Презентация по ТОНКМ с методикой обучения на тему "Математические предложения"

• 1 слайд

  Математические предложения
  План
  Высказывания и высказывательные формы.
  Значение истинности высказываний и высказывательных форм.
  Простые и составные высказывания и высказывательные формы.
  Логическая структура составного предложения.
  Конъюнкция и дизъюнкция высказываний
  Таблица истинности высказываний.
  Конъюнкция и дизъюнкция высказывательных форм.
  Высказывания с кванторами.
  Квантор общности и значение истинности.
  Квантор существования и значение истинности.
  Отрицание высказываний и высказывательных форм.
  Отношения следования и равносильности.
  Структура и виды теорем.
  Теорема, правила, формулы
  Виды теорем.
  Закон контрпозиции
  Основные выводы
  

• 2 слайд

  Рассмотрим некоторые предложения
  «1 + 9 = 20 – 10. Это равенство»
  37 + 6  37
  20 + 8  20
  «некоторые числа делятся на 5»
  5 + x = 9
  
  Определим истинны ли они или ложные
  Предложения 1,2,4 – истинные
  Предложение 3 – ложное
  Предложение 5 – нельзя указать истинное оно или ложное
  
  высказывания
  Высказывательная форма
  

• 3 слайд

  Высказывание – предложение, относительно которого имеет смысл вопрос: истинно оно или ложно.
  Высказывательная форма – предложение с одной или несколькими переменными, которое обращается в высказывание при подстановке в него значений переменной.
  Высказывательная форма
  а + в = с
  одноместная в.ф.
  а+ 3 =5
  двухместная в.ф.
  а + в = 5
  

• 4 слайд

  Обозначения: А – «И» - высказывание А – истинно
  В – «Л» - высказывание В – ложно
  «И», «Л» - значения истинности высказывания
  Множество истинности высказывательной формы – это значения переменной, которые обращают высказывательную форму в истинное высказывание.
  Пример: определить множество истинности высказывательной формы x  6, если а) x  N
  б) x  Z в) x R
  Множество истинности – {1,2,3,4,5}
  Множество истинности – {0,1,2,3,4,5}
  Множество истинности – {- ; 6}
  

• 5 слайд

  
  Выше рассмотренные предложения – простые или элементарные предложения.
  Из двух простых предложений можно составить новые предложения с помощью союзов «и», «или»…
  Логическая связка – «и», «или», «если,…то», «не», «тогда и только тогда, когда».
  Составные предложения – это предложения, образованные из элементарных с помощью логических связок.
  
  

• 6 слайд

  
  Для определения логической структуры составного предложения необходимо установить:
  Из каких элементарных предложений оно образовано;
  С помощью, каких логических связок оно образовано.
  Пример: 1) x ≥7 – это составная высказывательная форма.
  Логическая структура: «А или В»
  Элементарные высказывательные формы – А – «x  7»
  В - «x = 7»
  Логическая связка – «или»
  

• 7 слайд

  
  2) «если треугольник равнобедренный, то углы при основании в нем равны» - это составное высказывание.
  Логическая структура: «Если А, то В»
  Элементарные предложения:
  А – «треугольник равнобедренный»
  В – «углы при основании равны»
  Логические связки: «Если ……, то».
  

• 8 слайд

  
  «Число 25 четное и делится на 5»
  Логическая структура – «А и В»
  Элементарные высказывательные формы –
  А – «25 – четное число»
  В – «25 – делится на 5»
  Логическая связка – « и »
  Проблема: «Как определить значение истинности составных предложений?»
  Составное высказывание вида «А и В» называют конъюнкцией (лат. «соединение»), обозначают А  В.
  

• 9 слайд

  Определение. Конъюнкцией высказываний А и В называется высказывание А  В, которое истинно, когда оба высказывания истинны, и ложно, когда хотя бы одно из высказываний ложно.
  Пример: А – «Л»  А В – «Л» (по определению)
  В – «И»
  Составные высказывания вида «А или В» называют дизъюнкцией (лат. «разделение»), обозначают АВ.
  

• 10 слайд

  Определение. Дизъюнкцией высказываний А и В называется высказывание А  В, которое истинно, когда истинно хотя бы одно из высказываний, и ложно, когда оба высказывания ложны.
  Пример: «Число 25 делится на 5 или на 3».
  А – «25 делится на 5»
  В – «25 делится на 3»
  Логическая связка – или
  Логическая структура - АВ
  А – «И»  – АВ «И» (по определению)
  В – «Л»
  

• 11 слайд

  Составим таблицу истинности конъюнкции и дизъюнкции
  
  

• 12 слайд

  Конъюнкцию одноместных высказывательных форм обозначают:
  А(х)  В(х)
  Высказывательная форма А(х)  В(х) обращается в истинное высказывание, если обращаются в истинное высказывание обе высказывательные формы А(х) и В(х) при значениях х из области определения Х.
  Пример: х + 3 13 А(х) – х+313
  3х 15 В(х) – 3х  15
  Логическая структура А(х)  В(х)
  х  10
  х  5
  5
  10
  Ответ: А(х)  В(х) – «И» при х  (5;10).
  

• 13 слайд

  Дизъюнкцию одноместных высказывательных форм обозначают:
  А(х) В(х)
  Высказывательная форма А(х)В(х) обращается в истинное высказывание, при тех значениях х из области определения Х, при которых обращается в истинное высказывание хотя бы одна из высказывательных форм.
  Пример: (х + 7) (х - 4) = 0
  Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю.
  А(х) – х + 7=0
  В(х) – х – 4 =0
  Логическая структура: А(х)  В(х)
  х +7=0 или х – 4 =0
  х = - 7 х=4
  
  Ответ. А(х)  В(х) - И при х  (-7;4).
  

• 14 слайд

  Квантор существования – это выражения «существует», «некоторые», «найдется», «есть», «хотя бы один».
  Обозначение:  х – «существует х»
  ( х) Ах – «существует такое значение х, что А(х) – истинное высказывание».
  Истинность высказывания с квантором существования устанавливается при помощи конкретного примера, а ложность - доказывается.
  

• 15 слайд

  
  Пример: «Некоторые прямоугольные треугольники являются равносторонними».
  Высказывание содержит квантор существования – «некоторые» и оно – «Л». Это необходимо доказать.
  В равностороннем треугольнике все углы по 60, а в прямоугольном один из углов - 90. Следовательно, ни один прямоугольный треугольник не может быть равносторонним.
  

• 16 слайд

  Квантор общности – это выражения «всякий», «любой», «каждый» и «все».
  Обозначение: х – для всякого х.
  (х) А(х) – «для всякого х предложения А(х) – истинное высказывание».
  Истинность высказывания с квантором общности устанавливается путем доказательства, а ложность – контрпример.
   Пример: «Всякое натуральное число делится на 2 » высказывание содержит квантор общности – «всякое и оно – Л, т.к. «3 не делится на 2» - контрпример.
  
  

• 17 слайд

  
  В математике часто приходится строить предложения в которых что – либо отрицается.
  Пример: «15 – простое число» А – Л
  Построим отрицание высказывания: «неверно, что 15 простое число» - И
  Обозначение: Ā
  Читают: «Не А» или «Неверно, что А».
  

• 18 слайд

  Определение. Отрицанием высказывания А называется высказывание Ā, которое ложно, если высказывание А истинно, и истинно, если высказывание А- ложно.
  

• 19 слайд

  
  Отрицании конъюнкции и дизъюнкции
  Законы де Моргана
  
  
  Чтобы построить отрицание конъюнкции (дизъюнкции), достаточно заменить отрицаниями составляющие её высказывания, а союз «и» («или») заменить союзом «или» («и»).
   Пример: «Число 15 – нечетное и делится на 5».
  Построить отрицание высказывания.
  Решение
  А  В – И
  𝐴∧𝐵 ⟺ 𝐴 ∨𝐵
  𝐴∨𝐵⟺ 𝐴 ∧𝐵
  

• 20 слайд

  способ. А  В - «Неверно, что 15 – нечетное число и делится на 5». А  В – Л  оно является отрицанием высказывания А.
  способ. Воспользуемся законом де Моргана
  𝑨∨𝑩⟺ 𝑨 ∧𝑩
  «Число 15 – четное или не делится на 5» - Л
  

• 21 слайд

  Отрицание высказываний с кванторами
  Отрицание высказывания с квантором можно построить двумя способами:
  перед высказыванием ставится слова «неверно что»;
  квантор общности (существования) заменяется квантором существования (общности), а предложение, стоящее после квантора заменяется его отрицанием.
  

• 22 слайд

  Пример: Построить отрицание высказываний
  А–«Всякий многоугольник является четырехугольником» - Л – высказывание с квантором общности.
  способ. Ā – «Неверно, что всякий многоугольник является четырехугольником» - И
  А – Л  Ā построено верно
  Ā – И
  способ. Ā - «Некоторые многоугольники не являются четырехугольниками» - И
  А – Л  Ā построено верно
  Ā – И
  
  

• 23 слайд

  
  А – «Некоторые свойства квадрата присущие прямоугольнику» - И – высказывание с квантором существования.
  способ. Ā - «Неверно, что некоторые свойства квадрата присущи прямоугольнику».
  А – И  Ā построен верно
  Ā – Л
  способ. Ā - «Всякое свойство квадрата не присуще прямоугольнику» - Л
  А – И
  Ā– Л
  

• 24 слайд

  Отношения следования и равносильности
  Рассмотрим высказывательные формы:
  А(х) – «х 5»
  В (х) – «х 2»
  
  
  
  Как связаны между собой?
  Можно утверждать:
  «Все числа больше пяти больше двух» или
  «из того, что х 5 следует, что х 2 ».
  
  

• 25 слайд

  Определение. Высказывательная форма В (х) следует из высказывательной S формы А (х), если В (х) обращается в истинное высказывание при всех тех значениях х, при которых А (х) истинна.
  Обозначение: А(х)В(х)
  Читают:
  Из А(х) следует В;
  Всякое А(х) есть В(х);
  Если А (х), то В(х);
  В(х)есть следствие А(х);
  А(х) – достаточное условие для В (х)
  В(х) – необходимое условие для А(х)
  Как установить истинность предложения А(х)В(х)?
  Его можно сформулировать в виде:
  «Всякое А(х) есть В(х)»
  

• 26 слайд

  Имеет место высказывание с квантором общности, значит истинность устанавливается путем доказательства, а ложность – контрпример.
  Рассмотрим высказывания:
  А(х) – «треугольник равнобедренный»
  В(х) – «Углы при основании треугольника равны »
  А(х) В (х) – И
  «Если в треугольнике углы при основании равны, то он равнобедренный» - И
  Говорят: предложения А(х) и В(х) – равносильны.
  

• 27 слайд

  Определение. Предложения А(х) и В(х) равносильны, если из предложения А(х) следует предложения В(х), а из предложения В(х) следует предложение А(х).
  Обозначение: А(х)В(х)
  Читают:
  А(х) равносильно В(х)
  А(х) тогда и только тогда, когда В(х)
  А(х) – необходимое и достаточное условие В(х)
  В(х) – необходимое и достаточное условие А(х)
  

• 28 слайд

  Теорема – это высказывание, истинность которого устанавливается путем доказательства.
  Логическая структура теоремы:
  АВ, где А и В – высказывательные формы с одной или несколькими переменными.
  Предложение А – условие теоремы;
  В – заключение.
  Теорема. Если а – любое число и n, k – натуральные числа, то справедливо равенство
    а 𝒏 ∗ 𝒂 𝒌 = 𝒂 𝒏+𝒌
  

• 29 слайд

  Для удобства использования теоремой её формулируют в виде правила.
  Правило. При умножении степеней с одинаковыми основаниями, основания оставляют прежним. А показатели степеней складывают.
  а 𝒏 ∗ 𝒂 𝒌 = 𝒂 𝒏+𝒌
  
  Пусть дана теорема:
  

• 30 слайд

• 31 слайд

  
  
  (АВ) ( 𝑩  𝑨 )
  Закон контрапозиции
  т.е. всегда когда истинна данная теорема, будет истинна и теорема обратная противоположенной.
  

• 32 слайд

  Вопросы для самоконтроля
  Сформулируйте разницу между высказыванием и высказывательной формой.
  Как определить логическую структуру составного предложения?
  Сформулируйте различие между конъюнкцией и дизъюнкцией.
  Как определяется истинность конъюнкции и дизъюнкции высказываний и высказывательных форм?
  Сформулируйте правила определения истинности высказываний с кванторами.
  Где используется закон де Моргана?
  Каким образом можно построить отрицание высказываний с кванторами?
  В каких случаях используют отношение логического следования и равносильности между предложениями?
  В чем отличие теоремы от правила?
  Какова логическая структура различных видов теорем?
  Каким законом связаны различные виды теорем?
  

• 33 слайд

  Задания для практической работы
  Стойлова Л.П. Математика: Учебное пособие для студентов средних педагогических учебных заведений «Академия», 1998.
  §3, п.16 № 4,5,6,8
  п.17 № 1,2,3,5,
  п. 18 № 3,4
  п. 20 № 5,6,7,9,10
  п. 21 № 2,3,4,8
  п.22№ 2,5,9,12
  п.23 №2,5,6