Презентация открытого урока по алгебре "Квадратные уравнение: методы решение"

• 1 слайд

  Квадратные уравнения:
  методы решения.
  Учителя математики
  МОУ СОШ № г.Каспийск
  

• 2 слайд

  
  «Уравнение - это золотой ключ, открывающий все математические сезамы».
  
  
  С. Коваль.
  

• 3 слайд

  ПЛАН УРОКА
  1. Теоретическая разминка.
  2. Энциклопедия квадратных уравнений.
  3. Думающий колпак.
  4. Историческая справка.
  5. Копилка ценных мыслей.
  6. Домашнее задание.
  
  

• 4 слайд

  Сформулируйте определение квадратного уравнения.
  2. Объясните, в чём заключается смысл ограничения в определении квадратного уравнения (а ≠ 0).
  3. Перечислите виды квадратных уравнений.
  4. Какое квадратное уравнение называется неполным? Приведите пример.
  5. Какое квадратное уравнение называется приведённым? Приведите пример.
  6. Способы решения полного квадратного уравнения?
  Вопросы
  теоретической разминки:
  подробнее
  подробнее
  

• 5 слайд

  Специальные методы:
  1. Метод выделения квадрата двучлена.
  2. Метод «переброски» старшего коэффициента.
  3. На основании теорем.
  

• 6 слайд

  Общие методы:
  Разложение на множители;
  Введение новой переменной;
  Графический метод.
  

• 7 слайд

  ДУМАЮЩИЙ КОЛПАК
  
  Большим и указательным пальцами мягко оттягивают назад и прижимают, массируя, раковины ушей.
  
  
  
  УЧЕБНЫЕ ИНСТРУКЦИИ
  
  • Держите голову прямо, чтобы подбородку было удобно.
  • Упражнение повторяют трижды или более раз.
  
  
  

• 8 слайд

  
  .
  
  
  
  
  
  Впервые ввёл термин «квадратное уравнение» немецкий философ Кристиан Вольф.
  Кристиан Вольф - знаменитый немецкий философ, родился в 1679 г. в Бреславле, в семье простого ремесленника, изучал в Йене сначала богословие, потом математику и философию.
  http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A5%D1%80%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%B0%D0%BD_%D0%92%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D1%84
  

• 9 слайд

  Сильвестр Джеймс Джозеф – английский математик, который ввел термин «дискриминант».
  http://www.persons-info.com/index.php?pid=10965
  

• 10 слайд

  В 13 – 16 веках даются отдельные методы решения различных видов квадратных уравнений. Слияние этих методов произвел в 1544 году немецкий математик – Михаэль Штифель. Это было настоящее событие в математике.
  http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A8%D1%82%D0%B8%D1%84%D0%B5%D0%BB%D1%8C,_%D0%9C%D0%B8%D1%85%D0%B0%D1%8D%D0%BB%D1%8C
  

• 11 слайд

  Домашнее задание
  
  
  
  Решите уравнение 3х2 + 5х + 2 = 0:
  
  используя формулу дискриминанта – «3»,
  двумя способами – «4»,
  тремя способами – «5».
  
  Дополнительно.
  Решите уравнение (х2-х)2 - 14(х2-х) + 24 = 0 методом введения новой переменной.
  
  
  

• 12 слайд

  Энциклопедия
  квадратного уравнения
  подробнее
  

• 13 слайд

  РЕШЕНИЕ
  НЕПОЛНЫХ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ
  в=0
  ах2+с=0
  с=0
  ах2+вх=0
  в,с=0
  ах2=0
  подробнее
  подробнее
  подробнее
  

• 14 слайд

  Алгоритм решения
  1.Переносим с в правую часть уравнения.
  ах2= - с.
  2.Делим обе части уравнения на а≠0.
  х2= .
  3.Если –с/а>0 -два решения:
  х1 = и х2 = -
  
  Если <0 - нет решений.
  в=0
  ах2+с=0
  

• 15 слайд

  Выносим x за скобки:
  х (ах + в) = 0.
  2. «Разбиваем» уравнение
  на два:
  x = 0, ах + в = 0.
  3. Два решения:
  х = 0 и х = (а≠0).
  Алгоритм решения
  с=0
  ах2+вх=0
  

• 16 слайд

  1. Делим обе части уравнения на а≠0.
  х2 = 0
  2. Одно решение: х = 0.
  
  Алгоритм решения
  Подведём итог!
  в,с=0
  ах2=0
  

• 17 слайд

  Неполные квадратные уравнения:
  
  
  

• 18 слайд

  D < 0
  
  
  D = 0
  
  D > 0
  Корней нет
  

• 19 слайд

  b = 2k (чётное число)
  

• 20 слайд

  Теорема Виета
  
  x1 и х2 – корни уравнения
  
  x1 и х2 – корни уравнения
  

• 21 слайд

  
  Суть метода: привести квадратное уравнение общего вида к неполному квадратному уравнению.
  
  
  Пример: х2 - 6х + 5 = 0.
  
  Метод выделения квадрата двучлена.
  
  подробнее
  

• 22 слайд

  Корни квадратных уравнений
  и
  связаны соотношениями
  и
  
  Пример:
  Метод «переброски» старшего коэффициента.
  подробнее
  2х2 - 9х – 5 = 0.
  

• 23 слайд

  На основании теорем:
  Если в квадратном уравнении a+b+c=0, то один из корней равен 1, а
  второй по теореме Виета равен
  Если в квадратном уравнении a+c=b, то один из корней равен -1,
  а второй по теореме Виета равен
  Примеры:
  подробнее
  200х2 + 210х + 10 = 0.
  

• 24 слайд

  Метод разложения на множители
  привести квадратное уравнение общего вида к виду
  А(х)·В(х)=0,
  где А(х) и В(х) – многочлены относительно х.
  Цель:
  Вынесение общего множителя за скобки;
  Использование формул сокращенного умножения;
  Способ группировки.
  Способы:
  Пример:
  подробнее
  4х2 + 5х + 1 = 0.
  

• 25 слайд

  Введение новой переменной.
  Удачный выбор новой переменной делает структуру уравнения более прозрачной.
  Пример:
  подробнее
  (2х+3)2 = 3(2х+3) – 2.
  

• 26 слайд

  Графический метод
  Для решения уравнения f(x) = g(x) необходимо построить графики функций
  y = f(x), y = g(x)
  и найти точки их пересечения;
  абсциссы точек пересечения и будут корнями уравнения.
  Пример:
  подробнее
  х2 =х+2.
  

• 27 слайд

  Графический метод часто применяют не для нахождения корней уравнения, а для определения их количества.
  

• 28 слайд

  Метод выделения квадрата двучлена.
  
  (a + b)2 = a2 + 2ab + b2,
  (a - b)2 = a2 - 2ab + b2.
  Решим уравнение х2 - 6х + 5 = 0.
  
  х2 - 6х + 5 = 0.
  (х -3)2 – 4 = 0.
  (х -3)2 = 4.
  х – 3 = 2 ; х – 3 = -2.
  х = 5, х =1.
  
  Ответ: 5; 1.
  

• 29 слайд

  Метод “переброски” старшего коэффициента
  
  ax2 + bx + c = 0 и y2+ by + ac = 0
  
  
  связаны соотношениями:
  Решите уравнение 2х2 - 9х – 5 = 0.
  
  у2 - 9у - 10 = 0.
  D>0, по теореме, обратной теореме Виета, получаем корни: -1; 10,
  далее возвращаемся к корням исходного уравнения: - 0,5; 5.
  
  
  Ответ: 5; -0,5.
  

• 30 слайд

  Теорема 1. Если в квадратном уравнении
  a + b + c = 0, то один из корней равен 1, а второй по теореме Виета равен
  Решите уравнение 137х2 + 20х – 157 = 0.
  137х2 + 20х – 157 = 0.
  a = 137, b = 20, c = -157.
  a + b+ c = 137 + 20 – 157 =0.
  
  x1 = 1, х2= -157/137.
  
  Ответ: 1; -157/137.
  
  
  .
  

• 31 слайд

  Теорема 2. Если в квадратном уравнении
  a + c = b, то один из корней равен -1, а второй по теореме Виета равен
  Решите уравнение 200х2 + 210х + 10 = 0.
  200х2 + 210х + 10 = 0.
  a = 200, b = 210, c = 10.
  a + c = 200 + 10 = 210 = b.
  
  х1 = -1, х2 = -
  Ответ: -1; -0,05
  

• 32 слайд

  Метод разложения на множители.
  Решите уравнение 4х2 + 5х + 1 = 0.
  4х2 + 5х + 1 = 0.
  4х2 + 4х + х + 1 = 0.
  4х(х+1) + (х+1) = 0.
  4х(х + 1) = 0.
  Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю, а второй при этом не теряет смысла, или когда оба равны нулю.
  4х = 0 и х + 1 = 0.
  х = 0, х = -1.
  Ответ: 0; -1.
  

• 33 слайд

  Метод введения новой переменной.
  Решите уравнение (2х+3)2 = 3(2х+3) – 2.
  (2х+3)2 = 3(2х+3) – 2.
  Пусть: t = 2х + 3.
  Произведем замену переменной: t2 = 3t - 2.
  t2 -3t + 2 = 0. D > 0.
  По теореме, обратной теореме Виета: t1 = 1, t2 = 2.
  Произведем обратную замену и вернемся к переменной х, получим следующие корни:
  -1; -0,5.
  Ответ: -1; -0,5.
  

• 34 слайд

  3. в=0
  ах2+с=0
  2. с=0
  ах2+вх=0
  1. в,с=0
  ах2=0
  4. b - нечётное
  ах2+bx+с=0
  
  5. b - чётное
  ах2+bx+с=0
  
  6. Теорема Виета.
  7. Метод выделения квадрата двучлена.
  8. Метод «переброски» старшего коэффициента.
  9. Т1 или Т2.
  10. Метод разложения на множители.
  11. Метод введения новой переменной.
  
  

• 35 слайд

• 36 слайд

  Математик немного поэт. Т. Вейерштрасс
  http://dic.academic.ru/dic.nsf/bse/158739/%D0%92%D0%B5%D0%B9%D0%B5%D1%80%D1%88%D1%82%D1%80%D0%B0%D1%81%D1%81