180267
столько раз учителя, ученики и родители
посетили официальный сайт ООО «Инфоурок»
за прошедшие 24 часа
Добавить материал и получить бесплатное
свидетельство о публикации
в СМИ №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок Математика ПрезентацииПрезентация "Решение системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными"

Презентация "Решение системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными"

IV Международный дистанционный конкурс «Старт» Идёт приём заявок Для дошкольников и учеников 1-11 классов 16 предметов ОРГВЗНОС 25 Р. ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов
Занятие 1. Матрицы Виды матриц Действия над ними

Описание презентации по отдельным слайдам:

1 слайд Занятие 1. Матрицы Виды матриц Действия над ними
Описание слайда:

Занятие 1. Матрицы Виды матриц Действия над ними

2 слайд Немного истории Ценность научного творчества безгранична. Для общего прогресс
Описание слайда:

Немного истории Ценность научного творчества безгранична. Для общего прогресса человечества наиболее ценным является творчество, устанавливающее новые пути, по которым идут исследователи. К числу учёных новаторов принадлежит гениальный немецкий математик Карл Фридрих Гаусс. Основная черта научных работ Гаусса – это их исключительная разносторонность. Гаусс также считался одним из создателей неэвклидовой геометрии.

3 слайд Он занимался высшей алгеброй, теорией чисел, дифференциальной геометрией, те
Описание слайда:

Он занимался высшей алгеброй, теорией чисел, дифференциальной геометрией, теорией вероятности, теорией электричества и магнетизма, вопросами капиллярности, геодезией и астрономией. Во всех этих областях Гаусс сделал оригинальные открытия. Габриель Крамер – швейцарский математик. Установив и опубликовав в 1705 году правило решения систем линейных уравнений с буквенными коэффициентами, он внёс значительный вклад в развитие алгебры.

4 слайд Матрицей размеров m x n называется система m n чисел (элементов матрицы), ра
Описание слайда:

Матрицей размеров m x n называется система m n чисел (элементов матрицы), расположенных в прямоугольной таблице из m строк и n столбцов. Если m=n, матрицу называют квадратной матрицей порядка n.

5 слайд  Обозначения:
Описание слайда:

Обозначения:

6 слайд Виды матриц Нулевая матрица 0 =
Описание слайда:

Виды матриц Нулевая матрица 0 =

7 слайд  Матрица, противоположная матрице А -А = Трапециевидная (ступенчатая) матрица
Описание слайда:

Матрица, противоположная матрице А -А = Трапециевидная (ступенчатая) матрица

8 слайд  Матрица-строка: Матрица-столбец: Верхняя треугольная матрица:
Описание слайда:

Матрица-строка: Матрица-столбец: Верхняя треугольная матрица:

9 слайд  Нижняя треугольная матрица Диагональная матрица
Описание слайда:

Нижняя треугольная матрица Диагональная матрица

10 слайд Единичная матрица Е = Если все действительные, то матрица А называется дейст
Описание слайда:

Единичная матрица Е = Если все действительные, то матрица А называется действительной; если хотя бы одно из чисел комплексное, то матрица называется комплексной.

11 слайд Действия над матрицами Суммой матриц А = ( ) и В = ( ) одинаковых размеров на
Описание слайда:

Действия над матрицами Суммой матриц А = ( ) и В = ( ) одинаковых размеров называется матрица С = ( ) тех размеров, у которой = + , для любых i, j. C = A + B

12 слайд Свойства сложения матриц: A +B = B + A (A +B) +C = A + (B + C) A + 0 = A A +
Описание слайда:

Свойства сложения матриц: A +B = B + A (A +B) +C = A + (B + C) A + 0 = A A + (-A) = 0, для любых А, В, С одинаковых размеров.

13 слайд Пример 1: Найти сумму матриц: С = А + В А = В = С =
Описание слайда:

Пример 1: Найти сумму матриц: С = А + В А = В = С =

14 слайд Чтобы вычесть из матрицы А матрицу В, нужно к матрице А прибавить матрицу, пр
Описание слайда:

Чтобы вычесть из матрицы А матрицу В, нужно к матрице А прибавить матрицу, противоположную матрице В. А – В = А + (-В) Найти разность матриц А – В А = В = Решение: С = А – В

15 слайд  А = - В = С =
Описание слайда:

А = - В = С =

16 слайд Произведением матрицы А = (aij) на число k называется матрица С = (cij) тех ж
Описание слайда:

Произведением матрицы А = (aij) на число k называется матрица С = (cij) тех же размеров, у которой cij = k · aij для любых i,j. C = k · A Пример 3: Дана матрица А = Тогда 2А =

17 слайд Свойства умножения матрицы на число: 1) 2) 3) 4) для любых А,В одинаковых раз
Описание слайда:

Свойства умножения матрицы на число: 1) 2) 3) 4) для любых А,В одинаковых размеров, любых α, β R

18 слайд Произведением матрицы А = ( ) размеров mхn на матрицу В = ( ) размеров nхp на
Описание слайда:

Произведением матрицы А = ( ) размеров mхn на матрицу В = ( ) размеров nхp называется матрица С = (cij) размеров mхp, = a i1 b 1j + a i2 b 2 j + … + a in b n j . C = AB Свойства умножения матриц: AE = EA = A A0 = 0A = 0 (AB)D = A(BD) (A + B)D = AD + BD D(A + B) = DA + DB (при условии, что все указанные операции имеют смысл). Для квадратных матриц АВ≠ВА

19 слайд  Даны матрицы: А = и В = С = АВ С = С =
Описание слайда:

Даны матрицы: А = и В = С = АВ С = С =

20 слайд Транспонирование матриц. А= Ат = – транспонированная матрица.
Описание слайда:

Транспонирование матриц. А= Ат = – транспонированная матрица.

21 слайд Свойства транспонирования 1. 2. 3. 4.
Описание слайда:

Свойства транспонирования 1. 2. 3. 4.

22 слайд Обратная матрица. Матрица называется обратной для матрицы А, если A = A = E
Описание слайда:

Обратная матрица. Матрица называется обратной для матрицы А, если A = A = E

23 слайд Aij – алгебраические дополнения элементов aij матрицы А. Свойства обратной ма
Описание слайда:

Aij – алгебраические дополнения элементов aij матрицы А. Свойства обратной матрицы: 1. 2. 3.

24 слайд Ранг матрицы Ранг матрицы – наивысший порядок отличных от нуля её миноров. Об
Описание слайда:

Ранг матрицы Ранг матрицы – наивысший порядок отличных от нуля её миноров. Обозначение: rank A

25 слайд Занятие 3. Определители Миноры Алгебраические дополнения
Описание слайда:

Занятие 3. Определители Миноры Алгебраические дополнения

26 слайд Определители Обозначение: (детерминант). Они существуют у квадратных матриц.
Описание слайда:

Определители Обозначение: (детерминант). Они существуют у квадратных матриц. Определение 1. Определителем второго порядка называется выражение

27 слайд Определителем третьего порядка называется выражение
Описание слайда:

Определителем третьего порядка называется выражение

28 слайд Способы вычисления определителя третьего порядка = где - элементы определител
Описание слайда:

Способы вычисления определителя третьего порядка = где - элементы определителя, - миноры элементов а1, b1, c1

29 слайд Минором Мij какого – либо элемента aij определителя порядка n называется опр
Описание слайда:

Минором Мij какого – либо элемента aij определителя порядка n называется определитель порядка n – 1, полученный из вычерчиванием i– й строки и j – го столбца. Это первый способ.

30 слайд Второй способ. Определитель III порядка можно найти по схеме: + -
Описание слайда:

Второй способ. Определитель III порядка можно найти по схеме: + -

31 слайд Третий способ. + + + - - - =
Описание слайда:

Третий способ. + + + - - - =

32 слайд Алгебраическое дополнение Алгебраическим дополнением элемента аij определител
Описание слайда:

Алгебраическое дополнение Алгебраическим дополнением элемента аij определителя называется определитель , где Мy – минор элемента aij. Для нахождения определителя III порядка можно использовать две теоремы.

33 слайд Теорема 1.Определитель равен сумме произведений элементов какой – либо строки
Описание слайда:

Теорема 1.Определитель равен сумме произведений элементов какой – либо строки на их алгебраические дополнения

34 слайд Теорема 2. Определитель равен сумме произведений элементов какого – либо стол
Описание слайда:

Теорема 2. Определитель равен сумме произведений элементов какого – либо столбца на их алгебраические допол-нения.

35 слайд Пример 5: Найти определитель:
Описание слайда:

Пример 5: Найти определитель:

36 слайд Определителем четвёртого порядка называется выражение где A1, B1, C1, D1 - ал
Описание слайда:

Определителем четвёртого порядка называется выражение где A1, B1, C1, D1 - алгебраические дополнения элементов a1, b1, c1, d1.

37 слайд Занятие 5. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ГАУССА.
Описание слайда:

Занятие 5. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ГАУССА.

38 слайд Метод Гаусса – метод последовательного исключения переменных. Пусть задана си
Описание слайда:

Метод Гаусса – метод последовательного исключения переменных. Пусть задана система:

39 слайд 1. Составим расширенную матрицу. 2. С помощью элементарных преобразований ст
Описание слайда:

1. Составим расширенную матрицу. 2. С помощью элементарных преобразований строк расширенную матрицу приведём к треугольному (ступенчатому) виду. 3. Вернувшись к системе уравнений, находим неизвестные. Элементарными преобразованиями матрицы называют: Умножение какой-нибудь строки (столбца) на отличное от нуля число. Прибавление к какой-нибудь строке (столбцу) другой её строки (столбца), умножение на любое число, отличное от нуля. Перестановку местами любых двух строк.

40 слайд Пример 6. Решить систему уравнений методом Гаусса:
Описание слайда:

Пример 6. Решить систему уравнений методом Гаусса:

41 слайд Составим расширенную матрицу и приведём её к треугольному виду с помощью элем
Описание слайда:

Составим расширенную матрицу и приведём её к треугольному виду с помощью элементарных преобразований.

42 слайд Получаем: Вернёмся к системе уравнений Ответ: х1=1; х2=2; х3=-2
Описание слайда:

Получаем: Вернёмся к системе уравнений Ответ: х1=1; х2=2; х3=-2

43 слайд Метод Гаусса применим к любой системе линейных уравнений. При этом система
Описание слайда:

Метод Гаусса применим к любой системе линейных уравнений. При этом система будет несовместной, т.е. не иметь решения, если после преобразований мы получим уравнение, в котором коэффициенты при всех неизвестных равны нулю, а свободный член отличен от нуля. Пример 7. Решить систему:

44 слайд Решение: Составим расширенную матрицу и преобразуем её.
Описание слайда:

Решение: Составим расширенную матрицу и преобразуем её.

45 слайд Получаем: 	Мы видим, что последнее уравнение будет 0 = 2. Значит, заданная си
Описание слайда:

Получаем: Мы видим, что последнее уравнение будет 0 = 2. Значит, заданная система будет несовместной, т.е. не иметь решения. Совместная система будет неопределённой, (то есть иметь решений больше, чем одно), если после преоб-разований матрица приводится к трапе-циевидному виду.

46 слайд Пример 8. Решить систему: Решение: Составим расширенную матрицу и преобразуем
Описание слайда:

Пример 8. Решить систему: Решение: Составим расширенную матрицу и преобразуем её.

47 слайд Получаем: Вернёмся к системе уравнений.
Описание слайда:

Получаем: Вернёмся к системе уравнений.

48 слайд  В итоге имеем:
Описание слайда:

В итоге имеем:

49 слайд Рассмотрим случай, когда заданная система состоит из линейных однородных ур
Описание слайда:

Рассмотрим случай, когда заданная система состоит из линейных однородных уравнений, то есть уравнений, свободные члены которых равны нулю. Такая система всегда совместна, так как обладает нулевым решением (0; 0; …; 0). Если в системе линейных однородных уравнений число уравнений меньше числа неизвестных, то эта система обладает, помимо нулевого решения, также и ненулевыми решениями. Таких решений будет бесконечно много. Пример 9. решить систему:

50 слайд Решение: 	Эта система однородных уравнений; причём число уравнений меньше чис
Описание слайда:

Решение: Эта система однородных уравнений; причём число уравнений меньше числа неизвестных (3<4), поэтому данная система будет неопределённой. Составим матрицу из коэффициентов (так как свободные члены равны нулю) и преобразуем её.

51 слайд Вернёмся к системе уравнений: Как мы видим, с помощью метода Гаусса можно реш
Описание слайда:

Вернёмся к системе уравнений: Как мы видим, с помощью метода Гаусса можно решить любую систему, содержащую любое число линейных уравнений с любым числом неизвестных. Это один из самых эффективных методов решения систем линейных уравнений.

52 слайд Занятие 7 Решение систем линейных уравнений методом Крамера
Описание слайда:

Занятие 7 Решение систем линейных уравнений методом Крамера

53 слайд Пусть дана система: Составим матрицу А из коэффициентов при неизвестных
Описание слайда:

Пусть дана система: Составим матрицу А из коэффициентов при неизвестных

54 слайд Найдём определитель det A= Правило Крамера. Если m=n и det A≠0, то система со
Описание слайда:

Найдём определитель det A= Правило Крамера. Если m=n и det A≠0, то система совместна и имеет единственное решение где det Ai – определитель, полученный из det A заменой i-ого столбца столбцом свободных членов.

55 слайд Решение системы линейных уравнений : Находим определитель системы . Вычисляем
Описание слайда:

Решение системы линейных уравнений : Находим определитель системы . Вычисляем определители х1, x2, … Возможны три случая: Если ≠0, то система имеет единственное решение: Если =0, но хотя бы один из определителей хi не равен нулю, то система не имеет решений. Если =0, х1=0, х2=0, …, хn=0, то система имеет бесконечное множество решений.

56 слайд Пример 1. Решить систему: Решение:
Описание слайда:

Пример 1. Решить систему: Решение:

57 слайд Пример 2. Решить систему: Решение:
Описание слайда:

Пример 2. Решить систему: Решение:

58 слайд Находим: х1, х2, х3.
Описание слайда:

Находим: х1, х2, х3.

59 слайд Применяем формулы Крамера: х1=1; х2=2; х3=-2
Описание слайда:

Применяем формулы Крамера: х1=1; х2=2; х3=-2

60 слайд Занятие 9 РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ
Описание слайда:

Занятие 9 РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ

61 слайд Дана система: Матричная запись системы линейных уравнений имеет вид: АХ=В Отс
Описание слайда:

Дана система: Матричная запись системы линейных уравнений имеет вид: АХ=В Отсюда: Х= , где матрица, обратная матрице А.

62 слайд Пример 12. Решить с помощью обратной матрицы систему уравнений: Решение: Нахо
Описание слайда:

Пример 12. Решить с помощью обратной матрицы систему уравнений: Решение: Находим определитель Если = 0, то система не имела бы решения.

63 слайд Вычислим алгебраические дополнения для элементов каждой строки.
Описание слайда:

Вычислим алгебраические дополнения для элементов каждой строки.

64 слайд Составляем обратную матрицу: Отсюда:
Описание слайда:

Составляем обратную матрицу: Отсюда:

Курс профессиональной переподготовки
Учитель математики
Найдите материал к любому уроку,
указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
также Вы можете выбрать тип материала:
Краткое описание документа:

В данной презентации представлено решение систем трех линейных уравнений с тремя неизвестными различными  способами: методом Гаусса, с помощью формул Крамера, с помощью обратной матрицы.

В начале презентации показано, что такое матрица, действия над матрицами, свойства действий над матрицами. Затем рассматривается определитель, способы их вычислений. Решение систем изложено подробно. Материал представлен в виде занятий. Также дается небольшая историческая справка по данной теме. Всего 64 слайда.

Презентация будет полезна начинающим студентам, преподавателям при изучении данной темы. Этот материал представляет интерес и для школьников, увлекающихся математикой.

Общая информация
ВНИМАНИЮ УЧИТЕЛЕЙ: хотите организовать и вести кружок по ментальной арифметике в своей школе? Спрос на данную методику постоянно растёт, а Вам для её освоения достаточно будет пройти один курс повышения квалификации (72 часа) прямо в Вашем личном кабинете на сайте "Инфоурок".

Пройдя курс Вы получите:
- Удостоверение о повышении квалификации;
- Подробный план уроков (150 стр.);
- Задачник для обучающихся (83 стр.);
- Вводную тетрадь «Знакомство со счетами и правилами»;
- БЕСПЛАТНЫЙ доступ к CRM-системе, Личному кабинету для проведения занятий;
- Возможность дополнительного источника дохода (до 60.000 руб. в месяц)!

Пройдите дистанционный курс «Ментальная арифметика» на проекте "Инфоурок"!

Подать заявку
IV Международный дистанционный конкурс «Старт» Для дошкольников и учеников 1-11 классов Рекордно низкий оргвзнос 25 Р. 16 предметов ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.