Проект по теме "Признаки равенства треугольников и их применение в практической деятельности человека", 7 класс"

.Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа № 1»

ГО Краснотурьинск

Наименование секции/подсекции: математика/ точные науки

Исследовательская работа: Признаки равенства треугольников и их применение в практической деятельности человека

Авторы работы: Занозина Александра Ивановна, 7 Б класс, Шаньгина Екатерина Борисовна, 7 Б класс

Руководитель работы: Ельшина Наталья Викторовна, учитель математики, 89041682163, [e-mail]

2020 год

Оглавление

Введение. 3

Глава 1. Признаки равенства треугольников. 6

1.1.   Три основных признака равенства треугольников. 6

1.2.   Признаки равенства прямоугольных треугольников. 9

1.3.   Дополнительные признаки равенства треугольников. 10

Вывод по первой главе. 16

Глава 2. Применение признаков равенства треугольников в практической деятельности человека. 18

Вывод по второй главе. 22

Заключение. 23

Список литературы. 24

Приложение 1. 25

Приложение 2. 26

 

Введение

В этом учебном году мы начали изучать новый предмет – геометрия – наука, занимающаяся изучением геометрических фигур. Основная фигура, которую изучают в геометрии 7 класса – это треугольник. Один мудрец сказал: «Высшее проявление духа - это  разум. Высшее проявление разума - это геометрия. Клетка геометрии - треугольник. Он так же неисчерпаем, как и Вселенная».

Треугольник в геометрии играет особую роль. Без преувеличения можно сказать, что почти вся геометрия строится на треугольнике. За несколько тысячелетий геометры столь подробно изучили треугольник. Первые упоминания о треугольнике и его свойствах ученые находят в египетских папирусах, которым более 4000 лет. Треугольник неисчерпаем – постоянно открываются его новые свойства. Чтобы рассказать обо всех известных его свойствах, необходим том сравнимый по объему с томом Большой энциклопедии.

При решении задач используют его самые разнообразные свойства. Свойства треугольника широко применяют на практике. Например,  в архитектуре: при разработке чертежа здания, при планировке будущих квартир; в промышленности: при проектировании различны деталей, при изготовлении стройматериалов, при строительстве морских и авиа судов; в навигации: для прокладывания правильного и максимально точного маршрута;  треугольники делают надежными конструкции высоковольтных линий электропередач и железнодорожных мостов; в астрологии и астрономии, одним словом, просто необходимо знать треугольник и все его свойства.

Актуальность. Мы слышим от старшеклассников и учителя, что при подготовке к сдаче экзамена по математике приходится доказывать равенство треугольников. Познакомившись с признаками равенства треугольников, мы  узнали и о таком понятии как жесткость треугольника. После изучения трех признаков равенства треугольников, наш учитель сказала, что это не единственные признаки равенства треугольников и некоторые признаки равенства треугольников можно использовать в деятельности человека, и об этом знали еще в далекой древности. Нам захотелось узнать, а какие еще есть признаки равенства треугольников и можно ли какие-либо признаки использовать в практической деятельности человека.

Рассмотрев учебник по геометрии (авторы Бутузов, Кадомцев и др.), мы пришли к выводу, что там рассмотрены только эти три признака и еще четыре, относящиеся к равенству прямоугольных треугольников. Мы просмотрели учебно-методические комплекты других авторов. Но и в них для изучения предлагаются только три известные теоремы и четыре теоремы для прямоугольных треугольников.

Проблема: в школьном курсе геометрии изучается ограниченное количество признаков равенства треугольников, и почти нет задач на их практическое применение в деятельности человека.

Мы выдвинули гипотезу: есть ли еще какие-то признаки равенства треугольников, и можно ли применять на практике признаки равенства треугольников.

Для того чтобы убедиться, что данный вопрос интересен не только нам, мы провели анкетирование, результаты которого представлены в приложении 1. Наши предположения подтвердились, школьники действительно знают только признаки, которые изучает школьный курс геометрии, и о применении признаков в практической деятельности человека многие вообще не слышали.

Цель нашего исследования: найти дополнительные признаки равенства треугольников и показать применение признаков равенства треугольников в практической деятельности человека.

Задачи:

¾          Изучить литературу по исследуемой теме;

¾          Уточнить количество признаков равенства треугольников;

¾          Проанализировать применение признаков равенства треугольников в практической деятельности человека;

¾          Представить своим одноклассникам и обучающимся нашей школы все признаки равенства треугольников и применение некоторых из них в практической деятельности человека, оформив данные в виде брошюры.

Объект исследования: признаки равенства треугольников и их применение в практической деятельности человека.

Предмет исследования: треугольник, как основная фигура геометрии.

Метод исследования: теоретический (изучение, анализ, синтез), системно-поисковый, практический (доказательство теорем).

Глава 1. Признаки равенства треугольников

1.1.          Три основных признака равенства треугольников

Признаки равенства треугольников имели издавна важнейшее значение в геометрии, так как доказательство многочисленных теорем сводилось к доказательству равенства тех или иных треугольников. Доказательством признаков равенства треугольников занимались еще пифагорейцы. По словам Прокла, Евдем Родосский приписывает Фалесу Милетскому доказательство о равенстве двух треугольников, имеющих равными сторону и два прилежащих к ней угла (второй признак равенства треугольников).

Начнем с определения понятия равенства треугольников.

Треугольники  АВС  и  А₁В₁С₁  называются равными, если их можно совместить наложением.

Треугольник состоит из  шести элементов: трех углов и трех сторон.

Тогда какое наименьшее количество элементов треугольника нужно взять для установления равенства   двух  треугольников?

Мы не сможем установить равенство двух треугольников по одному  элементу, потому что неизвестно, будут ли равны остальные элементы.

Так же невозможно установить равенство двух треугольников, используя два элемента  по причине нехватки информации для установления равенства.

Возможно установление равенства  двух треугольников, используя  три элемента. Но какие именно три элемента нужно назвать, для установления равенства треугольников?

При изучении этого вопроса, мы просмотрели школьные учебники геометрии различных авторов, а также словари и справочники, интернет ресурсы. В учебниках за седьмой класс предложены к изучению только три признака равенства треугольников.

Рассмотрим три основных признака равенства треугольников, изучаемых в школьном курсе геометрии.

Первый признак: Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. Рис.1

Доказательство. Рассмотрим треугольники ABC и A₁B₁C₁, (рис. 1) у которых АВ = A₁B₁, АС = A₁C₁ ∠ А = ∠ А₁. Докажем, что ΔABC = ΔA₁B₁C₁.

Так как ∠А = ∠А₁, то треугольник ABC можно наложить на треугольник А₁В₁С₁ так, что вершина А совместится с вершиной А₁, а стороны АВ и АС наложатся соответственно на лучи А₁В₁ и A₁C₁. Поскольку АВ = A₁B₁, АС = А₁С₁, то сторона АВ совместится со стороной А₁В₁ а сторона АС — со стороной А₁C₁; в частности, совместятся точки В и В₁, С и C₁. Следовательно, совместятся стороны ВС и В₁С₁. Итак, треугольники ABC и А₁В₁С₁ полностью совместятся, значит, они равны. [3]

Признак второй: Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно  равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие  треугольники равны.

Доказательство: Если в △АВС и △А₁В₁С₁ будут иметь место следующие равенства AB=А₁В₁, ∠BAC=∠B₁A₁C₁, ∠АВС= ∠А₁В₁С₁ (рис. 2), наложим друг на друга треугольники А₁В₁С₁ и АВС таким образом, чтобы совпали равные стороны AB и А₁В₁ и углы, которые к ним прилегают. Как и в уже рассмотренном предыдущем примере, если это необходимо, треугольник А₁В₁С₁ можно «перевернуть и приложить обратной стороной». Треугольники совпадут, следовательно, они могут считаться равными. Теорема доказана.   [3]                                          Рис. 2

Признак третий: Если три стороны  одного треугольника соответственно равны  трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство: рассмотрим треугольники ABC и A₁B₁C₁, у которых  AB=A₁B₁,BC=B₁C₁,CA=C₁A₁.Докажем, что треугольник ABC равен треугольнику A₁B₁C₁.  Приложим треугольник ABC к треугольнику A₁B₁C₁ так, чтобы вершина А совместилась с вершиной А₁, вершина В – с вершиной В₁, а вершины С и С₁ оказались по разные стороны от прямой А₁В₁.

Возможны три случая: луч С₁С проходит внутри угла А₁С₁В₁; луч С₁С совпадает с одной из сторон этого угла; С₁С проходит вне угла  A₁B₁C₁ (рис. 3).  Рассмотрим первый случай (остальные случаи аналогичны).

Так как по условию теоремы стороны АС и А₁С₁, ВС и В₁С₁ равны, то треугольники А₁С₁С и В₁С₁С – равнобедренные. По теореме о свойстве углов равнобедренного треугольника ∠1 = ∠2, ∠3= ∠4, поэтому ∠A₁СВ₁ = ∠ A₁B₁C₁. Итак, АС=А₁С₁, ВС = В₁С₁, ∠C=C_1.

 Следовательно, треугольник АВС равен треугольнику A₁B₁C₁ равны по первому признаку равенства треугольников. Теорема доказана. [3]                               Рис.3

Из третьего признака равенства треугольников следует, что треугольник - жёсткая фигура. Представим себе две рейки, у которых два конца скреплены гвоздем. Такая конструкция не является жёсткой, однако, сдвигая или раздвигая свободные концы реек, мы можем менять угол между ними. Теперь возьмем ещё одну рейку и скрепим её концы со свободными концами первых двух реек. Полученная конструкция - треугольник - будет уже жёсткой. В ней нельзя сдвинуть или раздвинуть никакие две стороны, т. е. нельзя изменить ни один угол. Действительно, если бы это удалось, то мы получили бы новый треугольник, не равный исходному. Но это невозможно, так как новый треугольник должен быть равен исходному по третьему признаку равенства треугольников.

Итак, мы привели основные признаки равенства треугольников и доказали их. Также в школьном курсе геометрии изучаются признаки равенства прямоугольных треугольников. Рассмотрим их подробнее в следующем параграфе.

1.2.          Признаки равенства прямоугольных треугольников

Так как в прямоугольном треугольнике угол между двумя катетами прямой, а любые два прямых угла равны, то из первого признака равенства треугольников следует:

Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.

Далее, из второго признака равенства треугольников следует:

Если катет и прилежащий  к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны.

Рассмотрим еще два признака равенства прямоугольных треугольников.

Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного  треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники  равны.

Доказательство. Из свойства 1 (сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90⁰) следует, что в таких треугольниках два других острых угла также равны, поэтому треугольники равны по второму признаку равенства треугольников, то есть по стороне (гипотенузе) и двум прилежащим к ней углам. Теорема доказана.

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.

Доказательство. Рассмотрим треугольники АВС и А₁В₁С₁, у которых С и С₁-прямые, АВ=А₁В₁, ВС=В₁С₁. Докажем, АВС=А₁В₁С₁.

Так как С=С₁,  то треугольник АВС можно наложить на треугольник А₁В₁С₁, так что вершина С совместиться с вершиной С₁, а стороны СА и СВ наложатся соответственно на учи С₁А₁ и С₁В₁. Поскольку СВ=С₁В₁, то вершина В совместится с вершиной В₁. Но тогда вершины А и А₁ также совместятся. В самом деле, если предположить, что точка А совместится с не которой другой точкой А₂ луча С₁А₁, то получим равнобедренный треугольник А₁В₁С₂, в котором углы при основании А₁А₂ не равны. Но это невозможно, поэтому вершины А и А1 совместятся. Следовательно, полностью совместятся треугольники АВС и А₁В₁С₁, т.е. они равны. Теорема доказана. [3]

Итак, мы рассмотрели еще 4 признака равенства треугольников. Данные признаки применимы только к прямоугольным треугольникам. В следующем параграфе представим еще несколько признаков равенства треугольников.

1.3.          Дополнительные признаки равенства треугольников

В справочнике по элементарной математике  М. Я. Выгодского мы нашли еще один признак равенства треугольников.

1) Если две стороны и угол, лежащий против большей из них одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу, лежащему против большей из них другого треугольника, то такие треугольники равны.

 Приведем доказательство данного признака.

Дано: ΔABC, ΔA₁B₁C₁, AB=A₁B₁, AC=A₁C₁, ∠B=∠B₁

Доказать: ΔABC=ΔA₁B₁C₁.

Рис. 4

 Расположим треугольники так, как  на рисунке 4. Соединим B и B₁, тогда ΔАВВ₁-равнобедренный, значит ∠1=∠2. ∠3=∠4 как остатки равных углов.

Получим ΔВСВ₁- равнобедренный, отсюда ВС=В₁С₁. ΔАВС = ΔА₁В₁С₁ по трем сторонам. Теорема доказана. [1]

В формулировки признаков равенства треугольников можно включать не только стороны и углы, но и другие элементы треугольников. Рассмотрим несколько формулировок признаков равенства треугольников по трем элементам, включающим стороны, углы, высоты, биссектрисы и медианы треугольников. Выясним справедливость соответствующих признаков.

2) Если две стороны и высота, проведенная к одной из них, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и высоте, проведенной к одной из них, другого треугольника, то такие треугольники равны. Дано: AB=A₁B₁ , BC=B₁C₁ , AK=A₁K₁ ,

Доказать: ΔABC= ΔA₁B₁C₁ .                                                       Рис. 5

Доказательство: ΔABK=ΔA₁B₁K₁  по гипотенузе и катету, тогда ∠B=∠B₁ и

получим ΔABC= ΔA₁B₁C₁  по первому признаку. Теорема доказана.  [7]                                                          

3) Если две стороны и медиана, проведенная к одной из них, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и медиане, проведенной к одной из них, другого треугольника, то такие треугольники равны.

Дано: AB=A₁B₁, BC=B₁C₁,

AK=A₁K₁,AK и A₁K₁ – медианы.                                             

Доказать: ΔABC= ΔA₁B₁C₁

Доказательство: ΔABK=ΔA₁B₁K₁  по трем                                     

сторонам, значит ∠B=∠B₁  и ΔABC= ΔA₁B₁C₁  по первому признаку. Теорема доказана. [7]                                   Рис. 6

        4)  Если два угла и высота, проведенная из третьего угла, одного треугольника соответственно равны двум углам и высоте, проведенной из третьего угла, другого треугольника, то такие треугольники равны.

Дано:∠ B=∠ B₁, ∠ C=∠ C₁, AK=A₁K₁.

Доказать: ΔABC= ΔA₁B₁C₁ .

Доказательство: ΔABK=ΔA₁B₁K₁  по катету

и острому углу, значит BK=B₁K₁ ,                                           Рис. 7

ΔACK=ΔA₁C₁K₁ по катету и острому углу, значит KC=K₁C₁, а, следовательно, BC=B₁C₁, а  ΔABC= ΔA₁B₁C₁  по второму признаку. Теорема доказана. [7]

5) Если сторона и две высоты, проведенные из углов, прилежащих к данной стороне, одного треугольника соответственно равны стороне и двум высотам, проведенным из углов, прилежащих к стороне, другого треугольника, то такие треугольники равны.

Дано: АС=А₁С₁, СМ=С₁М₁, АК=А₁К₁.

Доказать: ΔАВС = ΔA₁B₁C₁

Доказательство:  ΔAМC= ΔA₁М₁C₁ по катету и гипотенузе, значит∠ А=∠А₁, а  ΔAКC= ΔA₁К₁C₁ по катету и гипотенузе, значит  

∠ С=∠С₁.                                                                                      Рис. 8

Итак, ΔABC= ΔA₁B₁C₁  по второму признаку. Теорема доказана. [7]

6) Если две стороны и высота, проведенная к третьей стороне, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и высоте, проведенной к третьей стороне, другого треугольника, то такие треугольники равны.

Дано: АВ=А₁В₁, ВС=В₁С₁, ВК=В₁К₁.

Доказать: ΔABC= ΔA₁B₁C₁ .

Доказательство: ΔABK=ΔA₁B₁K₁  по гипотенузе и катету, значит AK=A₁K₁, ΔBКC= ΔB₁К₁C₁ по катету и гипотенузе, значит KC=K₁C₁ .

Итак, ΔABC= ΔA₁B₁C₁ по трем сторонам. Теорема доказана. [7]

7) Если сторона, один из углов, прилежащих к этой стороне, и биссектриса этого угла одного треугольника соответственно равны стороне, одному из углов, прилежащих к этой стороне, и биссектрисе этого угла другого треугольника, то такие треугольники равны.

Дано: АС=А₁С₁,  АК=А₁К₁, ∠ А=∠А₁.

Доказать: ΔABC= ΔA₁B₁C₁ .

Доказательство: ΔКАС=ΔК₁А₁С₁ по первому признаку, значит, ∠ С=∠С₁  ,

ΔABC= ΔA₁B₁C₁  по второму признаку.                                   Теорема доказана. [7]                                                                 Рис. 9

8) Если две высоты и угол, из которого проведена одна из высот, одного треугольника соответственно равны двум высотам и углу, из которого проведена одна из высот, другого треугольника, то такие треугольники равны.

Дано: СМ=С₁М₁, АК=А₁К₁,

∠ А=∠А₁.

Доказать: ΔABC= ΔA₁B₁C₁.

Доказательство: ΔAМC= ΔA₁М₁C₁ по катету и острому углу, ΔКАС=ΔК₁А₁С₁  по катету и гипотенузе, ΔABC= ΔA₁B₁C₁  по второму признаку. Теорема доказана.  [7]                                                    Рис. 10

9) Если две стороны и медиана, проведенная к третьей стороне треугольника, соответственно равны двум сторонам и медиане, проведенной к третьей стороне другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство: пусть в треугольниках ABC и A₁B₁C₁ AC = A₁C₁, BC = B₁C₁, медиана СM равна медиане С₁M₁. Докажем, что треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны. Продолжим медианы и отложим отрезки MD = CM и M₁D₁ = C₁M₁. Четырехугольники ACBD и A₁С₁B₁D₁ — параллелограммы. Треугольники ACD и A₁C₁D₁ равны по трем сторонам. Следовательно, ACD = A₁C₁D₁. Аналогично, треугольники BCD и B₁C₁D₁ равны по трем сторонам. Следовательно,                    Рис. 11

 BCD = B₁C₁D₁. Значит, С = С₁ и треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны по двум сторонам и углу между ними. Теорема доказана. [9]

10) Если два угла и высота, проведенная к стороне, к которой прилегают эти углы, одного треугольника, соответственно равны двум углам и высоте, проведенной к стороне, к которой прилегают эти углы, другого треугольника, то такие треугольники равны. [2]

11) Если сторона, высота и медиана, проведенные к стороне одного треугольника, соответственно равны стороне, высоте и медиане, проведенным к этой стороне другого треугольника, то эти треугольники равны.

Доказательство.  Пусть в треугольниках ABC и A₁B₁C₁ AC = A₁C₁, медианы CM и C₁M₁ равны, высоты CH и C₁H₁ равны. Докажем, что треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны. Действительно, прямоугольные треугольники ACH и A₁C₁H₁ равны по гипотенузе и катету. Следовательно,  A =  A₁ и AH = A₁H₁. Прямоугольные треугольники CMH и C₁M₁H₁ равны по гипотенузе и катету. Следовательно, MH = M₁H₁, откуда AM = A₁M₁, значит, AB = A₁B₁. Таким образом,                         Рис. 12                                                                       

треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны по двум сторонам и углу между ними. Теорема доказана. [9]

12) Если медиана и углы, на которые она делит угол, одного треугольника, соответственно равны медиане и углам, на которые она делит угол, другого треугольника, то эти треугольники равны. [2]

13) Если сторона и две медианы, проведенные к двум другим сторонам, одного треугольника соответственно равны стороне и двум медианам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство. Пусть в треугольниках ABC и A₁B₁C₁ AB = A₁B₁, медиана AM равна медиане A₁M₁, медиана BK равна медиане B₁K₁. Докажем, что треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны. Точки O и O₁ пересечения медиан                   Рис. 13

данных треугольников делят медианы в отношении 2:1, считая от вершины. Значит, треугольники ABO и A₁B₁O₁ равны по трем сторонам. Следовательно,

BAO = B₁A₁O₁, значит, треугольники ABM и A₁B₁M₁ равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому ABC = A₁B₁C₁. Аналогично доказывается, что

BAC = B₁A₁C₁. Таким образом, треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Теорема доказана. [9]

14) Ели две стороны и биссектриса, заключенная между ними, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и биссектрисе другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство. Пусть в треугольниках ABC и A₁B₁C₁ AC = A₁C₁, BC = B₁C₁, биссектриса CD равна биссектрисе С₁D₁. Докажем, что треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны. Продолжим стороны AC и A₁C₁ и отложим на их продолжениях отрезки CE = BC и C₁E₁ = B₁C₁. Тогда  Треугольники BCE и B₁C₁E₁ равны по трем сторонам. Значит, E = E₁ и BE = B₁E₁. Треугольники ABE и A₁B₁E₁ равны по двум сторонам и углу между                                                            Рис. 14

ними. Значит, AB = A₁B₁. Таким образом, треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны по трем сторонам. Теорема доказана. [9]

15) Два треугольника равны, если три медианы одного треугольника соответственно равны трем медианам другого треугольника.

Доказательство. Пусть в треугольниках ABC и A₁B₁C₁ соответственно равны медианы AK и A₁K₁, BL и B₁L₁, CM и C₁M₁. Докажем, что треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны. Пусть O и O₁ —                                          Рис. 15

точки пересечения медиан данных треугольников. Заметим, что медианы OM и O₁M₁ треугольников ABO и A₁B₁O₁ равны, так как они составляют одну третью часть соответствующих медиан данных треугольников. По признаку равенства треугольников, доказанному нами под номером 13, треугольники ABO и A₁B₁O₁ равны, значит, AB = A₁B₁. Аналогично доказывается, что BC = B₁C₁ и AC = A₁C₁. Таким образом, треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны по трем сторонам. Теорема доказана. [9]

16) Два треугольника равны, если три высоты одного треугольника соответственно равны трем высотам другого треугольника.

Доказательство. Пусть в треугольниках ABC и A₁B₁C₁ соответственно равны высоты AH и A₁H₁, BG и B₁G₁, CF и C₁F₁. Докажем, что треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны.                               Рис. 16

Обозначим стороны треугольников соответственно a, b, c и a₁, b₁, c₁, а соответствующие высоты h_a, b_b, h_c и h_1a, h_1b, h_1c. Имеют место равенства ah_a = bh_b = ch_c и a₁h_1a = b₁h_1b = c₁h_1c. Разделив почленно первые равенства на вторые, получим равенства  из которых следует, что треугольники ABC и A₁B₁C₁ подобны. Так как соответствующие высоты этих треугольников равны, то они не только подобны, но и равны. [9]

Мы рассмотрели дополнительные признаки равенства треугольников, доказательство каждого из них, в конечном счете, сводится к трем основным признакам равенства треугольников, изучаемых в школьном курсе геометрии.

 

Вывод по первой главе

В первой главе нами рассмотрены три основных признака равенства треугольников, признаки равенства прямоугольных треугольников и найдены дополнительные признаки равенства треугольников. Всего в нашей работе отражено 3 основных признака равенства треугольников, 4 признака равенства прямоугольных треугольников и 16 дополнительных признаков равенства треугольников. Мы представили доказательство каждого признака и заметили, что признаки доказываются либо способом наложения, либо сводятся к одному из трех основных признаков равенства треугольников.

Глава 2. Применение признаков равенства треугольников в практической деятельности человека.

В глубокой древности вместе с астрономией появилась наука – тригонометрия. Слово «тригонометрия» произведено от греческих «треугольник» и «меряю». Буквальное значение – «наука об измерении треугольников».

С помощью натянутых веревок длиной 3, 4 и 5 единиц египетские жрецы получали прямые углы при возведении храмов и т.п.

Искусство изображать предметы на плоскости с Древних времён привлекает к себе внимание человека, люди рисовали на скалах, стенах, сосудах и прочих предметах быта, различные орнаменты, растения, животных. Люди стремились к тому, чтобы изображение правильно отображало естественную форму предмета.

Мы во второй главе рассмотрим, как можно применять признаки равенства треугольников в практической деятельности человека.

1)  Теорему о равенстве треугольников по двум сторонам и углу между ними  Фалес использовал для определения расстояния от берега до морских кораблей. [10]

Каким способом пользовался при этом Фалес, точно не известно. Предполагают, что один его способ состоял в следующем: пусть A – точка берега, B – корабль на море. Для определения расстояния AB восстанавливают на берегу перпендикуляр произвольной длины AC  к AB; в противоположном направлении восстанавливают CE  к AC так, чтобы точки D (середина AC), B и E находились на одной прямой. Тогда CE будет равна искомому расстоянию AB. Доказательство основывается на втором признаке равенства треугольников                          Рис. 17

(DC = DA;  ÐС = ÐA;  ÐEDС = ÐBDA как вертикальные).

Предполагают второй способ, которым древнегреческий математик Фалес пер­вым решил задачу о вычислении расстояния от берега до корабля. Для этого он измерил расстояние АВ и угол ABC. Затем, произведя на суше некоторые построения и измерения, он вычислил расстояние АС.

Построить ÐАВН = ÐABC, а также пост­роить АЕ перпендикулярно АВ. Точка пере­сечения лучей ВН и АЕ - вершина тре­угольника АВМ, равного треугольнику ABC.

Треугольник ABC равен треугольнику АВМ по второму признаку равенства треугольни­ков, значит, у этих треугольников соответ­ствующие стороны равны, т. е. АС = AM, для нахождения расстояния АС от берега до корабля достаточно измерить расстояние AM на местности.

У нас возник вопрос, а каким способом, с помощью какого инструмента  можно постро­ить на местности АС перпендикулярно АВ.

Мы выяснили, что для этой цели можно воспользоваться измерительными инструментами экер и теодолит.

Экер (франц. équerre, от позднелат. exquadro — нарезаю четырёхугольник), простейший геодезический инструмент, служащий для построения на местности углов, кратных 90° или 45°.

Теодоли́т — измерительный прибор для определения горизонтальных и вертикальных углов при топографических съёмках, геодезических и маркшейдерских работах, в строительстве и т. п.

Маркшейдерские работы – это работы, которые проводятся для изучения процессов деформации горных пород и земной поверхности в связи с горными работами.

Угол ABC на местности можно измерить с помощью астролябии.

Астролябия (греч. ἁστρολάβον, астролабон, «берущий звезды») — прибор для определения широты, один из старейших астрономических инструментов. Основан на принципе стереографической проекции.

2)  А вот как в Древнем Египте применили первый признак равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Автором также считается Фалес Милетский, для измерения высоты пирамиды: представим, что мы стоим перед огромной пирамидой, как же измерить её высоту? Ведь к ней не приложишь измерительные приборы! И тут на помощь Фалесу Милетскому приходит первый признак равенства треугольников: он подождал пока тень его точно совпадёт с его ростом, применил теорему, получилось, что высота пирамиды равна её тени (рис. 18).                           Рис. 18

3)  Мы взяли практическую задачу на вычисление ширины озера.

Для определения ширины озера на его берегу отметили точки А и В, а потом еще точки С, D и О так, что точка О – общая середина отрезков АС и BD. Измерив CD, определим ширину озера.

Но для такого способа нужно  много                                 Рис. 19

свободного пространства,  чтобы сделать эти измерения. [5]

Приведем еще один похожий пример.

4)      На рисунке показан способ измерения расстояния от А до В по озеру. Известно, что ОС=ОD, ОВ=ОЕ. Докажите, что АВ=ЕF.

Рис. 20

Вот еще несколько практических задач, при решении которых необходимо использовать признаки равенства треугольников.

5) Чтобы измерить на местности расстояние между двумя точками А и В, из которых одна (точка А) недоступна, провешивают направление отрезка АВ (рис. 21 ) и на его продолжении отмеряют произвольный отрезок ВЕ. Выбирают на местности точку D, из которой видна точка А и можно пройти к точкам В и Е. Провешивают прямые BDQ и EDF и отмеряют FD = DE и DQ = BD. Затем идут по прямой FQ, глядя на точку А, пока не найдут точку Н, которая лежит на прямой AD. Тогда HQ равно искомому расстоянию. [4]                                                                                  Рис. 21

6) Мама купила 1м ткани шириной 1м на платки двум дочерям. Разделите этот кусок ткани на две равные части; докажите правильность своих действий.  (Сгибаем  ткань по диагонали; полученные треугольники равны по  3 признаку равенства треугольников). [8]

7) Два дома одинаково удалены от берега реки. Где нужно сделать причал для лодок, чтоб он был одинаково удален от обоих  домов?

                               Рис. 22                                      Рис. 23

         , АН=НВ, НС, НС – серединный перпендикуляр. [8]

         Мы рассмотрели 7 практических задач на применение признаков равенства треугольников. Признаки равенства треугольников издавна применялись человечеством для решения задач, связанных с практической деятельностью человека. Все данные задачи сводятся к задаче на вычисление расстояния до недоступной точки (расстояние до кораблей, расстояние до острова на озере и тому подобное), и вычисление ширины объекта (ширина озера), и также вычисление высоты предмета (вычисление высоты пирамиды).

 

Вывод по второй главе

         Во второй главе мы рассмотрели практическое применение признаков равенства треугольников в деятельности человека. Признаки применялись на практике с древних времен. Сегодня мы можем использовать признаки также при решении практических задач. Все представленные задачи мы нашли в литературе и на интернет ресурсах.

Заключение

         Выдвинутая нами гипотеза подтвердилась, мы действительно нашли признаки равенства треугольников, отличительные от трех основных, представленных в школьном курсе геометрии.

В своей работе нами проведено исследование данного вопроса в виде анкетирования, который показал, что обучающиеся в основной массе не знают другие признаки и их применение в практической деятельности человека, а также изучили литературу и многие интернет ресурсы, выделили и доказали другие признаки треугольников. Сейчас мы знаем 3 основных признака равенства треугольников, 4 признака равенства прямоугольных треугольников и 16 дополнительных признаков равенства треугольников. Мы представили доказательство многих признаков и заметили, что признаки доказываются либо способом наложения, либо сводятся к одному из трех основных признаков равенства треугольников.

Нами изучено и практическое применение некоторых признаков равенства треугольников, приведены практические задачи, которые решались с помощью применения признаков равенства треугольников. Мы уверены, что спектр применения признаков равенства треугольников гораздо шире, чем тот, что привели в своей работе мы, но на данном этапе, мы считаем, что выполнили все поставленные нами задачи и доказали гипотезу.

Итак, признаков действительно больше, чем показано в школьных учебниках, и признаки применимы в практической деятельности человека.

Список литературы

1.   Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике: таблицы, арифметика, алгебра, геометрия, тригонометрия, функции и графики. — Переиздание. — М.: АСТ, 2006, - 509 с.

2.   Геометрия в схемах, терминах, таблицах / А.Н. Роганин. – Изд. 5-е. – Ростов н/Д: Феникс, 2016. – 96 с.

3.   Геометрия. 7-9 классы: учеб. для общеобразоват. организаций / [Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.] – 8-е изд. – М.: Просвещение, 2018. – 383 с.

4.   Геометрия. 7-9 классы: учеб. для общеобразоват. организаций / А.В. Погорелов. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 2014. – 240 с.

5.   Геометрия: 7 класс: учебник для учащихся общеобразовательных организаций / А.Г. Мерзляк, В. Б. Полонский, М. С. Якир. – М.: Вентана-Граф, 2015. – 192 с.

6.   Глейзер Г. И. История математики в школе. VII-VIII классы. Пособие для учителей. — М.: Просвещение, 1982. — С. 76—95. — 240 с.

7.    Инфоурок URL: https://infourok.ru/issledovatelskaya-rabota-po-matematike-uchenici-a-klassa-nestandartnie-priznaki-ravenstva-treugolnikov-3351282.html (дата обращения: 12.12.2019 г.).

8.   Крымова Л. Применение признаков равенства треугольников к решению практических задач. 7 класс //  Математика. - 2004. - № 19.

9.   Смирнов В., Смирнова И. Признаки равенства треугольников  //  Математика. - 2009. - № 22.

10.       Треугольник // Википедия. Свободная энциклопедия URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/ (дата обращения: 15 января 2020).

11.       Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика / Глав. ред. М. Д. Аксёнова: метод. и отв. ред. В. А. Володин. – М.: Аванта+, 2003. – 688 с.

 

Приложение 1

                Результаты анкетирования «Признаки равенства треугольников и их применение в практической деятельности человека».

1.     Сколько признаков равенства треугольников вы знаете?

а) три;

б) более трех;

в) меньше трех.

2.        Хотели бы вы узнать еще несколько признаков равенства треугольников?

а) да;

б) нет.

3.        Можно ли применять признаки равенства треугольников в практической деятельности человека?

а) да;

б) нет.

Приложение 2

Краткое описание документа:

Авторы проекта сформулировали проблему: в школьном курсе геометрии изучается ограниченное количество признаков равенства треугольников, и почти нет задач на их практическое применение в деятельности человека. Четко сформулирована цель и задачи работы.

В своем исследовательском проекте авторы рассматривают признаки равенства треугольников, представленные в школьных учебниках, и приводят дополнительные признаки равенства треугольников с доказательством каждого из них, а также показывают практическое применение признаков равенства треугольников. Все доказательства теорем сопровождены рисунками. Задачи на применение признаков равенства треугольников также проиллюстрированы и решены.

В проекте приведены собственные рассуждения авторов и сформулированы собственные выводы.

Проект актуален для авторов, принимающих участие в различных олимпиадах и готовящихся к итоговой аттестации по математике.

Данный материал будет полезен как одноклассникам авторов, так иобучающимся, увлекающимся математикой. Его можно использовать на уроках математики как дополнительный справочный материал, на факультативных курсах или в кружковой работе.