Презентация " Метод наименьших квадратов"

• 1 слайд

  Метод наименьших квадратов
  Если некоторая физическая величина зависит от другой величины , то эту зависимость можно исследовать, измеряя y при различных значениях x. В результате измерений получается ряд значений: x1, x2, ..., xi, , ... , xn;
  y1, y2, ..., yi, , ... , yn.
  
  

• 2 слайд

  По данным такого эксперимента можно построить график зависимости y = ƒ(x). Полученная кривая дает возможность судить о виде функции ƒ(x). Однако постоянные коэффициенты, которые входят в эту функцию, остаются неизвестными.
  
  

• 3 слайд

  Определить их позволяет метод наименьших квадратов. Экспериментальные точки, как правило, не ложатся точно на кривую. Метод наименьших квадратов требует, чтобы сумма квадратов отклонений экспериментальных точек от кривой, т.е. [yi – ƒ(xi)]2 была наименьшей.
  
  

• 4 слайд

  На практике этот метод наиболее часто (и наиболее просто) используется в случае линейной зависимости, т.е. когда
  y = kx    или  y = a + bx.
  Линейная зависимость очень широко распространена в физике.
  

• 5 слайд

  Рассмотрим зависимость y = kx (прямая, проходящая через начало координат). Составим величину φ – сумму квадратов отклонений наших точек от прямой
  
  
  

• 6 слайд

  Величина φ всегда положительна и оказывается тем меньше, чем ближе к прямой лежат наши точки. Метод наименьших квадратов утверждает, что для k следует выбирать такое значение, при котором φ имеет минимум
  
  
  
  

• 7 слайд

  или
  
  
  
  Рассмотрим теперь несколько более трудный случай, когда точки должны удовлетворить формуле y = a + bx (прямая, не проходящая через начало координат).
  
  

• 8 слайд

  Задача состоит в том, чтобы по имеющемуся набору значений xi, yi найти наилучшие значения a и b. Снова составим квадратичную формулу φ , равную сумме квадратов отклонений точек xi, yi от прямой
  

• 9 слайд

  Найдем значения a и b , при которых φ имеет минимум
  
  
  
  
  

• 10 слайд

  Совместное решение этих уравнений дает
  
  
  
  
  
  

• 11 слайд