Презентация по математике на тему "Задача №8 ЕГЭ-2015 по математике, профильный уровень"

Описание презентации по отдельным слайдам:

• 

  1 слайд

  Учитель математики ГБОУ гимназия №1
  города Похвистнево Самарской области
  Антонова Г.В.
  Задача №8 ЕГЭ-2015
  по математике, профильный уровень
  

• 

  2 слайд

  Задача №8
  Тип задания по кодификатору требований: Задание на выполнение действий с функциями и производными функций, исследование функций.
  Характеристика задания: Задача на чтение графика функции для ответа на вопрос о каком-то из свойств производной этой функции либо на чтение графика производной функции для ответа на вопрос о каком-то из свойств самой функции.
  Комментарий: Для решения задачи достаточно знать, что
  - в каждой точке интервала возрастания дифференцируемой на этом интервале функции её производная положительна;
  - в каждой точке интервала убывания дифференцируемой на этом интервале функции её производная отрицательна;
  - в каждой точке экстремума непрерывной функции производная либо равна нулю, либо не существует («угол» на графике функции).
  
  

• 

  3 слайд

  Задача №8
  общие точки графика производной и оси абсцисс (т.е. точки, в которых производная равна нулю)
  либо являются точками максимума, если график производной пересекает ось абсцисс «сверху вниз» (т.е. производная меняет знак с плюса на минус: возрастание функции сменяется убыванием),
  либо являются точками минимума, если график производной пересекает ось абсцисс «снизу вверх» (т.е. производная меняет знак с минуса на плюс: убывание функции сменяется возрастанием),
  либо не являются точками экстремума (график производной не пересекает ось абсцисс, а лишь касается её: в этом случае не происходит смены знака производной и характер монотонности функции НЕ МЕНЯЕТСЯ).
  Обратно, если дан график производной функции, то
  на тех интервалах, где он расположен выше оси абсцисс (т.е. производная положительна), функция возрастает;
  на тех интервалах, где он расположен ниже оси абсцисс (т.е. производная отрицательна), функция убывает;
  

• 

  4 слайд

  1. Ма­те­ри­аль­ная точка дви­жет­ся пря­мо­ли­ней­но по за­ко­ну 𝑥 𝑡 =− 𝑡 4 +6 𝑡 3 +5𝑡+23 (где x — рас­сто­я­ние от точки от­сче­та в мет­рах, t — время в се­кун­дах, из­ме­рен­ное с на­ча­ла дви­же­ния). Най­ди­те ее ско­рость в (м/с) в мо­мент вре­ме­ни 𝑡=3с.
  Ре­ше­ние:
  Ответ: 59.
  𝑣 𝑡 = 𝑥 ′ 𝑡 =−4 𝑡 3 +18 𝑡 2 +5;
  Задача №8
  При t = 3cек 𝑣 3 =−4∙ 3 3 +18∙ 3 2 +5=
  =−4∙27+18∙9+5=−108+162+5=59.
  
  2. Ма­те­ри­аль­ная точка дви­жет­ся пря­мо­ли­ней­но по за­ко­ну 𝑥 𝑡 = 𝑡 2 −13𝑡+23 (где x — рас­сто­я­ние от точки от­сче­та в мет­рах, t — время в се­кун­дах, из­ме­рен­ное с на­ча­ла дви­же­ния). В какой мо­мент вре­ме­ни (в се­кун­дах) ее ско­рость была равна 3 м/с?
  Ре­ше­ние: 𝑣 𝑡 = 𝑥 ′ 𝑡 =2𝑡−13;
  
  По условию 𝑣 𝑡 =3 ⇒ 2𝑡−13=3, значит t = 8сек.
  Ответ: 8
  В бланке:
  8
  

• 

  5 слайд

  Задача №8
  3. Ма­те­ри­аль­ная точка дви­жет­ся пря­мо­ли­ней­но по за­ко­ну 𝑥 𝑡 = 1 3 𝑡 3 −3 𝑡 2 −5𝑡+3 (где x — рас­сто­я­ние от точки от­сче­та в мет­рах, t — время в се­кун­дах, из­ме­рен­ное с на­ча­ла дви­же­ния). В какой мо­мент вре­ме­ни (в се­кун­дах) ее ско­рость была равна 2 м/с? 
  
  Ре­ше­ние:
  Най­дем закон из­ме­не­ния ско­ро­сти:
  𝑣 𝑡 = 𝑥 ′ 𝑡 = 𝑡 2 −6𝑡−5 (м/с). Чтобы найти, в какой мо­мент вре­ме­ни ско­рость была равна 2 м/с, решим уравнение:
   
  
  t 2 −6t−5=2, т.е. t 2 −6t−7=0⇒ t 1 =−1 или t 2 =7,
  Но t >0, поэтому t = 7.
  Ответ: 7
  В бланке:
  7
  

• 

  6 слайд

  Задача №8
  4. Пря­мая 𝑦=7𝑥−5 па­рал­лель­на ка­са­тель­ной к гра­фи­ку функции 𝑦= 𝑥 2 +6𝑥−8. Най­ди­те абс­цис­су точки ка­са­ния.
  Ре­ше­ние:
  Зна­че­ние про­из­вод­ной в точке ка­са­ния равно уг­ло­во­му коэффици­ен­ту ка­са­тель­ной. По­сколь­ку ка­са­тель­ная параллельна пря­мой 𝑦=7𝑥−5, их уг­ло­вые ко­эф­фи­ци­ен­ты равны. По­это­му абс­цис­са точки ка­са­ния на­хо­дит­ся из урав­не­ния y′ = 7:
  𝑥 2 +6𝑥−8 ′ =7 ⇔ 2𝑥+6=7 ⇔ 𝑥=0,5.
  Ответ: 0,5.
  5. Пря­мая 𝑦=−4𝑥−11 яв­ля­ет­ся ка­са­тель­ной к гра­фи­ку функ­ции 𝑦= 𝑥 3 +7 𝑥 2 +7𝑥−6 . Най­ди­те абс­цис­су точки касания.
  Ре­ше­ние:
  Усло­вие ка­са­ния гра­фи­ка функ­ции 𝑦=𝑓 𝑥 и пря­мой
  𝑦=𝑘𝑥+𝑏 задаётся условиями:
  𝑓 ′ 𝑥 =𝑘, 𝑓 𝑥 =𝑘𝑥+𝑏.
  

• 

  7 слайд

  Задача №8
  (продолжение решения задачи 5)
  В нашем слу­чае имеем:
   
  
  3 𝑥 2 +14𝑥+7=−4, 𝑥 3 +7 𝑥 2 +7𝑥−6=−4𝑥−11; ⇔ 3 𝑥 2 +14𝑥+11=0, 𝑥 3 +7 𝑥 2 +11𝑥+5=0; ⇔
  𝑥 1 =− 11 3 , 𝑥 2 =−1, 𝑥 3 +7 𝑥 2 +11𝑥+5=0 (∗)
  Про­вер­ка под­ста­нов­кой по­ка­зы­ва­ет, что пер­вый ко­рень не удо­вле­тво­ря­ет, а второй удо­вле­тво­ря­ет урав­не­нию (*). По­это­му ис­ко­мая абс­цис­са точки ка­са­ния −1.
  Ответ: -1.
  В бланке:
  -
  

• 

  8 слайд

  Задача №8
  6. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции y=f(x). Пря­мая, проходящая через на­ча­ло ко­ор­ди­нат, ка­са­ет­ся гра­фи­ка этой функции в точке с абс­цис­сой 8. Най­ди­те f'(8).
  Т.к. ка­са­тель­ная проходит через на­ча­ло ко­ор­ди­нат и точку (8;10), проведём её.
  8
  10
  По­сколь­ку уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент ка­са­тель­ной равен зна­че­нию про­из­вод­ной в точке ка­са­ния, по­лу­ча­ем: 𝑓 ′ 8 =𝑡𝑔𝛼= 10 8 =1,25.
   
  
  𝛼
  Ответ: 1,25.
  
  

• 

  9 слайд

  Задача №8
  7. На рисунке изображён график производной функции 𝑓 𝑥 . Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику 𝑦=𝑓 𝑥 параллельна прямой 𝑦=2𝑥−2 или совпадает с ней.
  Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Т.к. касательная параллельна прямой 𝒚=𝟐𝒙−𝟐 или совпадает с ней, то она имеет угловой коэффициент равный 2 и ⇒ 𝒇 ′ 𝒙 𝟎 =𝟐.
  Ре­ше­ние:
  2
  5
  𝒇 ′ 𝒙 𝟎 =𝟐 при x = 5.
  Ответ: 5.
  
  

• 

  10 слайд

  Задача №8
  8. На рисунке изображён график производной функции 𝑓 𝑥 . Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику 𝑦=𝑓 𝑥 параллельна оси абсцисс или совпадает с ней.
  Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Т.к. касательная параллельна оси абсцисс или совпадает с ней, то она имеет вид y = b и её k = 0. Производная = 0 в той точке, в которой её график пересекает ось абсцисс.
  Ре­ше­ние:
  •
  -3
  Искомая точка 𝒙=−𝟑.
  Ответ: - 3.
  
  В бланке:
  3
  ‒
  

• 

  11 слайд

  Задача №8
  9. На рисунке изображён график функции y = f(x). Найдите точку, в которой функция f(x) принимает наибольшее значение на отрезке
  [-4;3].
  Ответ: функция принимает наибольшее значение при х = 3.
  В бланке:
  3
  3
  -4
  𝒚 наибольшее
  

• 

  12 слайд

  Задача №8
  10. На рисунке изображён график некоторой функции y = f(x). Одна из первообразных этой функции равна 𝐹 𝑥 = 1 3 𝑥 3 − 𝑥 2 +2𝑥−5. Найдите площадь заштрихованной фигуры.
  𝑺 фигуры = −𝟏 𝟐 𝒇 𝒙 𝒅𝒙= 𝑭 𝟐 −𝑭 −𝟏 =
  = 1 3 ∙ 2 3 − 2 2 +2∙2−5 − 1 3 ∙ −1 3 − −1 2 +2∙ −1 −5 = 8 3 −4+4−5− − 1 3 −1−2−5 =2 2 3 −5+8 1 3 =11−5=6.
  Ответ: 6.
  
  В бланке:
  6
  

• 

  13 слайд

  Задача №8
  11. На рисунке изображён график y = F(x) одной из первообразных некоторой функции f(x), определённой на интервале (-8;7). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x) = 0 на отрезке [-5;5].
  Решение: По определению первообразной на заданном интервале 𝐹 ′ 𝑥 =𝑓 𝑥 . Поэтому решением уравнения f(x) = 0 на отрезке [-5;5] являются точки экстремумов функции y = F(x).
  -5
  5
  •
  •
  •
  •
  Таковыми являются точки x=-4, x=-2, x=1 и x=4, т.е. количество решений уравнения f(x) = 0 на отрезке [-5;5] равно 4.
  Ответ: 4.
  
  

• 

  14 слайд

  Задача №8
  12. На рисунке изображены график функции y=f′(x) –  производной функции f(x), и семь точек на оси абсцисс: 𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 , 𝑥 4 , 𝑥 5 , 𝑥 6 , 𝑥 7 . В скольких из этих точек функция f(x) возрастает?
  y=f′(x) >0
  y=f′(x) >0
  𝒚=𝒇(𝒙)
  𝒚=𝒇(𝒙)
  Решение:
  Выделим интервалы, где производная больше нуля.
  Если y=f′(x) >0, то сама функция y = f(x) возрастает.
  
  Функция f(x) возрастает в точках 𝑥 1 , 𝑥 4 , 𝑥 5 , 𝑥 6 , 𝑥 7 .
  Ответ: 5.
  
  

• 

  15 слайд

  Задача №8
  13. На рисунке изображён график функции 𝑦=𝑓 𝑥 и отмечены точки -7, -3, 1, 7. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.
  Решение: Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который равен tg угла, образованного касательной и положительным направлением оси абсцисс.
  В точках -7 и -3 – значение производной положительно. Функция y=tgx возрастает на интервале − 𝜋 2 ; 𝜋 2 , следовательно, в точке x=7 значение производной наименьшее.
  Ответ: 7.
  
  

• 

  16 слайд

  Задача №8
  14. На рисунке изображён график некоторой функции y=f(x). Пользуясь рисунком, вычислите определённый интеграл −7 −1 𝑓 𝑥 𝑑𝑥.
  Решение: −7 −1 𝑓 𝑥 𝑑𝑥= 𝑆 ∆𝐴𝐵𝐶 + 𝑆 прямоуг.𝐵𝐶𝑀𝑁 = 1 2 ∙2∙2+4∙2=10.
  A
  C
  B
  M
  N
  Ответ: 10
  
  В бланке:
  0
  

• 

  17 слайд

  Задача №8
  15. На рисунке изображён график функции y=f′(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (−3;8). Найдите точку максимума функции f(x).
  y=f′(x) >0
  𝒚=𝒇(𝒙)
  y=f′(x) >0
  y=f′(x) <0
  𝒚=𝒇(𝒙)
  𝒚=𝒇(𝒙)
  Решение: Если производная меняет знак с плюса на минус, т.е. возрастание функции сменяется убыванием, то эта точка является точкой максимума функции.
  •
  Т.е. x = - 2 – точка максимума.
  Ответ: -2
  
  

• 

  18 слайд

  Задача №8
  16. На рисунке изображён график функции y = f(x). Найдите наименьшее значение функции f(x) на отрезке [1;9].
  y = - 4
  9
  y = - 4 – наименьшее значение функции f(x) на отрезке [1;9].
  Ответ: -4
  
  

• 

  19 слайд

  Задача №8
  17. На рисунке изображён график дифференцируемой функции y=f(x) и отмечены семь точек на оси абсцисс: 𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 , 𝑥 4 , 𝑥 5 , 𝑥 6 . В скольких из этих точек производная функции f(x) отрицательна?
  В каждой точке интервала убывания дифференцируемой на этом интервале функции её производная отрицательна
  В интервалы убывания функции попадают точки 𝑥 2 и 𝑥 4 . Т.е. количество таких точек равно 2.
  Ответ: 2
  
  

• 

  20 слайд

  18. На рисунке изображены график дифференцируемой функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой 𝑥 0 . Найдите значение производной функции f(x) в точке 𝑥 0 .
  19. На рисунке изображён график дифференцируемой функции y=f(x) и отмечены семь точек на оси абсцисс:
  𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 , 𝑥 4 , 𝑥 5 , 𝑥 6 , 𝑥 7 . В скольких из этих точек производная функции f(x) положительна?
  Ответ: 2
  Ответ: 3
  Задача №8
  В бланке:
  2
  𝒇 ′ 𝒙 >𝟎
  𝒇 ′ 𝒙 >𝟎
  °
  °
  °
  𝒇 ′ 𝒙 𝟎 = 𝟖 𝟒
  𝒚=𝒇(𝒙)
  𝒚=𝒇(𝒙)
  

• 

  21 слайд

  20. На рисунке изображён график y=f'(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (−9;8). Найдите точку экстремума функции f(x) на отрезке [−3;3].
  Ответ: - 2
  Задача №8
  В бланке:
  2
  -
  •
  𝒙=−𝟐 −точка 𝒎𝒊𝒏
  

• 

  22 слайд

  21. На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой 𝑥 0 . Найдите значение производной функции f(x) в
  точке 𝑥 0 .
  
  Ответ: -1,25
  22. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−7; 4). Най­ди­те про­ме­жут­ки воз­рас­та­ния функ­ции f(x). В от­ве­те ука­жи­те сумму целых точек, вхо­дя­щих в эти про­ме­жут­ки.
  °
  °
  °
  °
  °
  °
  °
  Ответ: –6+(–2)+(–1)+0+1+2+3= - 3
  Задача №8
  В бланке:
  ,
  5
  2
  -
  𝜶
  𝜷
  𝒇 ′ 𝒙 𝟎 =𝒕𝒈𝜶=−𝒕𝒈 𝟏𝟖𝟎 ° −𝜶 =−𝒕𝒈𝜷
  𝒕𝒈𝜷=− 𝟓 𝟒
  𝒇 ′ 𝒙 >𝟎
  𝒇 ′ 𝒙 >𝟎
  𝒚=𝒇(𝒙)
  𝒚=𝒇(𝒙)
  

• 

  23 слайд

  23. На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой 𝑥 0 . Найдите значение производной функции f(x) в
  точке 𝑥 0 .
  
  24. На рисунке изображён график функции y=f(x), определённой на интервале (−9;5). Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) 
  равна 0.
  Ответ: - 0,2
  Ответ: 9
  °
  °
  °
  °
  °
  °
  °
  °
  °
  Задача №8
  В бланке:
  0
  -
  ,
  2
  𝑓 ′ 𝑥 =0 в точках экстремума (точки min и max)
  ①
  ②
  ③
  ④
  ⑤
  ⑥
  ⑦
  ⑧
  ⑨
  

• 

  24 слайд

  25. На рисунке изображён график y=f′(x) производной функции f(x), определённой на интервале (−8;4). В какой точке отрезка [−2;3] функция f(x) принимает наименьшее значение?
  Ответ: - 2
  26. На рисунке изображён график функции y=f′(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (−3;8). Найдите точку минимума функции f(x).
  Ответ: 4
  Задача №8
  -2
  3
  𝒇 ′ 𝒙 >𝟎
  𝒚=𝒇(𝒙)
  °
  𝒇 ′ 𝒙 >𝟎
  𝒇 ′ 𝒙 >𝟎
  𝒇 ′ 𝒙 <𝟎
  𝒚=𝒇(𝒙)
  𝒚=𝒇(𝒙)
  𝒚=𝒇(𝒙)
  4
  

• 

  25 слайд

  Задача №8
  27. На рисунке изображён график функции y=f(x). Прямая, проходящая через точку (-6;-1), касается этого графика в точке с абсциссой 6. Найдите 𝑓 ′ 6 .
  -6
  •
  •
  𝜶
  6
  Решение: 𝑓 ′ 6 =𝑡𝑔𝛼 (𝛼 – угол, образованный касательной к графику функции в точке х = 6 и положительным направлением оси абсцисс
  𝑓 ′ 6 = 3 12 = 1 4 =0,25.
  Ответ: 0,25
  

• 

  26 слайд

  Задача №8
  28. На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к этому графику, проведённая в точке 𝑥 0 . Уравнение касательной показано на рисунке. Найдите значение производной функции 𝑦=− 1 4 𝑓 𝑥 +5 в точке 𝑥 0 .
  Решение: 𝑦 ′ 𝑥 0 = − 1 4 𝑓 𝑥 +5 ′ =− 1 4 ∙ 𝑓 ′ 𝑥 0 +0.
  Но уравнение касательной: y = - 2x + 15, значит 𝑓 ′ 𝑥 0 =−2.
  Тогда 𝑦 ′ 𝑥 0 =− 1 4 ∙ 𝑓 ′ 𝑥 0 +0=− 1 4 ∙ −2 =0,5.
  
  Ответ: 0,5
  

• 

  27 слайд

  29. На рисунке изображен график y=f′(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (−11;11). Найдите количество точек экстремума функции f(x), принадлежащих отрезку [−10;10].
  Задача №8
  Точки графика функции f(x), принадлежащих отрезку [−10;10] являются точками экстремума, если график производной этой функции пересекает ось абсцисс, т.е. в этом случае происходит смена знака производной и характера монотонности.
  Таких точек на рисунке 5: х = -6, х=-2, х=2, х=6, х=9.
  Ответ: 5
  ˅
  ˅
  ˅
  ˅
  ˅
  

• 

  28 слайд

  Задача №8
  30. На рисунке изображен график y=f′(x)  — производной функции y=f(x), определенной на интервале (−12;4). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.
  На интервалах [-11;-7] и [-3;3] y=f′(x)>0, следовательно функция y=f(x) на этих интервалах возрастает.
  4
  6
  Длина наибольшего промежутка возрастания функции y=f(x) равна 6.
  Ответ: 6
  

• 

  29 слайд

  Задача №8
  http://reshuege.ru/
  ЕГЭ 2015. Математика. 30 вариантов типовых тестовых заданий и 800 заданий части 2 / И.Р.Высоцкий, П.И.Захаров, В.С.Панфёров, С.Е.Посицельский, А.В.Семёнов, М.А.Семёнова, И.Н.Сергеев, В.А.Смирнов, С.А.Шестаков, Д.Э.Шноль, И.В.Ященко. – М.: Издательство МЦНМО, 2015. – 215, [1] с. (Серия «ЕГЭ. 30 вариантов. Типовые тестовые задания»)
  http://opengia.ru/subjects/mathematics-11/topics/4?page=169
  Источник шаблона: Фокина Лидия Петровна, учитель начальных классов, МКОУ «СОШ ст. Евсино» Искитимского района Новосибирской области, сайт http://linda6035.ucoz.ru/
  
  
  
  
  
  
  
  
  Использованные источники