Проценты в курсе алгебры

ВВЕДЕНИЕ

Краткое изучение темы «Проценты» в 5-6 классах не дает больших результатов. Учащиеся в силу возрастных особенностей еще не могут получить полноценное представление о процентах, об их роли в повседневной жизни. На последующих этапах обучения повторного обращения к этой теме не предусматривается. Поэтому задачи на проценты вызывают затруднения у учащихся и очень многие, окончившие школу, не имеют прочных навыков обращения с процентами в повседневной жизни. Кроме того, текстовые задачи на проценты включены в материалы ГИА за курс основной школы и в ЕГЭ, чем объясняется актуальность представленной к повторению и обобщению темы.

Цели:

- Изучение особенностей методики обучения решению задач на проценты;

- Познакомиться с историей возникновения процентов;

- Решать задачи на проценты разными способами;

- Способствовать развитию интереса и положительной мотивации к изучению математики.

Задачи:

- Проанализировать литературу по данной теме;

- Рассмотреть особенности решения задач на проценты в курсе 7-9 классов;

-Познакомиться с методикой работы по изучению данной темы при обучении учащихся математике

- Изучить теоретический материал по изучаемой теме;

- Рассмотреть особенности решения задач по данной теме в курсе 7-9 классов.

Раздел I. Теоретические основы изучения процентов в курсе алгебры  7-9 классов

1.1.          Сравнительный анализ представления темы проценты в курсе алгебры 7-9 классов

В школах Луганской Народной Республики работают по учебникам Ю.Н. Макарычева и других.

Методической литературы по данной теме достаточно много, не только учебников, но и сборников с задачами на проценты, как в издательствах старых годов, так и в современных издательствах.

Проценты начинают изучаться в 6 классах, а затем учащиеся сталкиваются с этой темой на протяжении 7-9 классов. Для изучения этого материала дети должны быть ознакомлены с таким понятием как сотая часть числа, приведение дробей к новому знаменателю, пропорции.

Каждый из авторов учебника интерпретируют данную тему по разному. Рассмотрим подачу материала в различных учебниках: [1],[2],[3]

Алгебра 7 класс
Ю.Н. Макарычев Н.Г. Миндюк	Г.К. Муравин К.С. Муравин	Г.В.Дорофеев И.Ф.Шарыгина
Тема, в которой встречаются проценты (количество часов)
Задачи повышенной трудности	Математическая модель текстовой задачи	Задачи на проценты
Последовательность вводимых понятий
-повторение курса 5-6 классов (6 часов)	-задачи на смеси и сплавы (4 часа)	-нахождение процента от величины -нахождение величины от процента (4 часа)
Основная цель
-повторить и закрепить навыки, полученные в 5-6 классах	Сформировать умение составлять математическую модель текстовой задачи, научить решать задачи на сплавы и части	Развитие вычислительных навыков при решении задач на проценты

Изучаемая тема проценты не рассматривается в курсе алгебры 8 класса. Эта тема присутствует лишь в спецшколах (с углубленным изучением математики).

Алгебра 9 класс
Ю.Н. Макарычев Н.Г. Миндюк	А.Г. Мерзляк В.Б. Полонский
Тема, в которой встречаются проценты (количество часов)
Повторение курса 7-9 классов (23 часа)(	Арифметическая и геометрическая последовательности
Последовательность вводимых понятий
Повторение курса 7-9 классов	Сложный процент
Цель
-вспомнить навыки работы с процентами	-Развитие познавательной деятельности

1.2.          Особенности решения задач на проценты в украинских и российских учебниках

В российских программах используются учебники Г.В. Дорофеева, Г.К. Муравина, Ю.Н. Макарычев.

В учебнике Г.В.Дорофеева «Алгебра 7 класс»[3] тема «Задачи на проценты» рассматривается в первой четверти 7 класса; продолжительностью 4 часа.

Автор данного учебника рассказывает о таком понятии как процент, а затем рассматривает задачи:

При решении задач на проценты нужно уметь свободно переходить от дробей к процентам и наоборот. Это совсем нетрудно, если помнить, что под процентом понимают  часть рассматриваемой величины.

Пусть, например, известно, что 0,48 смеси лекарственных трав составляет ромашка. Выразим эту величину в процентах.

Так как  часть смеси это 1% от всей смеси, а , то ромашка составляет  смеси трав.

Так же автор учебника акцентирует своё внимание на переводе процентов в десятичные дроби и наоборот:

1)Если часть величины, заданную десятичной дробью, надо выразить в процентах, то можно в этой дроби перенести запятую на два знака вправо  и к полученному числу приписать знак %.

Например

0,48 некоторой величины – это 48% этой величины;

0,325 некоторой величина- это 32,5% этой величины;

1,2 некоторой величины – это 120% этой величины.

Для обратного перехода – от процентов к десятичной дроби – запятую переносят в противоположном направлении:

Например:

48% некоторой величины – 0,48 этой величины;

32,5% некоторой велины – 0,325 этой величины;

120% некоторой величины – 1,2 этой величины.

Чтобы выразить в процентах часть величины, заданную обыкновенной дробью, нужно сначала эту дробь обратить в десятичную.

Например:

, т.е.  – это 37,5%;

, т.е.  это примерно 33%.

Полезно также помнить, как выражаются в процентах некоторые дроби. Рассмотрим несколько таких дробей (табл. 1):

10%	20%	25%	50%	75%

Табл. 1 Преобразование дробей в проценты

Данный учебник привлёк моё внимание тем, что автор напоминает детям те понятия, которые они изучали в 6 классе. Таким образом, это способствует лучшему усвоению материала.

Рассмотрим некоторые задачи из этого учебника, которые автор предлагает учащимся:

1)                По данным социологического исследования, проведенного в этом году, в городе Лукошино проживает 36 тыс. человек, 29% из них достигли пенсионного возраста, а 24% - дети и подростки дошкольного и школьного возраста. Сколько в городе взрослых жителей, не достигших пенсионного возраста?

РЕШЕНИЕ. Всё население города принимаем за 100%. Выясним, сколько процентов приходится на взрослых, не достигших пенсионного возраста:

Далее находим 47% от 36 тыс. Так как 47% - это 0,47 населения города, то 36000 нужно умножить на 0,47:

Таким образом, в городе Лукошкино живет примерно 17 тыс. взрослых, не достигших пенсионного возраста.

2)                Банк предлагает своим клиентам следующие условия вклада: деньги кладутся на счёт на 31 день, по истечению которых клиент получает доход, равный 7,5% от вложенной суммы. Какую сумму нужно положить на счёт, чтобы доход составил 1500р.?

1500 р. Составляют 7,5%, или иначе 0,075, от неизвестной суммы. И нам нужно решить знакомую задачу – найти целое по его части. Она решается делением:

Итак, на счёт необходимо положить 20000 р.

При решении данных задач, автор доступно и понятно объясняет ход решения задачи, опираясь на понятия, рассмотренные выше.

В учебнике «Алгебра 7 класс» Г.К. Муравина[2] автор затрагивает тему проценты при решении задач на сплавы, которая длится 4 часа.

Рассмотрим задачи, решение которых связано с понятиями «концентрация», «процентное содержание». В условиях таких задач речь идет, чаще всего, о сплавлении каких-либо металлов, растворении друг в друге различных веществ или переливании жидкостей, состоящих из нескольких компонентов. У многих учащихся эти задачи вызывают затруднения. Вероятно, это связано с тем, что таким задачам в школьном курсе математики уделяется малое количество времени. Вместе с тем, эти задачи встречаются в диагностических и тренировочных работах, на ОГЭ и ЕГЭ.

Пусть m г некоторого вещества растворяется в М г воды, тогда
- концентрация раствора, или процентное содержание вещества в растворе;

Автор учебника вначале рассматривает лёгкие задачи, после чего переходит к задачам повышенной сложности:

1)                Раствор содержит 1,8 кг соли, что составляет 30% от общей массы. Какова общая масса этого раствора?

Решение:

Соль	Вода
30% 1,8 кг

               ? кг

(кг) – общая масса раствора.

2)                Смешали 4 л 15%-ного водного раствора некоторого вещества с 6 л 25%-ного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Решение:

I	+	II	=	III
4 л 15%		6 л 25%		(4+6) л Х%

Составим уравнение:

0,15*4+0,25*6=10*0,01*х

0,6+1,5=0,1х

0,1х=2,1

х=2,1:0,1

х=21%

Данный приём при решении задач на концентрацию, смеси и сплавы позволяет без труда решать задачи данного типа.

В задачах этого типа прослеживается системный подход к решению задач. Происходит успешная отработка и закрепление интеллектуальных умений (анализ, синтез, аналогия, обобщение. конкретизация и т.д.).

Раздел II. Практическая реализация темы проценты в 7-9 классах

2.1. Дидактические возможности введения исторического материала на примере темы проценты

Проценты – очень важное математическое понятие, которое часто встречается в повседневной жизни. Слово «процент» происходит от латинских слов pro centum, что буквально переводится «за сотню», или «со ста». Процентами очень удобно использовать на практике, так как с помощью них можно выразить сотую часть числа или величины. Это гораздо упрощает расчеты и дает возможность с легкостью выполнять арифметические действия. Идея выражения частей целого родилась еще в древности у вавилонян, которые пользовались шестидесятеричными дробями. Уже в клинописных таблицах вавилонян содержатся задачи на расчет процентов. До нас дошли составленные вавилонянами таблицы процентов, которые позволяли быстро определить сумму процентных денег. Так же проценты изучались в Индии. [7] Индийские математики вычисляли проценты, применив так называемое тройное правило, то есть пользуясь пропорцией. Они умели производить и более сложные вычисления с применением процентов. Денежные расчеты с процентами были особенно распространены в Древнем Риме. Римляне называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню. Римский сенат установил максимально доступный процент, взимаемый с должника. От римлян проценты перешли к другим народам.

В средние века в Европе в связи с широким развитием торговли особое внимание обращалось на умение вычислять проценты. В то время приходилось рассчитывать не только проценты, но и проценты с процентов, то есть сложные проценты, как называют их в наше время. Отдельные конторы и предприятия для облегчения труда при вычислениях процентов разрабатывали свои особые таблицы, которые составляли коммерческий секрет фирмы. Впервые опубликовал таблицы для расчета процентов в 1584 году Симон Стевин – инженер из города Брюгге (Нидерланды). Стевин известен замечательным разнообразием научных открытий в том числе – особой записи десятичных дробей. Долгое время под процентами понимались исключительно прибыль и убыток на каждые 100 рублей. Они применялись только в торговых и денежных сделках. Затем область их применения расширилась, проценты встречаются в хозяйственных и финансовых расчетах, статистике, науке и технике. В настоящее время понятие процента интерпретируют как частный вид десятичных дробей, сотая доля целого (принимаемого за единицу).

Интересно происхождение обозначения процента. Существует версия, что знак % происходит от итальянского pro cento (сто), которое в процентных расчетах часто сокращенно писалось cto. Отсюда путем дальнейшего сокращения в скорописи буква t превратилась в наклонную черту (/), возник современный знак процента.

В учебнике Н.Я. Виленкина описана другая версия возникновения этого знака. Предполагается, что этот знак произошел в результате нелепой опечатки, совершенной наборщиком. В 1685 году в Париже была опубликована книга – руководство по коммерческой арифметике, где по ошибке наборщик вместо cto напечатал %. В некоторых вопросах иногда применяют и более мелкие, тысячные доли, так называемые «промилле» (от латинского promille – «с тысячи»), обозначаемые, по аналогии процентов. Изобретение математических знаков и символов значительно облегчило изучение математики и способствовало дальнейшему ее развитию.

Схема 1:Развитие понятия знака процента

В математике также говорили о предметах о некоторой заданной совокупности – деньгах, зарабатываемых в семье, материалах, продуктах питания, то процент, разумеется, 100 сотых частей самого себя. Поэтому обычно говорят, что она «принимается за 100%». Если речь идет о проценте от данного числа, то это число принимается за 100%. Например, 1% зарплаты

– это сотая часть зарплаты; 100% зарплаты – это 100 сотых частей зарплаты. Т.е. вся зарплата. Подоходный налог с зарплаты берется в размере 13%, т. е. 13 сотых от зарплаты. Надпись «50%» шерсти на этикетке обозначает, что материал содержит 50 сотых шерсти, т. е. наполовину состоит их чистого хлопка. 2,5 жира в молоке означает, что 2,5 сотых массы продукта составляет жир (или, другими словами, в каждых 100 граммах этого продукта содержится 2,5 грамма жира). Как известно из практики, с помощью процентов часто показывают изменение той или иной конкретной величины. Такая форма является наглядной числовой характеристикой изменения, характеризующей значимость произошедшего изменения. Например, успеваемость в классе снизилась на 5%, в этом ничего страшного нет – быть может, эта цифра отражает только естественные колебания уровня. Но если она понизилась на 40%, то это уже говорит о серьезности проблемы и необходимости изучения причин такого явления и принятия, соответствующих мер.

2.2. Основы теоретического материала темы проценты курса 7-9 классов

При изучении этого материала нужно сначала учащимся объяснить, что такое сотая часть числа (например, сотая часть метра – это сантиметр, сотая часть рубля - копейка, сотая часть центнера – килограмм) надо отметить, что к этому времени учащиеся уже прошли деление и дроби и у них не возникнет проблем. Люди давно заметили, что сотые доли величин удобны в практической деятельности (например, при записи десятичных дробей). Потому для них было придумано специальное название – процент (от латинского ' по-центум ' – на сто). Значит одна копейка – один процент от одного рубля, а один сантиметр – один процент от одного метра. Итак, один процент – это одна сотая доля. Здесь важно обратить внимание на математическую запись процентов " % ", и главное объяснить, что целая часть равна "100%" что, "100%" и есть целостность числа.

Также надо обязательно обратить внимание на свойства.

Свойства:

1).

2)

Найти В процентов.

 

 

 

Пример найти 7% от числа 17.

7% от 17 будет  или одна целая девятнадцать сотых это семь процентов от семнадцати.

Также нужно отметить, что проценты - это аналог обыкновенным дробям  из этого следует, что процентами выполняются все четыре действия присущи обыкновенным дробям это сложение, вычитание, умножение, деление. Так что, при изучении темы проценты можно опираться на уже изученную тему по обыкновенным дробям.

Я уже выше рассмотрела задачи на нахождение процентов от числа, так же нахождения числа по его процентам. Теперь я хотела бы рассмотреть задачу на процентное отношение чисел.[6]

Чтобы найти процентное отношение двух чисел a и b, надо отношение этих чисел умножить на 100%, то есть вычислить

Пример:

Задача1: При плановом задании 60 автомобилей в день завод выпустил 66 автомобилей. На сколько процентов завод выполнил план?

Решение: Воспользуемся правилам.

 

Ответ. 110%.

Задача2.Бронза является сплавом олова и меди. Сколько процентов сплава составляет медь в куске бронзы, состоящем из 6 кг олова и 34 кг меди?

Решение:

1) 6+ 34 =40 (кг) масса всего сплава.

2)  = 85% сплава составляет медь.

Ответ.85%.

Так же в 7-9 дается формула вычисления сложного процента.

Решение задач с использованием формулы сложных процентов.[8]

1.                 Проценты, начисленные на величины, полученные в результате начисления процентов, называются сложными.

Пусть некоторая переменная величина А в начальный момент имеет значение А_0, когда она увеличилась на р%, то стала равна А₁;. Найдём это значение.

Если же величина несколько раз изменилась на одно и тоже число %, то её значение вычисляется через n изменений по формуле “сложных процентов”.

2.          

Если изменение происходит на разное число процентов, то формула выглядит так:

2.3. Особенности решения задач на проценты

Особенности решения задач на проценты я решила рассмотреть на примере школы, в которой я работаю ГУ ЛНР «ЛУВК «Интеллект». В 8 классе по дисциплине «Спецкурс математики» тема «Проценты» и «Задачи на смеси и сплавы», которые очень тесно связана с процентами, изучается 6 часов.[5]

Выделяют основные типы задач на проценты:

-нахождение процента от числа;

-нахождение числа по его процентам;

-увеличение и уменьшение число на х%;

-задачи на сложные проценты;

-задачи на смеси и сплавы.

Рассмотрим некоторые примеры задач по этим темам:

1)Сколько чистой воды надо добавить к 300 г морской воды, содержащей 4% соли, чтобы получить воду, содержащую 3% соли?

Составим краткое условие:

Раствор морской соли – 300г с % содержанием соли

Новый раствор- с 3% содержанием соли

Добавили - ? г

Решение

Рассмотрим данную задачу, изобразив схематически то, что нам дано в условии задачи.

Соль            Вода                              Вода                         Соль        Вода

                                           +                                    =

      300г

В растворе воды масса соли не меняется. Найдем ее массу, прежде переведя 4% в десятичную дробь

 

(г)- масса соли в растворе

После того, как мы добавим воду в данный раствор, по условию, масса воды в данном растворе будет составлять 3%. Найдем массу этого раствора:

(г)- масса нового раствора с содержанием соли 3%.

Ответ: масса нового раствора 400г.

2)Гречка содержит 12,6% белков, 3,1% жиров, 60,7% углеводов. Сколько каждого из веществ содержится в 800г гречки.

Решение:

Изобразим условие данной задачи с помощью диаграммы. Для начала найдем вещества, которые содержаться кроме белков, жиров и углеводов:

-остаток веществ в гречке

Диаграмма 1: Состав гречки

Из диаграммы наглядно видно, что углеводы занимают первое место, затем идут белки, остаток и жиры.

Теперь найдем массу каждого из вещества. Для начала переведем проценты в десятичные дроби:

1)

2)

3)

4)(г)-белки

5)(г)-жиры

6)(г)-углеводы

Для проверки найдем массу остатка и сложим все получившиеся величины

(г)-остаток

Проверка:

 

Следовательно, мы задачу решили верно.

Ответ: белки-100,8г; жиры-24,8г; углеводы-485,6г.

3) В магазинах находятся товары по одинаковой цене. В первом магазине цену первоначально снизили на 20%, а затем еще на 20%. Во втором магазине на 40%. Определить одинаковые ли цены получились в магазинах?

Составим краткое условие задачи:

Первый магазин - ↓ на 20%, ↓ на 20%

Второй магазин - ↓ на 40 %

Сравнить конечные стоимости, если начальные стоимости равны.

Решение

1)Примем начальную стоимость за х рублей

Найдем стоимость товара в первом магазине, после первого снижения на 20%:

2)100% - х рублей

80% - ? рублей

- стоимость товара после первого снижения

Для того, чтобы найти цену после второго снижения, примем новую цену товара за 100%:

3)100% - 0,8х рублей

80%-? рублей

 – конечная цена товара в первом магазине

Найдем цену товара во втором магазине после снижения на 40%:

4)100% - х рублей

60% - ? рублей

- конечная цена во втором магазине

5)Сравним цены в данных магазинах:

Следовательно, цена в первом магазине больше чем во втором, так как

Ответ: цена в первом магазине больше чем во втором.

4)Брюки дороже рубашки на 30% и дешевле пиджака на 22%. На сколько процентов рубашка дешевле пиджака? (Задача из ОГЭ 2020)[9]

Составим краткое условие:

Брюки-?руб., на 30% дороже           на 22% дешевле

Рубашки-? руб.,

Пиджак-? руб.,

Решение

Так как зависимость каждого из вида одежды идет от брюк, следовательно, стоимость брюк обозначим через неизвестную переменную:

1)Пусть брюки стоят х рублей.

Следующим шагом найдем стоимость рубашки. Для этого составим краткое условие и решим пропорцию:

2)130% - х рублей

    100% - ? рублей

- стоимость рубашки

Далее найдем стоимость пиджака и сравним

3)78% - х рублей

   100% - ?

- стоимость пиджака

Мы узнали стоимость рубашки и пиджака, теперь можем узнать на сколько % рубашка дешевле пиджака. Для этого найдем сколько составляет стоимость рубашки от стоимости пиджака, а затем из 100% вычтем полученный результат и найдём искомую величину.

4)

100-60=40%

Ответ: рубашка на 40% дешевле пиджака.

Заключение

Практическая значимость обучения решению задач на проценты очень велика. Так как невозможно представить современного человека, который не понимает, что такое процент, не владеющего умением решать хотя бы простейшие задачи на проценты. Проценты нас сопровождают везде - в экономике, на производстве, в средствах массовой информации. Без этих знаний человек не может выполнять необходимые ему элементарные вычисления даже в быту - в магазине, в банке и т. п. Умение решать задачи на проценты необходимо каждому человеку, независимо от того, в какой бы области он ни трудился.

В процессе ознакомления с литературой, было выявлено, что данная тема является дефицитной в курсе средней школы. Но не смотря на то, что тема дефицитна задачи на проценты довольно часто встречаются при сдаче экзаменов в конце 9 класса.

Были проанализированы учебники по алгебре за 7-9 классы таких авторов как: Ю.Н. Макарычев, Г.К. Муравин, Г.В. Дорофеев, А.Г. Мерзляк, Г.П. Бевз, С.М. Никольский. В каждом из учебников была рассмотрена тема проценты, особенности решения задач на проценты. Данная тема встречалась не в каждом учебнике, а лишь затрагивалось понятие процента. Были рассмотрена подача материала в каждом из учебников; материал в учебниках был сравнён с тем, что нам предлагают интернет-ресурсы. Выделены ключевые понятия, которыми должен владеть каждый учащийся общеобразовательной школы.

Рассмотрены особенности решения задач на проценты на примере «Спецкурса по математики» в ГУ ЛНР «ЛУВК «Интеллект». Данный предмет позволяет учащимся владеть большим материалом по данной теме и развивает умения и навыки по решению задач на проценты, задачи н смеси и сплавы (в которых встречается тема «Проценты»).

Таким образом, можно сделать вывод, что необходимо отводить большее внимание данной теме в курсе алгебры средней школы.
Список использованной литературы:

1.       Алгебра 7 класс/Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова.-М.:Просвещение, 2013.-240с.

2.       Муравин Г.К. Алгебра 7 класс/Г.К. Муравин, К.С. Муравин, О.В. Муравина.-М.:Дрофа, 2013.-288с.

3.       Дорофеев Г.В. Алгебра 7 класс/Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова,Е.А. Бунимович.-М.:Просвещение,2010.-254с.

4.        Мерзляк А.Г. Алгебра 9 класс/А.Г. Мерзляк, В.Б Полонский, М.С. Якир.-Харьков:Гимназия,2009.-209с.

5.       Мерзляк А.Г. Сборник задач и заданий по алгебре для тематического оценивания 9 класс/А.Г. Мерзляк, В.Б Полонский, М.С. Якир.-Харьков:Гимназия,2002.-159с.

6.       Подготовка к ОГЭ. Задачи на проценты [Электронный ресурс].-URL:https://infourok.ru/urok-po-matematike-na-temu-podgotovka-k-oge-procenti-klass-3224999.html

7.       Л.Н. Ахмятова. Методика обучения обучающихся решению задач на проценты в курсе алгебры основной школы: (Бакалаврская работа).-Тольятти, 2016.-71стр.

8.       Решение задач на сплавы и концентрацию [Электронный ресурс].-URL:https://nsportal.ru/shkola/algebra/library/2019/02/04/tema-uroka-reshenie-zadach-na-kontsentratsiyu-smesi-i-splavy

9.       ОГЭ. Тематическая рабочая тетрадь/Под ред. И.В, Ященко.-М.:Экзамен,2020.-297с.