Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Презентации / Презентация "Решение системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

Презентация "Решение системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными"

библиотека
материалов
Занятие 1. Матрицы Виды матриц Действия над ними
Немного истории Ценность научного творчества безгранична. Для общего прогресс...
Он занимался высшей алгеброй, теорией чисел, дифференциальной геометрией, те...
Матрицей размеров m x n называется система m n чисел (элементов матрицы), ра...
 Обозначения:
Виды матриц Нулевая матрица 0 =
 Матрица, противоположная матрице А -А = Трапециевидная (ступенчатая) матрица
 Матрица-строка: Матрица-столбец: Верхняя треугольная матрица:
 Нижняя треугольная матрица Диагональная матрица
Единичная матрица Е = Если все действительные, то матрица А называется дейст...
Действия над матрицами Суммой матриц А = ( ) и В = ( ) одинаковых размеров на...
Свойства сложения матриц: A +B = B + A (A +B) +C = A + (B + C) A + 0 = A A +...
Пример 1: Найти сумму матриц: С = А + В А = В = С =
Чтобы вычесть из матрицы А матрицу В, нужно к матрице А прибавить матрицу, пр...
 А = - В = С =
Произведением матрицы А = (aij) на число k называется матрица С = (cij) тех ж...
Свойства умножения матрицы на число: 1) 2) 3) 4) для любых А,В одинаковых раз...
Произведением матрицы А = ( ) размеров mхn на матрицу В = ( ) размеров nхp на...
 Даны матрицы: А = и В = С = АВ С = С =
Транспонирование матриц. А= Ат = – транспонированная матрица.
Свойства транспонирования 1. 2. 3. 4.
Обратная матрица. Матрица называется обратной для матрицы А, если A = A = E
Aij – алгебраические дополнения элементов aij матрицы А. Свойства обратной ма...
Ранг матрицы Ранг матрицы – наивысший порядок отличных от нуля её миноров. Об...
Занятие 3. Определители Миноры Алгебраические дополнения
Определители Обозначение: (детерминант). Они существуют у квадратных матриц....
Определителем третьего порядка называется выражение
Способы вычисления определителя третьего порядка = где - элементы определител...
Минором Мij какого – либо элемента aij определителя порядка n называется опр...
Второй способ. Определитель III порядка можно найти по схеме: + -
Третий способ. + + + - - - =
Алгебраическое дополнение Алгебраическим дополнением элемента аij определител...
Теорема 1.Определитель равен сумме произведений элементов какой – либо строки...
Теорема 2. Определитель равен сумме произведений элементов какого – либо стол...
Пример 5: Найти определитель:
Определителем четвёртого порядка называется выражение где A1, B1, C1, D1 - ал...
Занятие 5. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ГАУССА.
Метод Гаусса – метод последовательного исключения переменных. Пусть задана си...
1. Составим расширенную матрицу. 2. С помощью элементарных преобразований ст...
Пример 6. Решить систему уравнений методом Гаусса:
Составим расширенную матрицу и приведём её к треугольному виду с помощью элем...
Получаем: Вернёмся к системе уравнений Ответ: х1=1; х2=2; х3=-2
Метод Гаусса применим к любой системе линейных уравнений. При этом система...
Решение: Составим расширенную матрицу и преобразуем её.
Получаем: 	Мы видим, что последнее уравнение будет 0 = 2. Значит, заданная си...
Пример 8. Решить систему: Решение: Составим расширенную матрицу и преобразуем...
Получаем: Вернёмся к системе уравнений.
 В итоге имеем:
Рассмотрим случай, когда заданная система состоит из линейных однородных ур...
Решение: 	Эта система однородных уравнений; причём число уравнений меньше чис...
Вернёмся к системе уравнений: Как мы видим, с помощью метода Гаусса можно реш...
Занятие 7 Решение систем линейных уравнений методом Крамера
Пусть дана система: Составим матрицу А из коэффициентов при неизвестных
Найдём определитель det A= Правило Крамера. Если m=n и det A≠0, то система со...
Решение системы линейных уравнений : Находим определитель системы . Вычисляем...
Пример 1. Решить систему: Решение:
Пример 2. Решить систему: Решение:
Находим: х1, х2, х3.
Применяем формулы Крамера: х1=1; х2=2; х3=-2
Занятие 9 РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ
Дана система: Матричная запись системы линейных уравнений имеет вид: АХ=В Отс...
Пример 12. Решить с помощью обратной матрицы систему уравнений: Решение: Нахо...
Вычислим алгебраические дополнения для элементов каждой строки.
Составляем обратную матрицу: Отсюда:
64 1

"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Занятие 1. Матрицы Виды матриц Действия над ними
Описание слайда:

Занятие 1. Матрицы Виды матриц Действия над ними

№ слайда 2 Немного истории Ценность научного творчества безгранична. Для общего прогресс
Описание слайда:

Немного истории Ценность научного творчества безгранична. Для общего прогресса человечества наиболее ценным является творчество, устанавливающее новые пути, по которым идут исследователи. К числу учёных новаторов принадлежит гениальный немецкий математик Карл Фридрих Гаусс. Основная черта научных работ Гаусса – это их исключительная разносторонность. Гаусс также считался одним из создателей неэвклидовой геометрии.

№ слайда 3 Он занимался высшей алгеброй, теорией чисел, дифференциальной геометрией, те
Описание слайда:

Он занимался высшей алгеброй, теорией чисел, дифференциальной геометрией, теорией вероятности, теорией электричества и магнетизма, вопросами капиллярности, геодезией и астрономией. Во всех этих областях Гаусс сделал оригинальные открытия. Габриель Крамер – швейцарский математик. Установив и опубликовав в 1705 году правило решения систем линейных уравнений с буквенными коэффициентами, он внёс значительный вклад в развитие алгебры.

№ слайда 4 Матрицей размеров m x n называется система m n чисел (элементов матрицы), ра
Описание слайда:

Матрицей размеров m x n называется система m n чисел (элементов матрицы), расположенных в прямоугольной таблице из m строк и n столбцов. Если m=n, матрицу называют квадратной матрицей порядка n.

№ слайда 5  Обозначения:
Описание слайда:

Обозначения:

№ слайда 6 Виды матриц Нулевая матрица 0 =
Описание слайда:

Виды матриц Нулевая матрица 0 =

№ слайда 7  Матрица, противоположная матрице А -А = Трапециевидная (ступенчатая) матрица
Описание слайда:

Матрица, противоположная матрице А -А = Трапециевидная (ступенчатая) матрица

№ слайда 8  Матрица-строка: Матрица-столбец: Верхняя треугольная матрица:
Описание слайда:

Матрица-строка: Матрица-столбец: Верхняя треугольная матрица:

№ слайда 9  Нижняя треугольная матрица Диагональная матрица
Описание слайда:

Нижняя треугольная матрица Диагональная матрица

№ слайда 10 Единичная матрица Е = Если все действительные, то матрица А называется дейст
Описание слайда:

Единичная матрица Е = Если все действительные, то матрица А называется действительной; если хотя бы одно из чисел комплексное, то матрица называется комплексной.

№ слайда 11 Действия над матрицами Суммой матриц А = ( ) и В = ( ) одинаковых размеров на
Описание слайда:

Действия над матрицами Суммой матриц А = ( ) и В = ( ) одинаковых размеров называется матрица С = ( ) тех размеров, у которой = + , для любых i, j. C = A + B

№ слайда 12 Свойства сложения матриц: A +B = B + A (A +B) +C = A + (B + C) A + 0 = A A +
Описание слайда:

Свойства сложения матриц: A +B = B + A (A +B) +C = A + (B + C) A + 0 = A A + (-A) = 0, для любых А, В, С одинаковых размеров.

№ слайда 13 Пример 1: Найти сумму матриц: С = А + В А = В = С =
Описание слайда:

Пример 1: Найти сумму матриц: С = А + В А = В = С =

№ слайда 14 Чтобы вычесть из матрицы А матрицу В, нужно к матрице А прибавить матрицу, пр
Описание слайда:

Чтобы вычесть из матрицы А матрицу В, нужно к матрице А прибавить матрицу, противоположную матрице В. А – В = А + (-В) Найти разность матриц А – В А = В = Решение: С = А – В

№ слайда 15  А = - В = С =
Описание слайда:

А = - В = С =

№ слайда 16 Произведением матрицы А = (aij) на число k называется матрица С = (cij) тех ж
Описание слайда:

Произведением матрицы А = (aij) на число k называется матрица С = (cij) тех же размеров, у которой cij = k · aij для любых i,j. C = k · A Пример 3: Дана матрица А = Тогда 2А =

№ слайда 17 Свойства умножения матрицы на число: 1) 2) 3) 4) для любых А,В одинаковых раз
Описание слайда:

Свойства умножения матрицы на число: 1) 2) 3) 4) для любых А,В одинаковых размеров, любых α, β R

№ слайда 18 Произведением матрицы А = ( ) размеров mхn на матрицу В = ( ) размеров nхp на
Описание слайда:

Произведением матрицы А = ( ) размеров mхn на матрицу В = ( ) размеров nхp называется матрица С = (cij) размеров mхp, = a i1 b 1j + a i2 b 2 j + … + a in b n j . C = AB Свойства умножения матриц: AE = EA = A A0 = 0A = 0 (AB)D = A(BD) (A + B)D = AD + BD D(A + B) = DA + DB (при условии, что все указанные операции имеют смысл). Для квадратных матриц АВ≠ВА

№ слайда 19  Даны матрицы: А = и В = С = АВ С = С =
Описание слайда:

Даны матрицы: А = и В = С = АВ С = С =

№ слайда 20 Транспонирование матриц. А= Ат = – транспонированная матрица.
Описание слайда:

Транспонирование матриц. А= Ат = – транспонированная матрица.

№ слайда 21 Свойства транспонирования 1. 2. 3. 4.
Описание слайда:

Свойства транспонирования 1. 2. 3. 4.

№ слайда 22 Обратная матрица. Матрица называется обратной для матрицы А, если A = A = E
Описание слайда:

Обратная матрица. Матрица называется обратной для матрицы А, если A = A = E

№ слайда 23 Aij – алгебраические дополнения элементов aij матрицы А. Свойства обратной ма
Описание слайда:

Aij – алгебраические дополнения элементов aij матрицы А. Свойства обратной матрицы: 1. 2. 3.

№ слайда 24 Ранг матрицы Ранг матрицы – наивысший порядок отличных от нуля её миноров. Об
Описание слайда:

Ранг матрицы Ранг матрицы – наивысший порядок отличных от нуля её миноров. Обозначение: rank A

№ слайда 25 Занятие 3. Определители Миноры Алгебраические дополнения
Описание слайда:

Занятие 3. Определители Миноры Алгебраические дополнения

№ слайда 26 Определители Обозначение: (детерминант). Они существуют у квадратных матриц.
Описание слайда:

Определители Обозначение: (детерминант). Они существуют у квадратных матриц. Определение 1. Определителем второго порядка называется выражение

№ слайда 27 Определителем третьего порядка называется выражение
Описание слайда:

Определителем третьего порядка называется выражение

№ слайда 28 Способы вычисления определителя третьего порядка = где - элементы определител
Описание слайда:

Способы вычисления определителя третьего порядка = где - элементы определителя, - миноры элементов а1, b1, c1

№ слайда 29 Минором Мij какого – либо элемента aij определителя порядка n называется опр
Описание слайда:

Минором Мij какого – либо элемента aij определителя порядка n называется определитель порядка n – 1, полученный из вычерчиванием i– й строки и j – го столбца. Это первый способ.

№ слайда 30 Второй способ. Определитель III порядка можно найти по схеме: + -
Описание слайда:

Второй способ. Определитель III порядка можно найти по схеме: + -

№ слайда 31 Третий способ. + + + - - - =
Описание слайда:

Третий способ. + + + - - - =

№ слайда 32 Алгебраическое дополнение Алгебраическим дополнением элемента аij определител
Описание слайда:

Алгебраическое дополнение Алгебраическим дополнением элемента аij определителя называется определитель , где Мy – минор элемента aij. Для нахождения определителя III порядка можно использовать две теоремы.

№ слайда 33 Теорема 1.Определитель равен сумме произведений элементов какой – либо строки
Описание слайда:

Теорема 1.Определитель равен сумме произведений элементов какой – либо строки на их алгебраические дополнения

№ слайда 34 Теорема 2. Определитель равен сумме произведений элементов какого – либо стол
Описание слайда:

Теорема 2. Определитель равен сумме произведений элементов какого – либо столбца на их алгебраические допол-нения.

№ слайда 35 Пример 5: Найти определитель:
Описание слайда:

Пример 5: Найти определитель:

№ слайда 36 Определителем четвёртого порядка называется выражение где A1, B1, C1, D1 - ал
Описание слайда:

Определителем четвёртого порядка называется выражение где A1, B1, C1, D1 - алгебраические дополнения элементов a1, b1, c1, d1.

№ слайда 37 Занятие 5. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ГАУССА.
Описание слайда:

Занятие 5. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ГАУССА.

№ слайда 38 Метод Гаусса – метод последовательного исключения переменных. Пусть задана си
Описание слайда:

Метод Гаусса – метод последовательного исключения переменных. Пусть задана система:

№ слайда 39 1. Составим расширенную матрицу. 2. С помощью элементарных преобразований ст
Описание слайда:

1. Составим расширенную матрицу. 2. С помощью элементарных преобразований строк расширенную матрицу приведём к треугольному (ступенчатому) виду. 3. Вернувшись к системе уравнений, находим неизвестные. Элементарными преобразованиями матрицы называют: Умножение какой-нибудь строки (столбца) на отличное от нуля число. Прибавление к какой-нибудь строке (столбцу) другой её строки (столбца), умножение на любое число, отличное от нуля. Перестановку местами любых двух строк.

№ слайда 40 Пример 6. Решить систему уравнений методом Гаусса:
Описание слайда:

Пример 6. Решить систему уравнений методом Гаусса:

№ слайда 41 Составим расширенную матрицу и приведём её к треугольному виду с помощью элем
Описание слайда:

Составим расширенную матрицу и приведём её к треугольному виду с помощью элементарных преобразований.

№ слайда 42 Получаем: Вернёмся к системе уравнений Ответ: х1=1; х2=2; х3=-2
Описание слайда:

Получаем: Вернёмся к системе уравнений Ответ: х1=1; х2=2; х3=-2

№ слайда 43 Метод Гаусса применим к любой системе линейных уравнений. При этом система
Описание слайда:

Метод Гаусса применим к любой системе линейных уравнений. При этом система будет несовместной, т.е. не иметь решения, если после преобразований мы получим уравнение, в котором коэффициенты при всех неизвестных равны нулю, а свободный член отличен от нуля. Пример 7. Решить систему:

№ слайда 44 Решение: Составим расширенную матрицу и преобразуем её.
Описание слайда:

Решение: Составим расширенную матрицу и преобразуем её.

№ слайда 45 Получаем: 	Мы видим, что последнее уравнение будет 0 = 2. Значит, заданная си
Описание слайда:

Получаем: Мы видим, что последнее уравнение будет 0 = 2. Значит, заданная система будет несовместной, т.е. не иметь решения. Совместная система будет неопределённой, (то есть иметь решений больше, чем одно), если после преоб-разований матрица приводится к трапе-циевидному виду.

№ слайда 46 Пример 8. Решить систему: Решение: Составим расширенную матрицу и преобразуем
Описание слайда:

Пример 8. Решить систему: Решение: Составим расширенную матрицу и преобразуем её.

№ слайда 47 Получаем: Вернёмся к системе уравнений.
Описание слайда:

Получаем: Вернёмся к системе уравнений.

№ слайда 48  В итоге имеем:
Описание слайда:

В итоге имеем:

№ слайда 49 Рассмотрим случай, когда заданная система состоит из линейных однородных ур
Описание слайда:

Рассмотрим случай, когда заданная система состоит из линейных однородных уравнений, то есть уравнений, свободные члены которых равны нулю. Такая система всегда совместна, так как обладает нулевым решением (0; 0; …; 0). Если в системе линейных однородных уравнений число уравнений меньше числа неизвестных, то эта система обладает, помимо нулевого решения, также и ненулевыми решениями. Таких решений будет бесконечно много. Пример 9. решить систему:

№ слайда 50 Решение: 	Эта система однородных уравнений; причём число уравнений меньше чис
Описание слайда:

Решение: Эта система однородных уравнений; причём число уравнений меньше числа неизвестных (3<4), поэтому данная система будет неопределённой. Составим матрицу из коэффициентов (так как свободные члены равны нулю) и преобразуем её.

№ слайда 51 Вернёмся к системе уравнений: Как мы видим, с помощью метода Гаусса можно реш
Описание слайда:

Вернёмся к системе уравнений: Как мы видим, с помощью метода Гаусса можно решить любую систему, содержащую любое число линейных уравнений с любым числом неизвестных. Это один из самых эффективных методов решения систем линейных уравнений.

№ слайда 52 Занятие 7 Решение систем линейных уравнений методом Крамера
Описание слайда:

Занятие 7 Решение систем линейных уравнений методом Крамера

№ слайда 53 Пусть дана система: Составим матрицу А из коэффициентов при неизвестных
Описание слайда:

Пусть дана система: Составим матрицу А из коэффициентов при неизвестных

№ слайда 54 Найдём определитель det A= Правило Крамера. Если m=n и det A≠0, то система со
Описание слайда:

Найдём определитель det A= Правило Крамера. Если m=n и det A≠0, то система совместна и имеет единственное решение где det Ai – определитель, полученный из det A заменой i-ого столбца столбцом свободных членов.

№ слайда 55 Решение системы линейных уравнений : Находим определитель системы . Вычисляем
Описание слайда:

Решение системы линейных уравнений : Находим определитель системы . Вычисляем определители х1, x2, … Возможны три случая: Если ≠0, то система имеет единственное решение: Если =0, но хотя бы один из определителей хi не равен нулю, то система не имеет решений. Если =0, х1=0, х2=0, …, хn=0, то система имеет бесконечное множество решений.

№ слайда 56 Пример 1. Решить систему: Решение:
Описание слайда:

Пример 1. Решить систему: Решение:

№ слайда 57 Пример 2. Решить систему: Решение:
Описание слайда:

Пример 2. Решить систему: Решение:

№ слайда 58 Находим: х1, х2, х3.
Описание слайда:

Находим: х1, х2, х3.

№ слайда 59 Применяем формулы Крамера: х1=1; х2=2; х3=-2
Описание слайда:

Применяем формулы Крамера: х1=1; х2=2; х3=-2

№ слайда 60 Занятие 9 РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ
Описание слайда:

Занятие 9 РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ

№ слайда 61 Дана система: Матричная запись системы линейных уравнений имеет вид: АХ=В Отс
Описание слайда:

Дана система: Матричная запись системы линейных уравнений имеет вид: АХ=В Отсюда: Х= , где матрица, обратная матрице А.

№ слайда 62 Пример 12. Решить с помощью обратной матрицы систему уравнений: Решение: Нахо
Описание слайда:

Пример 12. Решить с помощью обратной матрицы систему уравнений: Решение: Находим определитель Если = 0, то система не имела бы решения.

№ слайда 63 Вычислим алгебраические дополнения для элементов каждой строки.
Описание слайда:

Вычислим алгебраические дополнения для элементов каждой строки.

№ слайда 64 Составляем обратную матрицу: Отсюда:
Описание слайда:

Составляем обратную матрицу: Отсюда:

Краткое описание документа:

В данной презентации представлено решение систем трех линейных уравнений с тремя неизвестными различными  способами: методом Гаусса, с помощью формул Крамера, с помощью обратной матрицы.

В начале презентации показано, что такое матрица, действия над матрицами, свойства действий над матрицами. Затем рассматривается определитель, способы их вычислений. Решение систем изложено подробно. Материал представлен в виде занятий. Также дается небольшая историческая справка по данной теме. Всего 64 слайда.

Презентация будет полезна начинающим студентам, преподавателям при изучении данной темы. Этот материал представляет интерес и для школьников, увлекающихся математикой.

Автор
Дата добавления 30.11.2014
Раздел Математика
Подраздел Презентации
Просмотров411
Номер материала 164240
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх