Презентация "Основные тригонометрические формулы" (10 класс)

• 1 слайд

  Основные
  тригонометрические формулы
  Школа №67
  г.Владивосток
  Выполнила
  Шестак Анастасия
  Руководитель: Синякова Е.А.
  

• 2 слайд

  содержание
  Радианная мера угла
  Поворот точки вокруг начала координат
  Определение синуса, косинуса и тангенса угла
  Знаки синуса, косинуса и тангенса
  Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла
  Синус, косинус и тангенс углов
  Формулы сложения
  Синус, косинус и тангенс двойного угла
  Синус, косинус и тангенс половинного угла
  Формулы приведения
  Сумма и разность синусов.
  Сумма и разность косинусов.
  

• 3 слайд

  Радианная мера угла
  Центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу окружности, называется углом в один радиан.
  Найдем градусную меру угла в 1 радиан. Так как дуга длиной R (полуокружность) стягивает центральный угол в , то дуга длиной R стягивает угол в раз меньший, т.е.
  
  
  Так как =3,14, то 1 рад=57,3 .
  Если угол содержит а радиан, то его градусная мера равна
  

• 4 слайд

  Поворот точки вокруг начала координат
  Рассмотрим на координатной плоскости окружность радиуса 1 с центром в начале координат. Ее называют единичной окружностью. Введем понятие поворота точки единичной окружности вокруг начала координат на угол рад, где -любое действительное число.
  x
  1. Пусть >0. Предположим, что точка, двигаясь по единичной окружности от точки Р(1;0) против часовой стрелки, прошла путь длиной (рис1).Конечную точку пути обозначим М.
  2. Пусть <0. в этом случае поворот на угол рад означает, что движение совершалось по часовой стрелке и точка прошла путь длиной (рис 2).
  
  Поворот на 0 рад означает, что точка остается на месте.
  P(1;0)
  o
  y
  M
  Рис 1
  В этом случае будем говорить, что точка М получена из точки Р поворотом вокруг начала координат на угол % рад.
  
  
  P(1;0)
  o
  x
  y
  M
  Рис 2
  

• 5 слайд

  Определение синуса, косинуса и тангенса угла
  Тангенсом угла называется отношение синуса угла к его косинусу (обозначается tg )
  Таким образом,
  
  Иногда используется котангенс угла (обозначается ctg ), который определяется формулой
  Косинусом угла называется абсцисса точки, полученной поворотом точки (1;0) вокруг начала координат на угол (обозначается cos )
  Синусом угла называется ордината точки, полученной поворотом точки (1;0) вокруг начала координат на угол (обозначается sin )
  В этих определениях угол может выражаться как в градусах, так и в радианах.
  
  

• 6 слайд

  Знаки синуса, косинуса и тангенса
  1. Знаки синуса и косинуса. Пусть точка (1;0) движется по единичной окружности против часовой стрелки. Для точек, находящихся в первой четверти, ординаты и абсциссы положительны. Поэтому sin >0 и cos >0, если (рис 3,4).
  Для точек, расположенных во второй четверти, ординаты положительны, а абсциссы отрицательны. Следовательно, sin >0, cos <0, если (рис 3,4). Аналогично в третьей четверти sin <0, cos <0, а в четвертой четверти sin <0, cos >0 (рис 3,4).
  
  o
  o
  x
  y
  +
  +
  -
  -
  sin
  Рис 3
  o
  o
  x
  y
  +
  +
  -
  -
  cos
  Рис 4
  o
  o
  x
  y
  +
  +
  -
  -
  tg
  Рис 5
  2. Знаки тангенса. По определению
  Поэтому tg >0, если sin и cos имеют одинаковые знаки, и tg <0, если sin и cos имеют противоположные знаки (рис5).
  
  

• 7 слайд

  Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла
  - основное тригонометрическое тождество.
  Из него можно выразить sin через cos и cos через sin :
  
  
  В этих формулах знак перед корнем определяется знаком выражения, стоящего в левой части формулы.
  Выясним теперь зависимость между тангенсом и котангенсом. По
  определению тангенса и котангенса
  
  Перемножая эти равенства, получаем .
  Из этого равенства можно выразить tg через ctg и наоборот:
  
  
  
  
  
  
  
  

• 8 слайд

  Пусть точки М1 и М2 единичной окружности получены поворотом точки Р(1;0) на углы и соответственно (рис 6). Тогда ось 0х делит угол М10М2 пополам, и поэтому точки М1 и М2 симметричны относительно оси 0х.
  Абсциссы этих точек совпадают, а ординаты отличаются только знаками. Точка М1 имеет координаты ( ), точка М2 имеет координаты .
  Следовательно,
  
  Используя определение тангенса, получаем .
  
  
  Таким образом,
  
  
  
  
  Синус, косинус и тангенс углов и
  P(1;0)
  o
  y
  M1
  М2
  х
  Рис 6
  

• 9 слайд

  Формулы сложения
  Теорема. Для любых и справедливо равенство
  

• 10 слайд

  Синус, косинус и тангенс двойного угла
  Выведем формулы синуса и косинуса двойного угла, используя формулы сложения.
  1.
  
  
  Итак,
  2.
  
  
  Итак,
  Полагая в формуле получаем
  
  

• 11 слайд

  Синус, косинус и тангенс половинного угла
  По известным значениям и можно найти значения и , если известно, в какой четверти лежит угол .
  
  Из формулы при получаем (1)
  Запишем основное тригонометрическое тождество в виде (2)
  Складывая равенства (1) и (2) и вычитая из равенства (2) равенство (1), получаем (3)
  
  (4)
  Формулы (3) и (4) можно записать так: (5)
  (6)
  
  Разделив равенство (6) на равенство (5), получим формулу тангенса половинного угла
  
  

• 12 слайд

  Формулы приведения
  Таблицы значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса составляются для углов от 0 до 90 (или от 0 до ). Это объясняется тем, что их значения для остальных углов сводятся к значениям для острых углов.
  Вообще, формулами приведения для синуса называют следующие шесть формул:
  
  
  
  
  Следующие шесть формул называют формулами приведения для косинуса:
  
  

• 13 слайд

  Сумма и разность синусов.
  Сумма и разность косинусов.
  

• 14 слайд

  Подведем итоги
  Математика есть такая наука, которая показывает, как из знаемых количеств находить другие, нам еще неизвестные.
  Д.С. Аничков
  
  Математика действительно очень важна в жизни каждого человека. Ведь без нее никуда! А тригонометрические формулы являются ее неизменной частью. Надеюсь, моя презентация, посвященная именно тригонометрическим формулам поможем вам лучше разобраться в трудных моментах.