Применение производной к исследованию и построению графиков функций

• 1 слайд

  Применение производной к исследованию и построению графиков функций
  

• 2 слайд

  Цель
  научиться применять таблицу производных при исследовании функций и построении графиков
  х
  у
  х
  у
  

• 3 слайд

  Основные задачи
  Одной из основных задач, возникающих при исследовании функции, является нахождение промежутков монотонности функции (промежутков возрастания и убывания). Такой анализ легко сделать с помощью производной.
  

• 4 слайд

  Функция y=f(x) называется возрастающей в некотором интервале, если в точках этого интервала большему значению аргумента соответствует большее значение функции, и убывающей, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
  

• 5 слайд

  возрастающая
  убывающая
  убывающая
  убывающая
  возрастающая
  возрастающая и убывающая
  на интервалах
  возрастающая и убывающая
  на интервалах
  возрастающая и убывающая
  на интервалах
  

• 6 слайд

  Если производная функции y=f(x) положительна (отрицательна) на некотором интервале, то функция в этом интервале монотонно возрастает (монотонно убывает).
  

• 7 слайд

  Находим область определения функции f(x).
  Вычисляем производную f’(x) данной функции.
  Находим точки, в которых f’(x)=0 или не существует. Эти точки называются критическими для функции f(x).
  Делим область определения функции этими точками на интервалы. Они являются интервалами монотонности.
  Исследуем знак f’(x) на каждом интервале. Если f’(x)›0, то на этом интервале f(x) возрастает; если f’(x)‹0, то на таком интервале функция f(x) убывает.
  Правило нахождения интервалов
  монотонности
  

• 8 слайд

  Точку x=x0 называют точкой минимума функции y=f(x), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство f(x)≥f(x0).
  Точку x=x0 называют точкой максимума функции y=f(x), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство f(x)≤f(x0).
  
  

• 9 слайд

  Если производная f’(x) при переходе через точку x0 меняет знак, то точка x0 является точкой экстремума функции f(x).
  Если производная меняет знак с + на –, то точка будет являться точкой максимума, если с – на +, то точка будет точкой минимума
  

• 10 слайд

  Область определения: R. Функция непрерывна.
  Вычисляем производную : y’=6x²-6x-36.
  Находим критические точки: y’=0.
  x²-x-6=0
  Д=1-4*(-6)*1=1+24=25
  
  
  Делим область определения на интервалы:
  
  
  Функция возрастает при xϵ(-∞;-2]υ[3;+∞), функция убывает при xϵ[-2;3].
  Пример №1. Найти промежутки монотонности функции y=2x³-3x²-36x+5
  +
  +
  -
  -2
  3