Презентация по геометрии 9 класс на тему:" Скалярное произведение векторов"

• 1 слайд

  Скалярное произведение
  векторов
  Л.С. Атанасян "Геометрия 7-9"
  

• 2 слайд

  Повторение: Дано: АВСD – параллелограмм
  
  
  Найти:
  1) векторы, коллинеарные вектору ОС;
  2) векторы, сонаправленные вектору АВ;
  3) векторы, противоположно направленные вектору ВС;
  4) векторы, равные вектору ВО;
  5) ВD, если АВ = 4, АД= 5, ВАD = 600;
  
  А
  С
  В
  D
  О
  
  

• 3 слайд

  1
  2
  9
  6
  12
  11
  10
  8
  7
  4
  5
  3
  a
  b
  Угол между векторами
  a
  b
  a
  b
  a
  =
  a
  Градусную меру этого угла обозначим буквой
  a
  Лучи ОА и ОВ образуют угол АОВ.
  Угол между векторами и
  равен
  a
  a
  b
  О
  А
  В
  

• 4 слайд

  Угол между векторами
  a
  b
  a
  b
  a
  a
  b
  a
  Градусная мера угла не зависит от выбора точки О, от которой откладывают
  
  векторы и
  a
  b
  a
  Обоснуем это с помощью рисунка.
  О1
  О2
  a
  

• 5 слайд

  Угол между векторами не зависит от выбора точки, от которой они откладываются
  
  
  
  Возьмите на заметку!
  

• 6 слайд

  Угол между векторами.
  О
  А
  В
  

• 7 слайд

  a
  d
  Найти углы между векторами.
  b
  300
  a
  b
  =
  c
  f
  300
  a
  c
  =
  b
  c
  =
  d
  f
  =
  d
  c
  =
  1200
  900
  1800
  00
  a
  b
  d
  f
  Два вектора называются перпендикулярными,
  если угол между ними равен 900.
  b
  c
  ^
  b
  d
  ^
  b
  f
  ^
  

• 8 слайд

  Скалярное произведение векторов.
  Скалярным произведением
  двух векторов называется
  произведение их длин
  на косинус угла между
  ними.
  

• 9 слайд

  № 1039 Диагонали квадрата пересекаются в точке О. Найдите углы между векторами.
  450
  АВ, АС =
  А
  В
  С
  D
  О
  АВ, DА =
  OА, OB =
  АO, OC =
  OА, OС =
  АC, BD =
  АD, DB =
  900
  900
  1800
  900
  1350
  00
  

• 10 слайд

  № 1040 Диагонали ромба пересекаются в точке О,
  диагональ ВD равна стороне ромба.
  Найдите углы между векторами.
  600
  АВ, АD =
  А
  В
  С
  D
  О
  АВ, DА =
  BА, AD =
  OC, OD =
  АB, DC =
  1200
  1200
  900
  00
  АB, CD =
  1800
  

• 11 слайд

  Сумма векторов – вектор.
  Разность векторов – вектор.
  Произведение вектора на число – вектор.
  Скалярное произведение векторов – число.
  Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними.
  a
  b
  =
  a
  b
  cos( )
  a
  b
  

• 12 слайд

  a
  b
  =
  a
  b
  cos 900
  a
  b
  = 0
  0
  Если векторы и перпендикулярны, то скалярное произведение векторов равно нулю.
  a
  b
  Обратно: если , то векторы и перпендикулярны.
  a
  b
  = 0
  a
  b
  a
  b
  = 0
  a
  b
  ^
  Û
  Скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.
  a
  b
  = 900
  

• 13 слайд

  a
  b
  =
  a
  b
  cos
  a
  b
  Скалярное произведение ненулевых векторов положительно тогда и только тогда , когда угол между векторами острый.
  a
  b
  > 0
  Û
  a
  > 0
  > 0
  a
  b
  < 900
  a
  b
  < 900
  

• 14 слайд

  a
  b
  =
  a
  b
  cos
  a
  b
  Скалярное произведение ненулевых векторов отрицательно тогда и только тогда , когда угол между векторами тупой.
  a
  b
  < 0
  Û
  a
  < 0
  < 0
  a
  b
  > 900
  a
  b
  > 900
  

• 15 слайд

  a
  b
  =
  a
  b
  =
  a
  b
  cos 00
  a
  b
  1
  a
  b
  = 00
  Если
  a
  b
  a
  b
  =
  a
  b
  cos1800
  a
  b
  -1
  a
  b
  = 1800
  Если
  a
  b
  = –
  a
  b
  

• 16 слайд

  a
  a
  =
  a
  a
  cos
  a
  00
  1
  a
  a
  = 00
  a
  a
  =
  =
  a 2
  Скалярное произведение называется
  
  скалярным квадратом вектора и обозначается
  a
  a
  a
  a 2
  Таким образом,
  скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.
  a 2
  =
  a 2
  

• 17 слайд

  
  Если , то
  Если
  , то
  Если
  , то
  Если
  , то
  Скалярное произведение
  называется
  скалярным квадратом вектора
  

• 18 слайд

  b
  a
  c
  a
  b
  < 0
  350
  a
  c
  c
  b
  = 0
  > 0
  a
  a
  n
  a
  n
  > 0
  < 0
  c
  n
  = 0
  b
  n
  < 0
  Определите знак
  скалярного произведения.
  

• 19 слайд

  Скалярное произведение в физике
  A = F MN cos
  j
  F
  j
  N
  M
  A = F MN
  точку N равна произведению силы F и перемещения MN на косинус угла между ними.
  Скалярное произведение векторов встречается в физике. Например, из курса механики известно, что работа A постоянной силы F при перемещении тела из точки M в
  

• 20 слайд

  Сопоставьте углы между векторами и их градусной мерой.
  О
  c и f 0 o
  
  d и a 45 o
  
  a и f 180 o
  
  a и b 135 o
  
  450
  

• 21 слайд

  Выберите правильный ответ;
  Известно, что
  Скалярное произведение
  векторов равно:
  а)
  б)
  в)
  

• 22 слайд

  А
  В
  С
  Найти скалярное произведение векторов
  MN MB =
  MN MB
  MN, MB =
  cos
  M
  N
  4
  2
  1
  4 =
  2
  2 2 cos 600 =
  =
  2
  2
  MN CA =
  MN CA
  MN, CA =
  cos
  2 4 cos 1800 =
  =
  8 (-1) =
  –8
  NM CB =
  NM CB
  NM, CB =
  cos
  2 4 cos 600 =
  =
  4
  2
  1
  8 =
  

• 23 слайд

  А
  В
  С
  Найти скалярное произведение векторов
  AC CB =
  AC CB
  AC, CB =
  cos
  D
  4
  – 8
  4 4 cos 1200 =
  2
  1
  16 (– ) =
  16 (– cos 600) =
  =
  CB CB =
  CB2 =
  CB 2 =
  42
  =16
  AC BD =
  0
  AC BD
  ^
  т.к.
  CB BC =
  – BC2 =
  – BC 2 =
  – 42
  = –16
  – BC BC =
  

• 24 слайд

  Заполните пропуски, чтобы получилось верное высказывание
  С
  А
  В
  300
  900
  АС, СВ =
  АВ, СА =
  1500
  АВ, СВ =
  600
  CВ CА =
  0
  CВ СА
  ^
  т.к.
  АВ ВА =
  – BА2 =
  – BА 2 =
  – 62
  = –36
  – BА BА =
  6
  …
  …
  …
  …
  …
  

• 25 слайд

  Маленький тест
  9
  18
  2
  ВЕРНО!
  1
  3
  ПОДУМАЙ!
  ПОДУМАЙ!
  Проверка
  9
  С
  А
  В
  300
  6
  ВС ВА =
  ВС ВА
  ВС, ВА =
  cos
  2
  1
  18
  6 3 cos 600 =
  600
  

• 26 слайд

  Скалярное произведение векторов
  
  и :
  АС ВА
  отрицательно;
  положительно.
  1
  ВЕРНО!
  2
  3
  ПОДУМАЙ!
  ПОДУМАЙ!
  Проверка (2)
  С
  А
  В
  300
  6
  равно нулю;
  отрицательно, т.к. угол между
  векторами тупой
  

• 27 слайд

  Скалярное произведение координатных векторов
  
  и :
  3
  ВЕРНО!
  2
  1
  ПОДУМАЙ!
  ПОДУМАЙ!
  Проверка
  равно нулю, т.к. угол между
  векторами прямой
  i
  j
  О
  1
  x
  y
  i
  j
  1
  – 1
  0
  

• 28 слайд

  1
  ВЕРНО!
  2
  3
  ПОДУМАЙ!
  ПОДУМАЙ!
  Проверка
  Скалярный квадрат вектора равен:
  i
  1
  – 1
  0
  Скалярный квадрат вектора
  равен квадрату его длины.
  i 2 = i 2 = 12 = 1
  

• 29 слайд

  1
  ВЕРНО!
  2
  3
  ПОДУМАЙ!
  Проверка (4)
  a
  b
  = 00
  если
  a
  b
  Если
  a
  b
  = 12,
  a = 3,
  b = 4,
  то векторы и :
  a
  b
  сонаправлены;
  противоположно направлены.
  перпендикулярны;
  3
  4
  ПОДУМАЙ!
  12
  a
  b
  =
  a
  b
  cos
  a
  b
  cos = 1
  a
  b
  12 = 3 4 cos
  a
  b
  

• 30 слайд

  ПОДУМАЙ!
  3
  2
  1
  ПОДУМАЙ!
  Проверка (4)
  x
  y
  = 1800
  если
  x
  y
  Если
  x
  y
  = –20,
  x = 4,
  y = 5,
  то векторы и :
  x
  y
  сонаправлены;
  противоположно направлены.
  перпендикулярны;
  4
  5
  –20
  x
  y
  =
  x
  y
  cos
  x
  y
  cos =
  x
  y
  –20 = 4 5 cos
  x
  y
  ВЕРНО!
  –1
  

• 31 слайд

  3
  ВЕРНО!
  2
  1
  ПОДУМАЙ!
  ПОДУМАЙ!
  Проверка
  500
  600
  1200
  m
  n
  = –15,
  m = 5,
  n = 6.
  Найдите угол между векторами и , если
  m
  n
  Скалярное произведение ненулевых векторов отрицательно тогда и только тогда , когда угол между векторами тупой
  

• 32 слайд

  ПОДУМАЙ!
  2
  3
  1
  ПОДУМАЙ!
  Проверка (3)
  a
  b
  = 600
  Если
  a
  b
  = 12,
  a = 3,
  b = 8,
  то угол между векторами
  
  и равен:
  a
  b
  3
  8
  12
  a
  b
  =
  a
  b
  cos
  a
  b
  cos =
  a
  b
  12 = 3 8 cos
  a
  b
  ВЕРНО!
  300
  600
  1200
  2
  1