Проект " Такая простая и удивительная трапеция"

МОУ «Петъяльская средняя общеобразовательная школа»

Учебная исследовательская работа

Такая простая и удивительная трапеция

 

Авторы: ученица 9 «а» класса Иванова Надежда,

ученица 9 «б» класса Иванова Екатерина.

                             Руководитель:   учитель математики

Чикаева  Светлана Александровна

Петъялы

2013 год.

Содержание

Введение………………………………………………………………………..стр.3

Свойство отрезка,соединяющего середины диагоналей трапеции………...стр.5

Свойства треугольников,на которые разбивается трапеция ее диагоналями……………………………………………………………………стр.6

Свойство отрезка,проходящего через точку пересечения

 диагоналей трапеции параллельно основаниям……………………………..стр.7

Свойство четырех точек……………………………………………………….стр.8

Свойство отрезка, разбивающего трапецию на две подобные трапеции….стр.9

Признак и свойство вписанной и описанной трапеции……………………..стр.10

Заключение……………………………………………………………………стр.11

Список использованной литературы………………………………………..стр.12

Рецензия руководителя………………………………………………………стр.13

Текст защиты проекта (основные тезисы)………………………………………………………………………...стр.14

Введение

В школьном курсе геометрии, в частности по учебнику Геометрия 7-9 авторов Л.С. Атанасяна, В.Ф. Бутузова, С.Б. Кодомцева и др.,понятие трапеции вводится как четырёхугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна). Две параллельные стороны называются основанием трапеции, а две другие — это боковые стороны.Вводятся понятия равнобедренного и прямоугольных трапеций (п.44, §1, Гл.5 учебника). Свойства диагоналей и углов равнобедренной трапеции рассматриваются лишь в задачах №388, 389. Вводится понятие средней линии трапеции и ее свойство (п.85, §3, Гл. 9). Формула площади трапеции  изучается в п.53 §2 Гл.6. Заметим, что теоретический материал о трапеции в школьном курсе геометрии очень скудный, в материалах же различных контрольных работ и экзаменов( ГИА и ЕГЭ) очень часто встречаются задачи на трапецию, решение которых требуетзнания тех ее свойств, которые в школьном курсе или не рассматриваются совсем, или встречаются лишь при решении задач.

При разработке представленного учебного исследовательского проекта авторами ставились следующие цели:

1.     Изучить те свойства трапеций, которые в школьном курсе геометрии не рассматриваются.

2.     Начать создание небольших учебных видеороликов с рассмотрением некоторых свойств трапеций, с решением конкретных задач на трапецию для подготовки 9 и 11 классников к экзаменам.

Проект « Такая простая и удивительная трапеция»осуществляет следующие задачи:

-расширениесферы математических знаний;

-помощь в осознании степени своего интереса к математике и оценке возможности овладения им с точки зрения дальнейшей перспективы ( успешная сдача экзаменов, поступление в ВУЗ и т.д.)

Осуществление проекта проводилась по следующим этапам:

1.     Анализ  содержания школьного учебника на наличие и глубину теоретического материала о трапеции.

2.     Изучение свойств трапеции, не вошедших в школьный курс математики.

3.     Рассмотрение задач на трапецию, представленных в экзаменационных материалах прошлых лет.

4.     Создание учебных видеороликов по изучению свойств трапеции и решению задач на трапецию.

Выясним, какими же интересными и полезными для решения задач свойствами обладает трапеция.

Свойство отрезка,

соединяющего середины диагоналей трапеции.

Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, лежит на средней линии и равен полуразности оснований.

MO – средняя линия треугольника ABC и равна 1/2ВС (рис. 1).

MQ – средняя линия треугольника ABD и равна 1/2АD.

Тогда OQ = MQ – MO, следовательно, OQ = 1/2AD – 1/2BC = 1/2(AD – BC)

Можно заметить, что отрезки МО и QNбудут тоже равны как средние линии  треугольников АВС и ДВС. (МО=ВС/2 и QN=ВС/2)

Свойства треугольников,

на которые разбивается трапеция ее диагоналями.

При изучении свойств трапеции нужно обратить внимание на такое свойство, как подобие. Так, например, диагонали трапеции разбивают ее на четыре треугольника, причем треугольники, прилежащие к основаниям, подобны, а треугольники, прилежащие к боковым сторонам, равновелики. Причем первая часть утверждения доказывается очень легко через признак подобия треугольников по двум углам. Докажем вторую часть утверждения.

Треугольники BOC и COD имеют общую высоту (см.рис.2),

если принять за их основания отрезки BO и OD.

Тогда S_BOC/S_COD = BO/OD = k. Следовательно, S_COD = 1/k · S_BOC.

Аналогично, треугольники BOC и АОВ имеют общую высоту, если принять за их основания отрезки CO и OA. Тогда S_BOC/S_AOB = CO/OA = k и S_АOВ = 1/k · S_BOC.

Из этих двух предложений следует, что S_COD = S_АOВ.

Не будем останавливаться на сформулированном утверждении, а найдем связь между площадями треугольников, на которые разбивается трапеция ее диагоналями. Для этого решим следующую задачу.

Пусть точка O – точка пересечения диагоналей трапеции АBCD с основаниями BC и AD. Известно, что площади треугольников BOC и AOD равны соответственно S₁ и S₂. Найти площадь трапеции.

Так как S_COD = S_АOВ, то S_АВСD = S₁+ S₂ + 2S_COD.

Из подобия треугольников BОC и AOD следует, что ВО/OD = √(S₁/S₂).

Следовательно,  S₁/S_COD= BO/OD =  √(S₁/S₂), а значит S_COD= √(S₁ · S₂).

ТогдаS_АВСD = S₁ + S₂ + 2√(S₁ · S₂) = (√S₁ + √S₂)².

Равновеликость пар треугольников АВД и АСД , ВАС и ВДС очевидна: они имеют равные основания и высоты.

Свойство отрезка,

проходящего через точку пересечения диагоналей трапеции параллельно основаниям.

Рассмотрим задачу:

Пусть точка O – точка пересечения диагоналей трапеции ABCD с основаниями BC и AD. BC = a, AD = b. Найти длину отрезка PK, проходящего через точку пересечения диагоналей трапеции параллельно основаниям. На какие отрезки делится PK точкой О (рис. 3)?

Из подобия треугольников AOD и BOC следует, что АO/OС = AD/BC = b/a.

Из подобия треугольников AOР и ACB следует, что АO/AС = PO/BC = b/(a + b).

Отсюда PO = BC · b / (a + b) = ab/(a + b).

Аналогично, из подобия треугольников DOK и DBC, следует, что OK = ab/(a + b).ОтсюдаPO = OKиPK = 2ab/(a + b).

Итак, доказанное свойство можно сформулировать так: отрезок, параллельный основаниям трапеции, проходящий через точку пересечения диагоналей и соединяющий две точки на боковых сторонах, делится точкой пересечения диагоналей пополам. Его длина есть среднее гармоническое оснований трапеции.

Свойство четырех точек.

Следующее свойство четырех точек: в трапеции точка пересечения диагоналей, точка пересечения продолжения боковых сторон, середины оснований трапеции лежат на одной линии.

Треугольники BSC и ASD подобны (рис. 4) и в каждом из них медианы ST и SG делят угол при вершине S на одинаковые части. Следовательно, точки S, T и G лежат на одной прямой.

Точно так же на одной прямой расположены точки T, O и G. Это следует из подобия треугольников BOC и AOD.

Значит, все четыре точки S, T, O и G лежат на одной прямой.

Свойство отрезка, разбивающего трапецию на две подобные трапеции

Так же можно найти длину отрезка разбивающего трапецию на две подобных.

Если трапеции ALFD и LBCF подобны (рис. 5), то a/LF = LF/b.

Отсюда LF = √(ab).

Таким образом, отрезок разбивающий трапецию на две подобные трапеции, имеет длину равную среднему геометрическому длин оснований.

Докажем свойство отрезка, делящего трапецию на две равновеликие.

Пусть площадь трапеции равна S (рис. 6). h₁ и h₂ – части высоты, а х – длина искомого отрезка.

Тогда S/2 = h₁ · (a + x)/2 = h₂ · (b + x)/2 и

S = (h₁ + h₂) · (a + b)/2.

Составим систему

{h₁ · (a + x) = h₂ · (b + x)
{h₁ · (a + x) = (h₁ + h₂) · (a + b)/2.

Решая данную систему, получим х = √(1/2(а² + b²)).

Таким образом, длина отрезка, делящего трапецию на две равновеликие, равна√((а² + b²)/2) (среднему квадратичному длин оснований).

Признак и свойство вписанной и описанной трапеции.

Свойство вписанной трапеции: трапеция может быть вписана в окружность в том и только в том случае, когда она равнобедренная.

Свойства описанной трапеции. Около окружности можно описать трапецию тогда и только тогда, когда сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон.

Полезные следствия того, что в трапецию вписана окружность:

1. Высота описанной трапеции равна двум радиусам вписанной окружности.

2. Боковая сторона описанной трапеции видна из центра вписанной окружности под прямым углом.

Первое очевидно. Для доказательства второго следствия необходимо установить, что угол COD прямой, что так же не составляет большого труда. Зато знание этого следствия позволяет при решении задач использовать прямоугольный треугольник.

Конкретизируем следствия для равнобедренной описанной трапеции:

Высота равнобедренной описанной трапеции есть среднее геометрическое основанийтрапеции 
h = 2r = √(ab).

Рассмотренные свойства позволят более глубоко познать трапецию и обеспечат успешность в решении задач на применение ее свойств.

Заключение

 Трапеция (от др.-греч. τραπέζιον — «столик»; τράπεζα — «стол, еда») одна из важнейших геометрических фигур, часто используемых в производстве предметов быта,  в строительстве,  дизайне одежды и т.д.  Поэтому столь скромное место, отведенное в школьном курсе геометрии, можно считать несправедливым. Трапеция, ее свойства заслуживают более подробного изучения не только ради успешной сдачи контрольных работ, экзаменов и т.д., но  и  в знак уважения геометрической фигуры, которая столь часто используется в различных областях своей деятельности современным человеком.

Список использованной литературы

1.    Геометрия,7-9: учебн. для общеобразоват. учреждений/ Л.С.Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б.Кадомцев и др. М.: Просвещение, 2008г.

2.    Математика для поступающих в вузы: учебное пособие/Г.Н.Тимофеев; Мар.гос.ун-т.-Йошкар-Ола-2005г.

3.    Серия « Эрудит» .ООО « ТД «Изд. Мир книги»,2006г.

4.    http://ru.wikipedia.org/wiki.

Рецензия руководителя

Проект  «Такая простая и удивительная трапеция» направлен на интеграцию знаний о свойствах такой геометрической фигуры, как трапеция, формирование компетентности не только в области математики, но и  в области информационно-коммуникационных технологий, в частности, в создании небольших учебных видеороликов, выполняющих консультативную функцию при подготовке учащихся 9 классов к ГИА и 11 классов к ЕГЭ.Проект рассчитан на базовый уровень владения весьма ограниченным математическим знанием, но в то же время может стать дополнительным фактором формирования положительной мотивации в изучении математики не только учащихся, причастных к созданию проекта, но и учащихся, ознакомившихся с конечным продуктом данного проекта , учащихся 9 и 11 классов.

     Предполагается, что результатами освоения учащихся данного курса могут стать:

11)умение использовать приобретенные математические знания для решения геометрических задач  на трапецию;

  2) умение применять приобретенные геометрические представления, алгебраические преобразования для описания и анализа закономерностей, существующих в окружающем мире;

   3)реализация проекта будет способствовать расширению математического кругозора учащихся и созданию целостного представления о свойствах трапеции;

   4) проект создаст интерес к  самостоятельному созданию учебных видеороликов, вызовет желание применения цифровых технологий  в новых  (созидательных)  для учащихся целях.

    В целом,  проект будет интересен и полезен не только для учащихся, заинтересованных в успешной сдаче экзаменов и в более глубоком изучении математики, но и для учителей.

Текст защиты проекта (тезисы)

В школьном курсе геометрии, в частности по учебнику понятие трапеции вводится как четырёхугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна).  Вводятся понятия равнобедренного и прямоугольных трапеций. Свойства диагоналей и углов равнобедренной трапеции рассматриваются лишь в задачах. Вводится понятие средней линии трапеции и ее свойство.  Заметим, что теоретический материал о трапеции в школьном курсе геометрии очень скудный, в материалах же различных контрольных работ и экзаменов ( ГИА и ЕГЭ) очень часто встречаются задачи на трапецию, решение которых требует знания тех ее свойств, которые в школьном курсе или не рассматриваются совсем, или встречаются лишь при решении задач.

При разработке представленного учебного исследовательского проекта нами,авторами, ставились следующие цели:

1. Изучить те свойства трапеций, которые в школьном курсе геометрии не рассматриваются.

2. Начать создание небольших учебных видеороликов с рассмотрением некоторых свойств трапеций, с решением конкретных задач на трапецию для подготовки 9 и 11 классников к экзаменам.

Осуществление нашего проекта проводилась по следующим этапам:

1.Анализ  содержания школьного учебника на наличие и глубину теоретического материала о трапеции.

2. Изучение свойств трапеции, не вошедших в школьный курс математики.

3.Рассмотрение задач на трапецию, представленных в экзаменационных материалах прошлых лет.

4.Создание учебных видеороликов по изучению свойств трапеции и решению задач на трапецию.

Какими же интересными и полезными для решения задач свойствами обладает трапеция? Это:

ü Свойство отрезка,соединяющего середины диагоналей трапеции

ü Свойства треугольников,на которые разбивается трапеция ее диагоналями

ü Свойство отрезка,проходящего через точку пересечения

 диагоналей трапеции параллельно основаниям

ü Свойство четырех точек

ü Свойство отрезка, разбивающего трапецию на две подобные трапеции

Сегодня мы предлагаем вашему вниманию рассмотрение тех изученных нами свойств, которые применяются при решении конкретной задачи – задачи С4 из пробного экзамена этого года.

Задача. Боковые стороны АВ и СД трапеции АВСД равны 6 и 8 соответственно. Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции , равен 5, средняя линия трапеции равна  25. Прямые АВ и СД пересекаются в точке М . Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ВМС.

Свойство отрезка,

соединяющего середины диагоналей трапеции.

Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, лежит на средней линии и равен полуразности оснований.

MO – средняя линия треугольника ABC и равна 1/2ВС (рис. 1).

MQ – средняя линия треугольника ABD и равна 1/2АD.

Тогда OQ = MQ – MO, следовательно, OQ = 1/2AD – 1/2BC = 1/2(AD – BC)

Можно заметить, что отрезки МО и QNбудут тоже равны как средние линии  треугольников АВС и ДВС. (МО=ВС/2 и QN=ВС/2)

Свойство четырех точек.

Следующее свойство четырех точек: в трапеции точка пересечения диагоналей, точка пересечения продолжения боковых сторон, середины оснований трапеции лежат на одной линии.

Треугольники BSC и ASD подобны (рис. 4) и в каждом из них медианы ST и SG делят угол при вершине S на одинаковые части. Следовательно, точки S, T и G лежат на одной прямой.

Точно так же на одной прямой расположены точки T, O и G. Это следует из подобия треугольников BOC и AOD.

Значит, все четыре точки S, T, O и G лежат на одной прямой.

Свойства треугольников,

на которые разбивается трапеция ее диагоналями.

При изучении свойств трапеции нужно обратить внимание на такое свойство, как подобие. Так, например, диагонали трапеции разбивают ее на четыре треугольника, причем треугольники, прилежащие к основаниям, подобны, а треугольники, прилежащие к боковым сторонам, равновелики. Причем первая часть утверждения доказывается очень легко через признак подобия треугольников по двум углам. Докажем вторую часть утверждения.

Треугольники BOC и COD имеют общую высоту (см.рис.2),

если принять за их основания отрезки BO и OD.

Тогда S_BOC/S_COD = BO/OD = k. Следовательно, S_COD = 1/k · S_BOC.

Аналогично, треугольники BOC и АОВ имеют общую высоту, если принять за их основания отрезки CO и OA. Тогда S_BOC/S_AOB = CO/OA = k и S_АOВ = 1/k · S_BOC.

Из этих двух предложений следует, что S_COD = S_АOВ.

Равновеликость пар треугольников АВД и АСД , ВАС и ВДС очевидна: они имеют равные основания и высоты.

Наш проект предусматривает продолжение  - создание видеороликов по изучению остальных свойств  трапеции. Надеемся, что наш проект заинтересует не только учащихся , но и учителей. Спасибо за внимание.