Презентация "Решение системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными"

Описание презентации по отдельным слайдам:

• 

  1 слайд

  Занятие 1.
  
  Матрицы
  Виды матриц
  Действия над ними
  

• 

  2 слайд

  Немного истории
  Ценность научного творчества безгранична. Для общего прогресса человечества наиболее ценным является творчество, устанавливающее новые пути, по которым идут исследователи.
  К числу учёных новаторов принадлежит гениальный немецкий математик Карл Фридрих Гаусс. Основная черта научных работ Гаусса – это их исключительная разносторонность. Гаусс также считался одним из создателей неэвклидовой геометрии.
  

• 

  3 слайд

  Он занимался высшей алгеброй, теорией чисел, дифференциальной геометрией, теорией вероятности, теорией электричества и магнетизма, вопросами капиллярности, геодезией и астрономией. Во всех этих областях Гаусс сделал оригинальные открытия.
  Габриель Крамер – швейцарский математик. Установив и опубликовав в 1705 году правило решения систем линейных уравнений с буквенными коэффициентами, он внёс значительный вклад в развитие алгебры.
  

• 

  4 слайд

  
  
  Матрицей размеров m x n называется система m n чисел (элементов матрицы), расположенных в прямоугольной таблице из m строк и n столбцов. Если m=n, матрицу называют квадратной матрицей порядка n.
  

• 

  5 слайд

  
  Обозначения:
  

• 

  6 слайд

  Виды матриц
  Нулевая матрица
  
  
  0 =
  

• 

  7 слайд

  Матрица, противоположная матрице А
  
  -А =
  Трапециевидная (ступенчатая) матрица
  

• 

  8 слайд

  Матрица-строка:
  
  Матрица-столбец:
  Верхняя треугольная матрица:
  

• 

  9 слайд

  Нижняя треугольная
  матрица
  
  
  Диагональная матрица
  

• 

  10 слайд

  Единичная матрица
  
  Е =
  Если все действительные, то матрица А
  называется действительной; если хотя бы
  одно из чисел комплексное, то матрица
  называется комплексной.
  
  

• 

  11 слайд

  Действия над матрицами
  Суммой матриц А = ( ) и В = ( ) одинаковых размеров называется матрица С = ( ) тех размеров, у которой = + , для любых i, j.
  
  C = A + B
  

• 

  12 слайд

  Свойства сложения матриц:
  A +B = B + A
  (A +B) +C = A + (B + C)
  A + 0 = A
  A + (-A) = 0, для любых А, В, С одинаковых размеров.
  

• 

  13 слайд

  Пример 1: Найти сумму матриц: С = А + В
  
  А =
  В =
  С =
  

• 

  14 слайд

  Чтобы вычесть из матрицы А матрицу В, нужно к матрице А прибавить матрицу, противоположную матрице В.
  А – В = А + (-В)
  Найти разность матриц А – В
  
  А = В =
  Решение: С = А – В
  

• 

  15 слайд

  
  
  А = - В =
  
  
  С =
  

• 

  16 слайд

  Произведением матрицы А = (aij) на число k называется матрица С = (cij) тех же размеров, у которой cij = k · aij для любых i,j. C = k · A
  Пример 3: Дана матрица
  А =
  
  Тогда 2А =
  

• 

  17 слайд

  Свойства умножения матрицы на число:
  1)
  2)
  3)
  4)
  для любых А,В одинаковых размеров, любых α, β
  R
  

• 

  18 слайд

  Произведением матрицы А = ( ) размеров mхn на матрицу В = ( ) размеров nхp называется матрица С = (cij) размеров mхp,
  = a i1 b 1j + a i2 b 2 j + … + a in b n j .
  C = AB
  Свойства умножения матриц:
  AE = EA = A
  A0 = 0A = 0
  (AB)D = A(BD)
  (A + B)D = AD + BD
  D(A + B) = DA + DB (при условии, что все указанные операции имеют смысл). Для квадратных матриц АВ≠ВА
  

• 

  19 слайд

  Даны матрицы:
  
  А = и В =
  
  С = АВ
  
  С = С =
  
  
  

• 

  20 слайд

  Транспонирование матриц.
  
  А=
  Ат =
  – транспонированная матрица.
  

• 

  21 слайд

  Свойства транспонирования
  
  1.
  
  2.
  
  3.
  
  4.
  

• 

  22 слайд

  Обратная матрица.
  Матрица называется обратной для матрицы А, если
  
  
  A = A = E
  
  
  
  
  

• 

  23 слайд

  Aij – алгебраические дополнения элементов aij матрицы А.
  Свойства обратной матрицы:
  1.
  
  2.
  
  3.
  

• 

  24 слайд

  Ранг матрицы
  
  Ранг матрицы – наивысший порядок отличных от нуля её миноров.
  
  Обозначение: rank A
  

• 

  25 слайд

  Занятие 3.
  
  Определители
  Миноры
  Алгебраические дополнения
  
  

• 

  26 слайд

  Определители
  Обозначение: (детерминант).
  Они существуют у квадратных матриц.
  
  Определение 1. Определителем второго порядка
  называется выражение
  

• 

  27 слайд

  Определителем третьего порядка
  называется выражение
  

• 

  28 слайд

  Способы вычисления определителя третьего порядка
  
  
  =
  
  где
  - элементы определителя,
  - миноры элементов а1, b1, c1
  

• 

  29 слайд

  Минором Мij какого – либо элемента aij определителя порядка n называется определитель порядка n – 1, полученный из вычерчиванием i– й строки и j – го столбца. Это первый способ.
  

• 

  30 слайд

  Второй способ. Определитель III порядка можно найти по схеме:
  + -
  

• 

  31 слайд

  Третий способ.
  + + +
  
  
  - - -
  
  =
  

• 

  32 слайд

  Алгебраическое дополнение
  Алгебраическим дополнением элемента аij определителя называется определитель , где Мy – минор элемента aij.
  
  Для нахождения определителя III порядка можно использовать две теоремы.
  

• 

  33 слайд

  Теорема 1.Определитель равен сумме произведений элементов какой – либо строки на их алгебраические дополнения
  
  
  

• 

  34 слайд

  Теорема 2. Определитель равен сумме произведений элементов какого – либо столбца на их алгебраические допол-нения.
  
  
  

• 

  35 слайд

  Пример 5: Найти определитель:
  
  
  

• 

  36 слайд

  Определителем четвёртого порядка
  
  называется
  
  
  
  выражение где A1, B1, C1, D1 - алгебраические дополнения элементов a1, b1, c1, d1.
  
  

• 

  37 слайд

  Занятие 5.
  
  
  РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ
  ГАУССА.
  

• 

  38 слайд

  Метод Гаусса – метод последовательного исключения переменных.
  Пусть задана система:
  
  
  

• 

  39 слайд

  
  1. Составим расширенную матрицу.
  2. С помощью элементарных преобразований строк расширенную матрицу приведём к треугольному (ступенчатому) виду.
  3. Вернувшись к системе уравнений, находим неизвестные.
  Элементарными преобразованиями матрицы называют:
  Умножение какой-нибудь строки (столбца) на отличное от нуля число.
  Прибавление к какой-нибудь строке (столбцу) другой её строки (столбца), умножение на любое число, отличное от нуля.
  Перестановку местами любых двух строк.
  

• 

  40 слайд

  Пример 6. Решить систему уравнений методом Гаусса:
  
  
  
  

• 

  41 слайд

  Составим расширенную матрицу и приведём её к треугольному виду с помощью элементарных преобразований.
  

• 

  42 слайд

  Получаем:
  Вернёмся к системе уравнений
  Ответ: х1=1; х2=2; х3=-2
  
  

• 

  43 слайд

  Метод Гаусса применим к любой системе линейных уравнений. При этом система будет несовместной, т.е. не иметь решения, если после преобразований мы получим уравнение, в котором коэффициенты при всех неизвестных равны нулю, а свободный член отличен от нуля.
  Пример 7. Решить систему:
  

• 

  44 слайд

  Решение: Составим расширенную матрицу и преобразуем её.
  

• 

  45 слайд

  Получаем:
  Мы видим, что последнее уравнение будет 0 = 2. Значит, заданная система
  будет несовместной, т.е. не иметь решения. Совместная система будет неопределённой, (то есть иметь решений больше, чем одно), если после преоб-разований матрица приводится к трапе-циевидному виду.
  
  

• 

  46 слайд

  Пример 8. Решить систему:
  Решение: Составим расширенную матрицу и преобразуем её.
  
  

• 

  47 слайд

  Получаем:
  Вернёмся к системе уравнений.
  

• 

  48 слайд

  
  
  В итоге имеем:
  

• 

  49 слайд

  Рассмотрим случай, когда заданная система состоит из линейных однородных уравнений, то есть уравнений, свободные члены которых равны нулю. Такая система всегда совместна, так как обладает нулевым решением (0; 0; …; 0). Если в системе линейных однородных уравнений число уравнений меньше числа неизвестных, то эта система обладает, помимо нулевого решения, также и ненулевыми решениями. Таких решений будет бесконечно много.
  Пример 9. решить систему:
  

• 

  50 слайд

  Решение:
  Эта система однородных уравнений; причём число уравнений меньше числа неизвестных (3<4), поэтому данная система будет неопределённой.
  Составим матрицу из коэффициентов (так как свободные члены равны нулю) и преобразуем её.
  

• 

  51 слайд

  Вернёмся к системе уравнений:
  Как мы видим, с помощью метода Гаусса можно решить любую систему, содержащую любое число линейных уравнений с любым числом неизвестных. Это один из самых эффективных методов решения систем линейных уравнений.
  

• 

  52 слайд

  Занятие 7
  
  
  Решение систем линейных уравнений
  методом Крамера
  

• 

  53 слайд

  Пусть дана система:
  Составим матрицу А из коэффициентов при неизвестных
  

• 

  54 слайд

  Найдём определитель
  
  det A=
  Правило Крамера. Если m=n и det A≠0, то система совместна и имеет единственное решение
  где det Ai – определитель, полученный из det A заменой i-ого столбца столбцом свободных членов.
  

• 

  55 слайд

  Решение системы линейных уравнений :
  Находим определитель системы .
  Вычисляем определители х1, x2, …
  Возможны три случая:
  Если ≠0, то система имеет
  
  единственное решение:
  Если =0, но хотя бы один из определителей хi не равен нулю, то система не имеет решений.
  Если =0, х1=0, х2=0, …, хn=0, то система имеет бесконечное множество решений.
  

• 

  56 слайд

  Пример 1. Решить систему:
  Решение:
  

• 

  57 слайд

  Пример 2. Решить систему:
  Решение:
  

• 

  58 слайд

  Находим: х1, х2, х3.
  

• 

  59 слайд

  Применяем формулы Крамера:
  х1=1; х2=2; х3=-2
  

• 

  60 слайд

  Занятие 9
  
  
  РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ
  

• 

  61 слайд

  Дана система:
  Матричная запись системы линейных уравнений имеет вид: АХ=В Отсюда: Х= , где матрица, обратная матрице А.
  

• 

  62 слайд

  Пример 12. Решить с помощью обратной матрицы систему уравнений:
  Решение:
  Находим определитель
  Если
  = 0, то система не имела бы решения.
  

• 

  63 слайд

  Вычислим алгебраические дополнения для элементов каждой строки.
  

• 

  64 слайд

  Составляем обратную матрицу:
  
  Отсюда: