Презентация по геометрии на тему "Многогранники"

• 1 слайд

  Выполнила: Ишимова Ю.О.
  
  Многогранники
  

• 2 слайд

  Определение: Многогранник – это часть пространства, ограниченная совокупностью конечного числа плоских многоугольников соединенных таким образом, что каждая сторона любого многоугольника является стороной ровно одного другого многоугольника (называемого смежным), причем вокруг каждой вершины существует ровно один цикл многоугольников.
  Многоугольники, из которых составлен многогранник, называются его гранями.
  Стороны граней называются рёбрами, а концы рёбер – вершинами.
  Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани, называется диагональю.
  
  Рисунок 1.
  

• 3 слайд

  Рисунок 2. Многогранники:
  а) тетраэдр, или пирамида с треугольными гранями; б) пирамида с треугольными гранями и квадратным основанием; в) треугольная призма; г) пятиугольная призма; д) р-угольная антипризма; е) исключенный тип многогранника с пересекающимися гранями.
  
  

• 4 слайд

  Простой многогранник - это многогранник без «дыр», так что его
  поверхность путем деформации может быть переведена в поверхность
  сферы (рис. 3).
  
  
  Многогранник называется простым, если:
  1) все его грани являются простыми многоугольниками;
  2) никакие две его несмежные грани не имеют общих точек (внутренних или граничных), за исключением, быть может, одной общей вершины;
  3) две смежные грани имеют только одно общее ребро и не имеют других общих точек.
  
  Рисунок 3.
  Простой многогранник
  

• 5 слайд

  Дело состоит в том, что при конструировании многогранника из тетраэдров для неизменности величины В - Р + Г необходимо, чтобы каждый раз, когда тетраэдр приставляется одной гранью, противоположная вершина не совпадала ни с одной из вершин уже построенного многогранника. Однако имеются многогранники, для которых такого совпадения вершин избежать нельзя; одним из таких многогранников является «картинная рама», которая имеет одну сквозную дыру (рис. 4).
  Рисунок 4. Непростой многогранник «Картинная рама»
  

• 6 слайд

  Наглядно становится ясным, что простой многогранник можно нужным нам образом составить из тетраэдров (рис.5), когда он не имеет сквозных «дыр», то есть не имеет кольцеобразной формы «бублика». Такие простые многогранники без «дыр» называются многогранниками нулевого рода. Теорема Эйлера допускает тогда более общую форму.
  Рисунок 5. Разбиение на тетраэдры
  

• 7 слайд

  Теорема 1. Для всякого простого многогранника нулевого рода
  В - Р + Г = 2.
  Всякий простой многогранник, не являющийся многогранником нулевого рода, имеет одну или несколько сквозных дыр. Число таких дыр называется родом многогранника. Многогранники рода 0, например, выпуклые многогранники. «Картинная рама» на рисунке 4 и многогранник на рисунке 6 — это простые многогранники рода 1.
  
  Рисунок 6. Простой
  многогранник рода 1
  

• 8 слайд

  Простой многогранник рода 1 можно получить из двух простых многогранников рода 0, приставляя друг к другу двумя несмежными гранями и ликвидируя эти грани у полученного нового многогранника. Простой многогранник рода 2 можно получить из двух многогранников рода 1, приставив их друг к другу таким же образом; например, используя два одинаковых многогранника. Вообще, простой многогранник рода р + 1 можно получить из простого многогранника рода р, приставив к нему двумя несмежными гранями простой многогранник рода 0. Если последовательно проследить за нашими примерами построения многогранников рода р и проанализировать изменение величины В - Р + Г, то мы получим подтверждение нового результата.
  Теорема 2. Для всякого простого многогранника рода р справедливо соотношение
  В - Р + Г = 2 - 2p.
  
  Число 2 - 2р называют эйлеровой характеристикой многогранника.
  

• 9 слайд

  Определение: Выпуклый многогранник называется топологически правильным, если его грани являются правильными многогранниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер.
  
  Всего существует пять видов топологически правильных выпуклых многогранников. Их гранями являются правильные треугольники, правильные четырёхугольники (квадраты) и правильные пятиугольники.
  
  Докажем, что не существует правильного многогранника, гранями которого являются правильные шестиугольники, семиугольники и, вообще, n – угольники при n ≥ 6.
  
  Топологически правильные многогранники
  

• 10 слайд

  В самом деле, угол правильного n - угольника при n ≥ 6 не меньше 120° . С другой стороны, при каждой вершине многогранника должно быть не менее трёх плоских углов. Поэтому если бы существовал топологически правильный многогранник, у которого грани – правильные n-угольники при n ≥ 6, то сумма плоских углов при каждой вершине такого многогранника была бы не меньше чем 120°. Но это невозможно, так как сумма всех плоских углов при каждой вершине выпуклого многогранника меньше 360° .
  По этой же причине каждая вершина топологически правильного многогранника может быть вершиной либо трёх, четырёх или пяти равносторонних треугольников, либо квадратов, либо трёх правильных пятиугольников. Других возможностей нет. В соответствии с этим получаем следующие топологически правильные многогранники, их всего 5.
  

• 11 слайд

  Правильный тетраэдр (рис. 7) составлен из четырёх равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной трёх треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 180°.
  
  Рисунок 7. Правильный
  тетраэдр.
  

• 12 слайд

  Правильный октаэдр (рис. 8) составлен из восьми равносторонних треугольников. Каждая вершина октаэдра является вершиной четырёх треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине 240°.
  Рисунок 8. Правильный
  октаэдр.
  

• 13 слайд

  Правильный икосаэдр (рис. 9) составлен из двадцати равносторонних треугольников. Каждая вершина икосаэдра является вершиной пяти треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 300° .
  Рисунок 9. Правильный
  икосаэдр.
  

• 14 слайд

  Куб (гексаэдр) (рис. 10) составлен из шести квадратов. Каждая вершина куба является вершиной трёх квадратов. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 270° .
  Рисунок 10. Куб (гексаэдр).
  

• 15 слайд

  Правильный додекаэдр (рис. 11) составлен из двенадцати правильных пятиугольников. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трёх правильных пятиугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 324°.
  Рисунок 11. Правильный
  додекаэдр.
  

• 16 слайд

  Таблица 1. Сводная таблица правильных многогранников.
  

• 17 слайд

  Названия этих многогранников пришли из Древней Греции, и в них указывается число граней:
  «эдра» - грань, «тетра» - 4, «гекса» - 6, «окта» - 8, «икоса» - 20, «додека» - 12.
  
  Л.Шлефли (1814–1895), швейцарский математик которому принадлежит немало изящных результатов в геометрии и математическом анализе предложил обозначение {p, q}, где: p — число сторон каждой грани, q — число рёбер, сходящихся в каждой вершине.
  
  Символы Шлефли для правильных многогранников приведены в таблице 2.
  
  

• 18 слайд

  Таблица 2.
  

• 19 слайд

  Работа Эйлера началась с того, что он составил большую таблицу, в которой выписал значения величин V, E, F для конкретных многогранников. Острая наблюдательность позволила ему в этом массиве чисел обнаружить отмеченную закономерность. В 1751 году он дал доказательство этой формулы для выпуклых многогранников.
  Анализируя таблицу № 1, возникает вопрос: «Нет ли закономерности в возрастании чисел в каждом столбце?» По-видимому, нет. Например, в столбце «грани» казалось бы, просматривается закономерность (4 + 2 = 6, 6 + 2 = 8), но затем намеченная закономерность нарушается (8 + 2 ? 12, 12 + 2 ? 20). В столбце «вершины» нет даже стабильного возрастания.
  Число вершин то возрастает (от 4 до 8, от 6 до 20), а то и убывает (от 8 до 6, от 20 до 12) . В столбце «рёбра» закономерности тоже не видно (Таблица 3).
  «Формула Эйлера»
  

• 20 слайд

  Таблица 3.
  Но можно рассмотреть сумму чисел в двух столбцах, хотя бы в столбцах «грани» и «вершины» (Г + В). Составим новую таблицу своих подсчётов (Таблица 4).
  

• 21 слайд

  Таблица 4.
  Вот теперь закономерности может не заметить только «слепой». Сформулируем её так: «Сумма числа граней и вершин равна числу рёбер, увеличенному на 2 », т.е. Г + В = Р + 2, или, Г + В – Р = 2.
  

• 22 слайд

  Задача 1. Для многогранника
  нулевого рода имеет место
  равенство:
  
  3Г3 + 4Г4 + 5Г5 + …= 3В3 + 4В4 + 5В5 + … .
  
  Докажите.
  
  
  
  

• 23 слайд

  Решение. Каждому ребру можно сопоставить две вершины, соединенные им. При этом вершина, в которой сходится n-рёбер, встречается n раз. Поэтому
  2Р = 3В3 + 4В4 + 5В5 + … .
  С другой стороны, каждому ребру можно сопоставить две грани, прилегающие к нему. При этом n-угольная грань встречается n раз. Поэтому 2Р = 3Г3 + 4Г4 + 5Г5 + … ,
  
   3Г3 + 4Г4 + 5Г5 + …= 3В3 + 4В4 + 5В5 + … .
  
  

• 24 слайд

  Задача 2. Докажите, что для любого простого многогранника нулевого рода имеет место следующее неравенство:
  
  В3 + Г3  8
  

• 25 слайд

  Решение. Из теоремы Эйлера имеем: 4В – 4Р + 4Г = 8. Подставляя в это равенство значения
  2Р = 3Г3 + 4Г4 + 5Г5 + … ,
  2Р = 3В3 + 4В4 + 5В5 + … ,
  В = В3 + В4 + В5 + … ,
  Г = Г3 + Г4 + Г5 + … ,
  получим:
  
  4(В3 + В4 + В5 + … ) – (3В3 + 4В4 + 5В5 + …) – (3Г3 + 4Г4 + 5Г5 + …) + 4(Г3 + Г4 + Г5 + …) = 8,
  
  откуда В3 + Г3  8.
  

• 26 слайд

  Задача 3. Докажите, что не существует многогранника, каждая грань которого имеет нечетное число сторон, а сам многогранник – нечетное число граней.
  

• 27 слайд

  Решение. Проведем доказательство методом от противного. Предположим, что существует такой простой многогранник, который соответствует условию задачи. Тогда
  
  2Р = 3Г3 + 5Г5 + 7Г7 + … = (Г3 + Г5 + Г7 + …) + 2(Г3 + 2Г5 + 3Г7 + …).
  
  Пришли к противоречию, так как Г3 + Г5 + Г7 – число нечетное, а 2(Г3 + 2Г5 + 3Г7 + …) – число четное, то их сумма должна быть нечетна, но 2Р – четное число.
  

• 28 слайд

  Задача 4. Докажите, что у любого многогранника число вершин, из которых выходит нечетное число ребер, четно.
  

• 29 слайд

  Решение. Действительно, равенство
  
  2Р = 3В3 + 4В4 + 5В5 + … можно записать иначе
  
  2Р = (В3 + В5 + В7 + …) + 2(В3 + 2В4 + 2В5 + …).
  
  Откуда следует, что В3 + В5 + В7 – число четное.
  

• 30 слайд

  Задача 5. Докажите, что для всякого многогранника нулевого рода имеют место неравенства:
  
  а) 6Г – 12  2Р и 3Г  Р + 6
  б) 6В – 12  2Р и 3В  Р + 6.
  

• 31 слайд

  Решение. а) Используя теорему Эйлера, получим: 6В – 6Р + 6Г = 12, откуда 6Г – 12 = 6Р – 6В. С другой стороны, имеем: 3В2Р, следовательно, 6Г – 12  2Р.
  Докажем, что 2Р  3Г. Действительно, 2Р = 3Г3 + 4Г4 + 5Г5 + …  3Г3 + 3Г4 + 3Г5 + … = 3(Г3 + Г4 + Г5 + …) = 3Г. Итак, 2Р  3Г.
  Наконец, докажем, что имеет место соотношение
  3Г  Р + 6. Действительно, 3В – 3Р + 3Г = 6, откуда 3Г = 3Р – 3В +6. Подставив 2Р  3В, получим 3Г  Р + 6.
  
  б) для любого многогранника 2Р = 3Г3 + 4Г4 + 5Г5 + …  3Г. С другой стороны, Г = Р – В + 2. Поэтому 2Р  3 (Р – В + 2), т.е. 3В  Р + 6,  6В – 12  2Р.