Проект по математике: "Теорема Пифагора"

• 1 слайд

  МБОУ СОШ УИОП г.Зернограда
  
  
  
  
  
  
  
  Теорема Пифагора
  
  
  
  
  

• 2 слайд

  Теорема Пифагора — одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника.
  
  

• 3 слайд

  Различные формулировки теоремы Пифагора в
  переводе с греческого, латинского и немецкого языков.
  
  • У Евклида эта теорема гласит (дословный перевод):
  "В прямоугольном треугольнике квадрат стороны, натянутой над
  прямым углом, равен квадратам на сторонах, заключающих прямой
  угол".
  • Латинский перевод арабского текста Аннаирици (около 900 г. до н. э. ),
  сделанный Герхардом Клемонским (начало 12 в.), в переводе на
  русский гласит:
  "Во всяком прямоугольном треугольнике квадрат, образованный на
  стороне, натянутой над прямым углом, равен сумме двух
  квадратов, образованных на двух сторонах, заключающих прямой
  угол".
  • В Geometria Culmonensis (около 1400 г.) в переводе теорема читается
  так :
  "Итак, площадь квадрата, измеренного по длинной стороне, столь
  же велика, как у двух квадратов, которые измерены по двум
  сторонам его, примыкающим к прямому углу".
  • В первом русском переводе евклидовых "Начал", сделанном Ф. И.
  Петрушевским, теорема Пифагора изложена так:
  "В прямоугольных треугольниках квадрат из стороны,
  противолежащей прямому углу, равен сумме квадратов из сторон,
  содержащих прямой угол".
  

• 4 слайд

  Пифагор Самосский древнегреческий философ, математик и мистик. Создатель религиозно- философской школы пифагорейцев. Пифагором его прозвали за то что он был великим оратором, обладающим даром убеждения. Слово «пифагор» в переводе с греческого значит – «убеждающей речью».
  Великая теорема Пифагора! Уже благодаря ей Пифагор Самосский стал бессмертным. Вплоть до настоящего времени его считают загадкой , а так же великим математиком и космологом древности.
  
  
  
  
  

• 5 слайд

  Теорема.
  В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы
  равен сумме квадратов катетов
  а
  b
  а
  b
  а
  b
  а
  b
  а
  b
  с
  с
  с
  с
  с
  Рассмотрим прямоугольный треугольник
  Докажем, что
  с = а + b
  2
  2
  2
  Достроим треугольник до квадрата.
  Вычислим его площадь:
  S=(a+b)
  (a+b) =4 ab+c => c =a +b
  S=4 ab+c
  2
  .
  1
  2
  _
  
  2
  .
  _
  
  1
  2
  2
  2
  2
  2
  2
  

• 6 слайд

  Теорема.
  В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы
  равен сумме квадратов катетов
  Простейшее доказательство
  А
  В
  С
  Треугольник АВС - равнобедренный
  Квадрат, построенный на гипотенузе АB,
  содержит 4 исходных треугольника,
  а квадраты, построенные на катетах,- по два.
  

• 7 слайд

• 8 слайд

  Доказательство Вольдхейма
  Это доказательство имеет вычислительный характер. Для того чтобы доказать теорему пользуясь первым рисунком достаточно только выразить площадь трапеции двумя путями.
  Sтрапеции=(a+b)²/2
  Sтрапеции=a²b²+c²/2
  Приравнивая правые части получим:
  a²+b²=c²
  Теорема доказана.
  
  a
  
  a
  
  b
  
  b
  
  c
  
  c
  

• 9 слайд

  Доказательство с помощью домино
  

• 10 слайд

  
  
  В средние века теорема Пифагора, magister mathe-
  seos, определяла границу если не наибольших возможных,
  то по крайней мере хороших математических знаний.
  Характерный чертеж теоремы Пифагора, который ныне
  иногда превращается школьниками, например, в облечен-
  ного в мантию профессора (рис. 7, 8) или в человечка
  в цилиндре (рис. 9) и т. п., в те времена всеобщей страсти
  к символам нередко употреблялся как символ математики.
  Столь же часто мы встречаемся с «Пифагором» в средне-
  вековой живописи, мозаике, геральдике.
  

• 11 слайд

  
  
  Пребудет вечной истина, как скоро
  Ее познает слабый человек!
  И ныне теорема Пифагора
  Верна, как и в его далекий век.
  Обильно было жертвоприношенье
  Богам от Пифагора. Сто быков
  Он отдал на закланье и сожженье
  За света луч, пришедший с облаков.
  Поэтому всегда с тех самых пор,
  Чуть истина рождается на свет,
  Быки ревут, ее почуя, вслед.
  Они не в силах свету помешать,
  А могут лишь закрыв глаза дрожать
  От страха, что вселил в них Пифагор.
  

• 12 слайд

  Над проектом работали
  Авраменко Н.
  Коновкина Л.
  Высоцкая Д.
  Казачкова В.
  Руководитель проекта:
  учитель математики Афанасьева Светлана Владиславовна
  

Ростовская область Зерноградский район

муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа

с углубленным изучением математики, информатики,

иностранных языков г. Зернограда

                                   Тема: « Теорема Пифагора»

                                                                                         Автор работы:

                                                                                     Казачкова Виктория, 9 кл.,

                                                                                     МБОУ СОШ УИОП

                                                                                      г  Зерноград, Ростовская область

                                                                                                          Руководитель

Афанасьева Светлана Владиславовна

учитель математики МБОУ СОШ УИОП

       г  Зерноград, Ростовская область

                                                       г Ростов – на - Дону

                                                                     2019 год

Оглавление.

1.     Введение                                                            3

2.     Биография Пифагора.

3.     Доказательство Вольдхейма.

4.     Доказательство теоремы Пифагора с

помощью домино.

5.     Выводы.

6.     Литература.

Теорема Пифагора — одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Строго говоря, хоть теорема и называется «теоремой Пифагора», сам Пифагор ее не открывал. Прямоугольный треугольник и его особенные свойства изучались задолго до него. Есть две полярных точки зрения на этот вопрос. По одной версии Пифагор первым нашел полноценное доказательство теоремы. По другой доказательство не принадлежит авторству Пифагора.

В средние века теорема Пифагора, magister mathe- seos, определяла границу если не наибольших возможных, то по крайней мере хороших математических знаний. Характерный чертеж теоремы Пифагора, который ныне  иногда превращается школьниками, например, в облеченного в мантию профессора  или в человечка в цилиндре, в те времена всеобщей страсти к символам нередко употреблялся как символ математики. Теорема Пифагора занимала умы математиков с древнейших времен. Из нее выводится или так или иначе с нею связано большинство теорем геометрии.

           Теорему Пифагора доказывали через подобные треугольники, методом площадей и даже через дифференциальные уравнения – это сделал английский математик начала двадцатого века Годфри Харди. Известны доказательства теоремы Пифагора, предложенные Евклидом и Леонардо Да Винчи. А Электроник – мальчик из чемоданчика в книге Евгения Велтистова знал целых двенадцать способов, а среди них «метод укладки паркета» и «стул невесты». 

Существуют различные  формулировки теоремы Пифагора в переводе с греческого, латинского и немецкого языков. У Евклида эта теорема гласит (дословный перевод):"В прямоугольном треугольнике квадрат стороны, натянутой над прямым углом, равен квадратам на сторонах, заключающих прямойугол". Латинский перевод арабского текста Аннаирици (около 900 г. до н. э. ), сделанный Герхардом Клемонским (начало 12 в.), в переводе на русский гласит:"Во всяком прямоугольном треугольнике квадрат, образованный на стороне, натянутой над прямым углом, равен сумме двух квадратов, образованных на двух сторонах, заключающих прямой угол". В Geometria Culmonensis (около 1400 г.) в переводе теорема читается так "Итак, площадь квадрата, измеренного по длинной стороне, столь же велика, как у двух квадратов, которые измерены по двум сторонам его, примыкающим к прямому углу".  В первом русском переводе евклидовых "Начал", сделано Ф.И.Петрушевским, теорема Пифагора изложена так: "В прямоугольных треугольниках квадрат из стороны, противолежащей прямому углу, равен сумме квадратов из сторон, содержащих прямой угол".

Интересный материал был найден в книге «Теорема Пифагора» Перевод с немецкого В. С. Бермана под редакцией  И. М. Яглома. В ходе работы вызвала интерес и  биография Пифагора. Основным методом работы  была систематизация и обработка информации по теме.

1.1   Биография Пифагора.

            Пифагор Самосский ( 570—490 гг. до н. э.) — древнегреческий философ, математик и мистик, создатель религиозно-философской школы пифагорейцев. Великая теорема Пифагора! Уже благодаря ей Пифагор Самосский стал бессмертным. Вплоть да настоящего времени его считают загадкой. А в эпоху его жизни, о нём отзывались, как о манне и мудреце, а Пифагор – это не имя. Его прозвали так потому, что она был великим оратором, обладающим даром убеждения. Слово “пифагор” в переводе с греческого значит “убеждающий речью”. Своей первой публичной лекцией он сделал последователями две тысячи человек.
 Историю жизни Пифагора трудно отделить от легенд, представляющих его в качестве совершенного мудреца и великого посвящённого во все таинства греков и варваров. Ещё Геродот называл его «величайшим эллинским мудрецом»
             Родителями Пифагора были Мнесарх и Партенида с острова Самос. Мнесарх был камнерезом; по словам же Порфирия он был богатым купцом из Тира, получившим самосское гражданство за раздачу хлеба в неурожайный год. Первая версия предпочтительнее, так как Павсаний приводит генеалогию Пифагора по мужской линии от Гиппаса из пелопоннесского Флиунта, бежавшего на Самос и ставшего прадедом Пифагора. Партенида, позднее переименованная мужем в Пифаиду, происходила из знатного рода Анкея, основателя греческой колонии на Самосе.
                В юном возрасте Пифагор отправился в Египет, чтобы набраться мудрости и тайных знаний у египетских жрецов. Диоген и Порфирий пишут, что самосский тиран Поликрат  снабдил Пифагора рекомендательным письмом к фараону  Амасису, благодаря чему он был допущен к обучению и посвящён не только в египетские достижения медицины и математики, но и в таинства, запретные для прочих чужеземцев. В Египта, где пробыл 22 года, пока его не увёл в Вавилон в числе пленников персидский царь Камбиз, завоевавший Египет в 525 до н. э. В Вавилоне Пифагор пробыл ещё 12 лет, общаясь с магами, пока наконец не смог вернуться на Самос в 56-летнем возрасте, где соотечественники признали его мудрым человеком. По словам античных авторов, Пифагор встретился чуть ли не со всеми известными мудрецами той эпохи, греками, персами, халдеями, египтянами, впитал в себя всё накопленное человечеством знание.

                В современном мире Пифагор считается великим математиком и космологом древности, однако ранние свидетельства до III в. до н. э. не упоминают о таких его заслугах. Как пишет Ямвлих про пифагорейцев: «У них также был замечательный обычай приписывать всё Пифагору и нисколько не присваивать себе славы первооткрывателей, кроме, может быть, нескольких случаев.»

Античные авторы нашей эры отдают Пифагору авторство известной теоремы: квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равняется сумме квадратов катетов. Такое мнение основывается на сведениях Аполлодора-исчислителя (личность не идентифицирована) и на стихотворных строках (источник стихов не известен):

 “В день, когда Пифагор открыл свой чертёж знаменитый, славную он за него жертву быками воздвиг”

Современные историки предполагают, что Пифагор не доказывал теорему, но мог передать грекам это знание известное в Вавилоне за 1000 лет до Пифагора (согласно вавилонским глиняным табличкам с записями математических уравнений). Хотя сомнение в авторстве Пифагора существует, но весомых аргументов, чтобы это оспорить, нет.

        1.2.   Доказательство теоремы Пифагора методом разложения.

Существует целый ряд доказательств теоремы Пифагора, в которых квадраты, построенные на катетах и на гипотенузе, разрезаются так, что каждой части квадрата, построенного на гипотенузе, соответствует часть одного из двух квадратов, построенных на катетах. Во всех этих случаях для понимания доказательства достаточно одного взгляда на чертеж; рассуждение здесь может быть ограничено единственным словом: «смотри!», как это делалось в сочинениях древних индусских математиков.

1.3. Доказательство теоремы Пифагора « Стул невесты.»

        На рисунке квадраты, построенные на катетах, размещены ступенями один рядом с другим. Эту фигуру, которая встречается в доказательствах, датируемых не позднее, чем 9 столетием н. э., индусы называли "стулом невесты". Способ построения квадрата со стороной, равной гипотенузе, ясен из чертежа. Общая часть двух квадратов, построенных на катетах, и квадрата, построенного на гипотенузе, - неправильный заштрихованный пятиугольник 5. Присоединив к нему треугольники 1 и 2, получим оба квадрата, построенные на катетах; если же заменить треугольники 1 и 2 равными им треугольниками 3 и 4, то получим квадрат, построенный на гипотенузе.

             

1.4. Доказательство Вольдхейма.

Это доказательство имеет вычислительный характер. Для того чтобы доказать теорему пользуясь  рисунком достаточно только выразить площадь трапеции двумя путями.

Sтрапеции=(a+b)²/2                                             

Sтрапеции=a²b²+c²/2

Приравнивая правые части получим:

                                    a²+b²=c²

Теорема доказана.

Теорема.
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы
равен сумме квадратов катетов

Простейшее доказательство

Треугольник АВС - равнобедренный

Квадрат, построенный на гипотенузе АB, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах,- по два.

 

1.5. Доказательство теоремы Пифагора с помощью домино.

ВЫВОДЫ:

• Теорема Пифагора по праву считается самой важной в

курсе геометрии. Пифагор превратил математику в

дедуктивную науку: ввел доказательство.

• Она является основой решения множества геометрических

задачи и является основой для вывода многих формул

геометрии. На её основе возникла целая наука

тригонометрия. Эта наука применяется в космонавтике.

• Теоремой Пифагора и пифагорейской школой восхищается

человечество на протяжении всей истории, им посвящают

стихи, песни, рисунки, картины.

• Работа над этим проектом нам позволила расширить свои

знания в области в геометрии.

Знания теоремы и его приложений позволят нам применить

их при решении геометрических задач.