Презентация "Подготовка к ЕГЭ. Логарифмические неравенства"

• 1 слайд

  РЕШЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ
  Подготовка к ЕГЭ
  Учитель математики МБОУ «СОШ № 90»
  Манахова Е.А.
  

• 2 слайд

• 3 слайд

  Обобщённый метод интервалов
  
   
  Данный способ наиболее универсален при решении неравенств практически любого типа. Схема решения выглядит следующим образом:
   
  1. Привести неравенство к такому виду, где в левой части находится функция , а в правой 0.
   
  2. Найти область определения функции .
   
  3. Найти нули функции , то есть – решить уравнение (а решать уравнение обычно проще, чем решать неравенство).
   
  4. Изобразить на числовой прямой область определения и нули функции.
   
  5. Определить знаки функции на полученных интервалах.
   
  6. Выбрать интервалы, где функция принимает необходимые значения, и записать ответ.
   
  
  

• 4 слайд

  Решение:
  
  Применим метод интервалов
  
  Пример 1
  Ответ:
  

• 5 слайд

  Пример 2
  Решение:
  Неравенство равносильно совокупности систем
  
  

• 6 слайд

  Применим метод интервалов
  
  Ответ:
  

• 7 слайд

  Пример 3
  Так как 2x2 - 3x + 3 > 0 при всех действительных x, то неравенство
  равносильно системе
  

• 8 слайд

  Для решения второго неравенства воспользуемся методом интервалов
  
  В первом неравенстве сделаем замену
  тогда приходим к неравенству 2y2 - y - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те y, которые удовлетворяют неравенству -0,5 < y < 1.
  

• 9 слайд

  Откуда, так как получаем неравенство,
  которое выполняется при тех x,
  2x2 - 3x - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов
  для которых
  Ответ: Хє (-1;2,5)
  

• 10 слайд

  Теперь с учетом решения второго неравенства системы окончательно получаем
  
  

• 11 слайд

  Метод рационализации
  Алгоритм метода рационализации.
  Выписать условия, задающие ОДЗ (необязательно их преобразовывать и решать).
  Привести исходное неравенство к виду, где справа должен стоять 0, а все слагаемые в левой части необходимо привести к общему знаменателю (если среди этих слагаемых встречаются дроби).
  Явно указать ОДЗ исходного неравенства.
  По возможности заменить все выражения на более простые, совпадающие по знаку с исходными. Каждый множитель следует заменять несколько раз – до тех пор, пока это возможно.
  Решить полученное неравенство. Например, методом интервалов.
  Записать ответ исходного неравенства, учитывая ОДЗ.
  
  

• 12 слайд

• 13 слайд

  здесь
  Исходное выражение
  Выражение после замены
  

• 14 слайд

  
  
  
  Ключевыми являются два следующих утверждения.
   
  
  Утверждение 1. Если функция f (t) строго возрастает, то для любых двух значений t1 и t2 знак выражения f (t1 )- f (t2 )совпадает со знаком выражения t1 - t2
  Утверждение 2. Если функция f (t) строго убывает, то для любых двух значений t1 и t2 знак выражения f (t1 )- f (t2 ) совпадает со знаком выражения t2 - t1.
  Замечание. Естественно, что в этих утверждениях необходима именно строгая монотонность функции, а не просто монотонность.
  

• 15 слайд

  Пример 1
  Решение :
  Воспользуемся первой строчкой таблицы замен. В нашем случае
  Получим, что на ОДЗ данное неравенство равносильно неравенству:
  
  

• 16 слайд

  С учетом ОДЗ получим решение исходного неравенства:
  Ответ:
  

• 17 слайд

  Пример 2
  Решение:
  На ОДЗ выполняется
  Исходное неравенство равносильно неравенству:
  
  то есть
  Решив это неравенство методов интервалов, получим :
  Очевидно, что
  

• 18 слайд

  Значит с учетом ОДЗ, получим
  Ответ:
  

• 19 слайд

  Неравенство с заменой переменных
  

• 20 слайд

  Неравенства с нестандартной подстановкой
  Решить неравенство:
  

• 21 слайд

• 22 слайд

  При решении логарифмических неравенств, содержащих несколько различных функций под знаком логарифмов, рекомендуется сначала найти область определения исходного выражения, и лишь затем совершать преобразования, в ходе которых область определения может сужаться или расширяться.
  
  

• 23 слайд

  Решить неравенство
  Решение.
  Ключевым моментом в решении данного неравенства является поиск его области определения.
  Область определения неравенства состоит только из двух точек.
  Осталось подстановкой выяснить, какие из этих точек удовлетворяют неравенству.
  При
  неравенство принимает вид
  - истинно
  При х= -3 неравенство принимает вид
  Х=1
  -ложно
  Ответ: х=1