Презентация на тему: "Головоломные размещения и занимательные перестановки"

• 1 слайд

  Головоломные размещения и занимательные перестановки
  
  Клещеногова В.А.- учитель математики МБОУ «Мордовско- Полянская ООШ»
  
  

• 2 слайд

  Белки и кролики
  
  Перед вами восемь перенумерованных пней. На пнях № 1 и № 3 сидят кролики, на № 6 и № 8 – белки. Но и белки, и кролики почему-то недовольны своими местами и хотят обменяться пнями: белки желают сидеть на местах кроликов, а кролики – на местах белок. Они могут сделать это, перепрыгивая с пня на пень – однако только по линиям, обозначенным на рисунке. Как они могли бы это сделать? Помните следующие правила:
  1) прыгать с пня на пень можно только по тем линиям, которые обозначены на рисунке; каждый зверёк может делать и несколько прыжков кряду;
  2) два зверька на одном пне
  поместиться не могут, – поэтому
  прыгать можно только на
  Свободный Пень. Имейте также
  в виду, что зверьки желают
  обменяться местами наименьшим
  числом прыжков. Впрочем, меньше
  чем 16-ю прыжками они сделать
  этого не могут.
  
  
  

• 3 слайд

  Решение:
  Ниже указан самый короткий способ обмена. Цифры показывают, с какого пня на какой надо прыгать (напр., «1–5» значит: белка прыгает с пня 1-го на 5-й). Всех прыжков понадобится 16, а именно:
  1-5; 3–7, 7–1; 8–4, 4–3, 3–7; 6–2, 2–8, 8–4, 4–3; 5–6, 6–2, 2–8; 1–5, 5–6; 7–1.
  

• 4 слайд

  Автомобильный гараж
  На нашем чертеже изображен план автомобильного га ража с помещениями для двенадцати автомобилей. Но помещение так неудобно, так мало, что заведующий гаражом постоянно наталкивается на затруднения. Вот одно из них.
  Предположите, что восемь автомобилей стоят в указанных здесь положениях. Как могут автомобили 1, 2, 3 и 4 перемениться местами с автомобилями 5, 6, 7 и 8? И при каком способе обмена они сделают наименьшее число переездов?
  
  
  Надо заметить, что два автомобиля
  одновременно двигаться не могут
  и что в квадрате не могут
  одновременно находиться
  два автомобили.
  
  

• 5 слайд

  Решение:
  В этой таблице показаны в последовательном порядке все переезды, необходимые для того, чтобы вывести заведующего гаражом из затруднения. Цифры обозначают номера автомобилей, а буквы – соответствующие помещения. Всех переездов понадобится 43. Вот они:
  
  
  
  
  
  
  «6 – G» означает: автомобиль № 6 становится в отделение G, и т. п.
  

• 6 слайд

  
  Три дороги
  
  Три брата – Петр, Павел и Яков – получили для обработки три участка земли, расположенные рядом, невдалеке от их домов. На чертеже вы видите расположение домов Петра, Павла и Якова и соответствующих земельных участков.
  Вы замечаете, что участки расположены не совсем удобно для работающих на них, – но братья не могли сговориться об обмене.
  Каждый устроил огород на своем
  участке, и так как кратчайшие пути
  к огородам пересекались, то между
  братьями вскоре начались пререкания,
  перешедшие в ссоры. Желая избегать
  всяких столкновений, братья решили
  отыскать такой путь к своим участкам,
  чтобы не пересекать друг другу дороги.
  После долгих поисков они нашли такие
  три пути и теперь ежедневно ходят на
  свои огороды, не встречаясь друг с другом.
  Можете ли вы указать эти пути?
  
  

• 7 слайд

  Решение:
  Три непересекающиеся пути показаны на этом чертеже:
  
  
  
  
  
  
  Петру и Павлу приходится идти довольно извилистыми путями, – но зато братья избегают нежелательных встреч между собой.
  
  

• 8 слайд

  
  Мухи на занавеске
  
  На оконной занавеске, разрисованной квадратиками, уселось 9 мух. Случайно они расположились так, что никакие две мухи не оказывались в одном и том же прямом или косом ряду.
  Спустя несколько минут три
  мухи переменили свое место
  и переползли в соседние,
  незанятые клетки; остальные
  6 остались на местах. И курьезно:
  хотя три мухи перешли на другие
  места, все 9 снова оказались
  размещенными так, что никакая
  пара не находилась в одном
  прямом или косом ряду.
  Можете ли вы сказать, какие
  три мухи пересели и какие
  квадратики они избрали?
  
  

• 9 слайд

  Решение:
  Стрелки на рисунке показывают, какие мухи переменили место и с каких клеток oни пересели.
  
  

• 10 слайд

  
  Дачники и коровы
  
  Вокруг озера выстроены четыре дачи, а поближе к берегу – четыре коровника. Владельцы дач желают соорудить сплошной забор так, чтобы озеро было закрыто от коров, но чтобы в то же время оно было доступно для дачников, желающих купаться.
  Исполнимо ли это желание?
  Если исполнимо, то как надо
  построить забор, чтобы он
  имел наименьшую длину и,
  следовательно, обошелся
  возможно дешевле?
  
  

• 11 слайд

  Решение:
  Забор можно построить двояко. Вот чертежи, показывающие направление ограды.
  Забор, построенный по второму плану, короче и, следовательно, дешевле.
  
  

• 12 слайд

  
  Десять домов
  
  Некто желал построить 10 домов, соединенных между собою крепкими стенами; стены должны тянуться пятью прямыми линиями, с 4-мя домами на каждой линии.
  Приглашенный зодчий представил план, который вы видите здесь на рис. Но заказчик остался недоволен этим планом: ведь при таком расположении можно подойти извне к любому дому, а ему хотелось, чтобы если не все, то хоть один или два дома были защищены стенами от нападения извне. Зодчий возразил, что нельзя
  удовлетворить этому условию, раз 10 домов должны быть расположены по 4 на каждом из 5-ти заборов.
  Но заказчик настаивал на своем.
  Долго ломал зодчий голову над этой
  задачей и наконец разрешил ее.
  Может быть, и вам посчастливится
  найти такое расположение 10 домов и
  5 соединяющих их прямых заборов,
  чтобы требуемое условие было удовлетворено.
  
  

• 13 слайд

  Решение:
  Вот единственное расположение, при котором два дома безопасны от нападения извне.
  Вы видите, что 10 домов
  расположены здесь, как
  требовалось в задаче:
  по 4 на каждой из пяти
  прямых стен.
  
  

• 14 слайд

  Деревья в саду
  
  В саду росло 49 деревьев(см.рис). Садовник нашел, что деревьев слишком много; он желал расчистить сад от лишних деревьев, чтобы удобнее разбить цветники. Позвав работника, он дал ему такое распоряжение:
  – Оставь только 5 рядов деревьев, по 4 дерева в каждом ряду. Остальные сруби и возьми их себе на дрова за работу.
  Когда рубка кончилась, садовник вышел посмотреть работу. К огорчению, сад был почти опустошен: вместо 20 деревьев работник оставил только 10, срубив 39 деревьев!
  – Почему же ты вырубил так много? Ведь тебе сказано было оставить 20 деревьев, – упрекал его садовник.
  – Нет, не 20, а сказано было оставить 5 рядов
  по 4 дерева в каждом. Я так и сделал:
  посмотрите. И в самом деле: садовник с изумлением убедился, что оставшиеся на корню 10 деревьев образуют 5 рядов по 4 дерева в каждом. Приказание его было исполнено буквально, – и все-таки вместо 29 деревьев работник вырубил 39.
  Как же ухитрился он это сделать?
  
  

• 15 слайд

  Решение:
  Деревья, оставшиеся несрубленными, были расположены так (рис.):
  
  
  
  
  
  Как видите, они образуют 5 прямых рядов, и в каждом ряду 4 дерева.
  
  

• 16 слайд

  
  Белая мышь
  
  Все 13 мышей, окружающие эту кошку, обречены попасть ей на обед. Но кошка желает съесть их в определенном порядке, – а именно, каждый раз она отсчитывает 13-ю мышь по кругу в том направлении, в каком эти мыши глядят, – и съедает ее. С какой мыши она должна начать, чтобы белая оказалась съеденной последнею?
  
  
  
  
  

• 17 слайд

  Решение:
  
  
  Кошка должна съесть первой ту мышь, которая находится на рисунке у копчика ее хвоста.
  Попробуйте, начав с этой мыши счет по кругу, зачеркивать каждую 13-ю мышь, – вы убедитесь, что белая мышь будет зачеркнута последней.
  
  

• 18 слайд

  
  Из 18 спичек
  
  Из 18 спичек нетрудно сложить два четырехугольника так, чтобы один был вдвое больше другого по площади (рис).
  
  
  
  
  
  
  
  Но сложите из тех же спичек два таких четырехугольника, чтобы один был в три раза больше другого по площади!
  
  

• 19 слайд

  Решение:
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  На чертеже показано, как надо сложить из 18 спичек
  два четырехугольника, чтобы один был втрое больше
  другого по площади. Вторым четырехугольником является
  параллелограмм с высотою, равною 1 1/2 спичкам.
  Площадь параллелограмма равна его основанию,
  умноженному на его высоту. В основании нашего
  параллелограмма лежат 4 спички, высота же равна
  1 1/2спичкам; следовательно, площадь равна 4 x 11/2, т. е.
  6таким квадратикам, каких в меньшем четырехугольнике 2.
  Итак, нижний четырехугольник имеет площадь втрое
  большую, нежели верхний.
  
  
  
  

• 20 слайд

  Литература:
  Я.И.Перельман. Для юных математиков. 1915г.
  Интернет- ресурсы.
  
  

Краткое описание документа:

Цель этой презентации – дать материал для приятной умственной гимнастики, для изощрения сообразительности и находчивости. Предназначенная наполнить досуг юных математиков, презентация содержит, однако, не исключительно математические головоломки: наряду с задачами арифметическими и геометрическими в сборнике рассеяны также головоломки из области физики. Есть и задачи, не примыкающие к какому-либо учебному предмету, но все же полезные как упражнения, подготовляющие ум к более серьезной работе. Так, задачи на перестановки и размещения приучают к систематическим поискам решения; зрительные обманы изощряют наблюдательность; развлечения с разрезыванием фигур и составлением силуэтов развивают геометрическое воображение.