 +𝑦 𝑗 +𝑧 𝑘
  𝑂𝐴 = 𝑎 ⟹ 𝑂𝐴 = 𝑎 =𝑂𝐴
  𝑂𝐴= 𝑂 𝐴 1 2 + 𝑂 𝐴 2 2 + 𝑂 𝐴 3 2 = 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2
  𝒂 = 𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 + 𝒛 𝟐
  ⟹ 𝑎 =𝑥 𝑖 +𝑦 𝑗 +𝑧 𝑘
  

• 6 слайд

  Задача. Вычислить длину вектора 𝐴𝐵 .
  а) 𝐴 −1;0;2 , 𝐵 1;−2;3 ;
  б) 𝐴 −35;−17;20 , 𝐵 −34;−5;8 .
  𝐴𝐵 = 4+4+1
  𝐴𝐵 = 9
  𝐴𝐵 =3
  𝑎 {𝑥;𝑦;𝑧}
  𝒂 = 𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 + 𝒛 𝟐
  Решение.
  а) 𝐴 −1;0;2 , 𝐵 1;−2;3
  𝐴𝐵 {2;−2;1}
  𝐴𝐵 = 2 2 + −2 2 + 1 2
  𝐴𝐵 {1−(−1);−2−0;3−2}
  𝐴𝐵 = 1+144+144
  𝐴𝐵 = 289
  𝐴𝐵 =17
  б) 𝐴 −35;−17;20 , 𝐵 −34;−5;8
  𝐴𝐵 {1;12;−12}
  𝐴𝐵 = 1 2 + 12 2 + (−12) 2
  𝐴𝐵 {−34−(−35);−5−(−17);8−20}
  

• 7 слайд

  Задача. Вычислить длины векторов 𝑎 , 𝑏 , 𝑐 , 𝑑 и 𝑚 .
  𝑎 {5;−1;7} 𝑏 {2 3 ;−6;1} 𝑐 = 𝑖 + 𝑗 + 𝑘 𝑑 =2 𝑘 𝑚 = 𝑖 −2 𝑗
  Решение.
  𝑎 {5;−1;7}
  𝑎 = 5 2 + (−1) 2 + 7 2 = 25+1+49 = 75 =5 3
  𝑏 {2 3 ;−6;1}
  𝑏 = (2 3 ) 2 + (−6) 2 + 1 2 = 12+36+1 = 49 =7
  𝑐 = 𝑖 + 𝑗 + 𝑘 ⟹ 𝑐 {1;1;1}
  𝑐 = 1 2 + 1 2 + 1 2 = 1+1+1 = 3
  𝑑 =2 𝑘 ⟹ 𝑑 {0;0;2}
  𝑑 = 0 2 + 0 2 + 2 2 = 4 =2
  𝑚 = 𝑖 −2 𝑗 ⟹ 𝑐 {1;−2;0}
  𝑚 = 1 2 + (−2) 2 + 0 2 = 1+4+0 = 5
  

• 8 слайд

  3. Определение расстояния между двумя точками
  𝑀 1
  𝑀 2
  𝑥 1 ; 𝑦 1 ; 𝑧 1
  𝑥 2 ; 𝑦 2 ; 𝑧 2
  𝒅
  𝑀 1 𝑀 2 { 𝑥 2 − 𝑥 1 ; 𝑦 2 − 𝑦 1 ; 𝑧 2 − 𝑧 1 }
  𝑀 1 𝑀 2 = 𝑥 2 − 𝑥 1 2 + 𝑦 2 − 𝑦 1 2 + 𝑧 2 − 𝑧 1 2
  𝑀 1 𝑀 2 = 𝑀 1 𝑀 2 =𝑑
  𝒅= 𝒙 𝟐 − 𝒙 𝟏 𝟐 + 𝒚 𝟐 − 𝒚 𝟏 𝟐 + 𝒛 𝟐 − 𝒛 𝟏 𝟐
  

• 9 слайд

  Задача. По координатам точек 𝐴, 𝐵 и 𝐶 определить вид ∆𝐴𝐵𝐶.
  а) 𝐴(9;3;−5), 𝐵(2;10;−5), 𝐶(2;3;2) б) 𝐴(3;7;−4), 𝐵(5;−3;2), 𝐶(1;3;−10)
  Решение.
  а) 𝐴(9;3;−5), 𝐵(2;10;−5), 𝐶(2;3;2)
  𝐴𝐵= (2−9) 2 + (10−3) 2 + (−5− −5 ) 2 = (−7) 2 + 7 2 + 0 2 =7 2
  𝐵𝐶= (2−2) 2 + (3−10) 2 + (2− −5 ) 2 = 0 2 + (−7) 2 + 7 2 =7 2
  𝐴𝐶= (2−9) 2 + (3−3) 2 + (2− −5 ) 2 = (−7) 2 + 0 2 + 7 2 =7 2
  ⟹ ∆𝐴𝐵𝐶− правильный
  

• 10 слайд

  Решение.
  б) 𝐴(3;7;−4), 𝐵(5;−3;2), 𝐶 1;3;−10
  𝐴𝐵= (5−3) 2 + (−3−7) 2 + (2− −4 ) 2 = 2 2 + (−10) 2 + 6 2 = 140 =2 35
  𝐵𝐶= (1−5) 2 + (3−(−3)) 2 + (−10−2) 2 = (−4) 2 + 6 2 + (−12) 2 = 196 =14
  𝐴𝐶= (1−3) 2 + (3−7) 2 + (−10− −4 ) 2 = (−2) 2 + (−4) 2 + (−6) 2 = 56 =2 14
  196 2 = 140 2 + 56 2
  196=140+56
  196=196
  ⟹ ∆𝐴𝐵𝐶− прямоугольный, разносторонний
  Задача. По координатам точек 𝐴, 𝐵 и 𝐶 определить вид ∆𝐴𝐵𝐶.
  а) 𝐴(9;3;−5), 𝐵(2;10;−5), 𝐶(2;3;2) б) 𝐴(3;7;−4), 𝐵(5;−3;2), 𝐶(1;3;−10)
  

• 11 слайд

  Задача. Найти расстояние от точки начала координат 𝑂 до середины отрезка 𝑀𝑁,
  если 𝑀(−4;7;0) и 𝑁(0;−1;2).
  Решение.
  Ответ: 14 .
  𝑋
  𝑦
  𝑧
  𝑥
  𝑂
  𝑁
  𝑀
  𝑀(−4;7;0) 𝑁(0;−1;2)
  𝑋 −4+0 2 ; 7+ −1 2 ; 0+2 2
  𝑋(−2;3;1)
  𝑂𝑋= (−2−0) 2 + (3−0) 2 + (1−0) 2
  𝑂𝑋= (−2) 2 + 3 2 + 1 2 = 14
  𝑂(0;0;0)
  

• 12 слайд

  𝐴( 𝑥 1 ; 𝑦 1 ; 𝑧 1 )
  𝐵( 𝑥 2 ; 𝑦 2 ; 𝑧 2 )
  (?;?;?)
  𝐶
  𝒂 {𝒙;𝒚;𝒛}
  𝑀 1
  𝑀 2
  𝑥 1 ; 𝑦 1 ; 𝑧 1
  𝑥 2 ; 𝑦 2 ; 𝑧 2
  𝒅